2025年大学《数理基础科学》专业题库-大学数理基础科学的勒让德变换

2025年大学《数理基础科学》专业题库——大学数理基础科学的勒让德变换考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（每空3分，共15分）1.勒让德变换是将定义在区间上的函数变换为定义在区间上的函数的一种积分变换，其逆变换是将函数变换回函数。2.勒让德多项式满足的正交性条件是：在区间上正交，即当时，有。3.勒让德多项式的递推关系式为：和。4.勒让德多项式可以通过生成函数表示，即。5.设，则其勒让德变换为。二、选择题（每题3分，共15分）1.下列哪个函数是勒让德多项式？A.B.C.D.2.勒让德变换是将函数变换为的运算，其中是勒让德多项式。A.B.C.D.3.积分的值等于多少？（其中是勒让德多项式）A.1B.0C.依赖的具体形式D.无法计算4.在求解球坐标系下的拉普拉斯方程时，分离变量会导致出现哪个方程？A.简单谐振动方程B.贝塞尔方程C.勒让德方程D.柯西方程5.如果函数满足，那么满足什么条件？（其中是勒让德多项式）A.在区间上平方可积B.在区间上具有连续的一阶导数C.是偶函数D.是奇函数三、计算题（每题10分，共40分）1.利用勒让德多项式的递推关系式，证明：。2.计算函数在区间上的勒让德变换。3.已知函数的勒让德变换为，求原函数。4.求解积分：。四、证明题（10分）证明：勒让德多项式满足关系式。---试卷答案一、填空题1.[-1,1]；[-1,1]2.m≠n；03.(n+1)Pₙ₊₁(x)-(2n+1)xPₙ(x)+nPₙ₋₁(x)=0；(n+1)Pₙ₊₁(x)-(n+1)xPₙ(x)+nPₙ₋₁(x)=04.(1-x²)⁻¹/₂=Σₙ=₀⁺∞(x²)ⁿPₙ(x)/(2ⁿn!)5.√(1-x²)二、选择题1.B2.C3.B4.C5.A三、计算题1.证明思路：利用递推关系式(n+1)Pₙ₊₁(x)-(2n+1)xPₙ(x)+nPₙ₋₁(x)=0，令n=k和n=k-1，然后将两式相减，消去Pₙ₊₁(x)和Pₙ₋₁(x)，即可得到所需证明的关系式。2.解析思路：直接利用勒让德变换的定义式F(x)=∫₀¹dx∫₋₁Pₙ(x')f(x')dx'，将被积函数f(x')=x'乘以勒让德多项式Pₙ(x')进行积分。根据勒让德多项式的正交性和递推关系，计算结果将只包含特定的n值的系数，通常得到F(x)=x。3.解析思路：利用逆勒让德变换公式aₙ=∫₋₁Pₙ(x)F(x)dx，将已知的F(x)表达式代入积分，并利用勒让德多项式的正交性，可以确定aₙ的值。然后将所有n的aₙ值代入逆变换的级数形式Σₙ=₀⁺∞aₙPₙ(x)来恢复原函数f(x)。4.解析思路：观察被积函数，考虑使用勒让德多项式的正交性∫₋₁Pₙ(x)Pₘ(x)dx=0(m≠n)。将√(1-x²)写作(1-x²)^(1/2)，尝试与勒让德多项式的形式Pₙ(x)相关联。可以设m=1/2，利用正交性的积分结果为0，从而得到积分值为0（假设积分区间为[-1,1]且n取特定值如1/2符合正交性应用条件，或者题目意图是计算特定情况下的积分值，此处按标准正交性结论处理）。四、证明题证明思路：利用勒让德多项式的生成函数(1-x²)⁻¹/₂=Σₙ=₀⁺∞(