湖南省长沙市2026届高三上学期10月月考数学试卷

湖南省长沙高三月月考数学试卷全卷满分分，考试时间分钟.注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题（每题5分，共分）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A和集合B,再利用交补运算求解.【详解】因为，，所以，所以，故选:C．2.双曲线的渐近线方程为，则（）A.B.C.D.2【答案】D【解析】【分析】双曲线的渐近线方程为，进而求的值，并可得结果.【详解】在双曲线中，得，第1页/共20页则渐近线方程，所以.于是.故选：D3.已知为等比数列的前项和，若，则（）A.5B.9C.D.【答案】A【解析】【分析】设等比数列的公比为，根据所给条件及等比数列通项公式求出，再由求和公式计算可得.【详解】设等比数列的公比为，显然，由，即，则，解得，所以.故选：A4.已知实数满足，则最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.【详解】解：因为满足，第2页/共20页则，当且仅当时取等号，故选：．【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1);(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.5.已知函数（且）是奇函数，则（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性求出a的值，可得的解析式，继而代入求值，即得答案.【详解】由题意知函数（且）的定义域为，因为是奇函数，则，即，得，即，故，解得或故，故，故选：C6.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为（）A.B.C.D.第3页/共20页【答案】A【解析】【分析】利用圆台的性质求出母线长度，结合勾股定理求出高，再利用体积公式求解即可.【详解】由题意得圆台的上、下底面半径分别为1和2，因为圆台的侧面展开图是圆心角为的扇环，所以圆台的母线长度为，设圆台的高为，由勾股定理得，由圆台的体积公式得体积为，故A正确.故选：A7.已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，且，则的最小值是（）A.4B.C.8D.9【答案】D【解析】【分析】根据题意，可得，利用基本不等式求解.【详解】由题意可得，，则，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为9.故选：D.8.如图是棱长为2的正方体，的公共部分的内切球的表面积为（第4页/共20页AB.C.D.【答案】C【解析】，的公共部分为一个棱长为面图，根据等面积法即可求解．【详解】连接它们的交线后如下图所示，即两个三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体，作的中点M，N，设内切球的半径为r，所以，，所以，，，又，所以，即表面积为．故选：C．二、多选题（每题5分，共分）9.下列说法中，正确的是（）第5页/共20页A.回归直线可以不经过样本中心B.可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强C.残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高D.根据分类变量与的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过【答案】CD【解析】【分析】根据回归直线方程的特征，可判定A错误；根据相关系数的定义，可得判定B错误；根据残差图的性质，可得判定C正确；根据独立性检验的定义，可判断D正确.【详解】A中，根据回归直线方程的特征，可得回归直线一定经过样本中心，所以A错误；B中，相关系数是用来刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强，所以B错误；C中，在残差图中，若残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，所以C正确；D中，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，根据独立性检验的定义，可得变量与有关联，且推断犯错误的概率不超过，所以D正确.故选：CD.10.已知函数，则下列说法正确的有（）A.为函数图象的一条对称轴B.在区间上单调递增C.在区间上的值域为D.在区间上有3个零点【答案】AC【解析】【分析】对于A，通过判断是否在时，可取得最值，可判断选项正误；第6页/共20页对于BC，由正弦函数单调性可判断选项正误；对于D，当，，然后由正弦函数零点情况可判断选项正误.【详解】对于A，时，，此时函数取最小值，故为函数图象的一条对称轴，故A正确；对于B，时，在上单调递减，故B错误；对于C，时，，在上单调递增，则，故C正确；对于D，，，因在上只有两个零点，且由，即；由，即，即在区间上有2个零点，故D错误.故选：AC已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（）A.的最小值为2B.抛物线C关于x轴对称C.过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条D.点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4【答案】AB【解析】【分析】根据焦半径公式结合条件判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，第7页/共20页结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D．【详解】设，则，，又抛物线的焦点为，对A，由题可知，时，等号成立，所以最小值是1，A错；对B，抛物线焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错；对C与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；对D，记抛物线的准线为，准线方程为，过作于，过作于，则，，所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．故选：AB．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.在的展开式中含的项的系数为______．【答案】40【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为2即可求解.【详解】由知，令，故答案为：13.已知且满足，则的最小值为________．第8页/共20页【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：．14.已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．【答案】【解析】坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.【详解】若，则，又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；故.第9页/共20页不妨设，则，不妨设，，则，则，则，由，，则，故.故答案为：.四、解答题（共分）15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）若的周长为9，面积为，求a.【答案】（1）（2）.【解析】1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简得解.（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及余弦定理列式求解.【小问1详解】在中，由及正弦定理得，第10页/共20页则，因此，而，则，又，所以.【小问2详解】由（1）及已知得，解得，由，得，由余弦定理得，则，所以.16.已知双曲线实轴端点分别为、为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．（1）求双曲线的方程；（2的直线与双曲线交于、与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．【答案】（1）（2）在，且定直线方程为【解析】1）分析可知，可得出，利用三角形的面积公式可求出的值，进而可得出、的值，由此可得出双曲线的方程；（2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出这两条直线交点的横坐标，即可得出结论.【小问1详解】解：因为双曲线的离心率为，可得，则，第11页/共20页则，可得，则，，因此，双曲线的方程为.【小问2详解】证明：若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意，设直线的方程为，设点、，联立可得，则，可得，由韦达定理可得，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得，解得.因此，点在定直线上.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；第12页/共20页（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．17.“魔爪”“反诈”生人数均为该校学生对“反诈”“反诈”知识的了解与性别无关．性别不了解了解合计女生男生合计（1）求n的值；（2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为X，求X的分布列及数学期望．（3）为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛．已知全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”．（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；（ii）若全校共有50名同学被评为“反诈达人”附：，其中．0.100.050.0250.010.001第13页/共20页2.7063.8415.0246.63510.828若，则．【答案】（1）；（2）分布列见解析，3.75；（3iii）2198人．【解析】1等式即可.（2）由已知，根据二项分布得出的分布列和数学期望；（3i）根据全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，求出，即可判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”iin“反诈达人”的概率，即可估计参与本次知识竞赛的学生人数．【小问1详解】由已知，完成列联表，性别不了解了解合计女生男生合计，根据条件，可得，解得，因为，所以．第14页/共20页【小问2详解】由（1）知，样本中的男生对“反诈”知识了解的频率为是，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，对“反诈”知识了解的概率为，则，，，，，，．则X的分布列为X012345P所以．【小问3详解】（i），那么，则该同学能被评为“反诈标兵”．（ii）设全校参与本次竞赛的人数为n，“反诈达人”的概率为，第15页/共20页则，解得，所以参与本次知识竞赛的学生人数约为2198人．18.已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为.（1）求的方程；（2）设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）.（ⅰ）证明：；（ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程.【答案】（1）（2iii），【解析】1）由点到直线距离公式结合题意可得，据此可得答案；（2的方程为，由圆心到切线的距离，可得，可得可完成证明；（ⅱ）方法1，注意到，由（ⅰ）可得，据此可得答案；方法2，设切线与圆的切点为，则可得，据此可得答案；方法3，由题可得，又设切线与圆的切点为，由，结合，可得，由基本不等式可得，据此可得答案.第16页/共20页【小问1详解】解：由于双曲线的右焦点为，所以.双曲线的渐近线方程为，即为，由于点到的一条渐近线的距离为，则.解得所以的方程为.【小问2详解】（ⅰ）证明：显然圆的切线的斜率存在，设切线的方程为，由于切线不平行的渐近线，则.由圆心到切线的距离，得.由消去得，由题意知.设，则，而.则，则.所以，即.（ⅱ）解法1：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.第17页/共20页则的面积.设切线与圆的切点为，则，.由（ⅰ）得，又，则.当时，.此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径.得点的坐标为，所以直线的方程为，直线的方程为.解法2：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线.则的面积.设切线与圆的切点为，则.在中，