河南省新未来2026届高三上学期9月联合测评数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省新未来2026届高三上学期9月联合测评数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题，，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】∵存在量词命题的否定为全称量词命题，∴，.故选：B.2.样本数据40，70，110，130，160，200，200，290，320的极差和中位数分别为（）A.280，160 B.280，130C.250，160 D.250，145【答案】A【解析】样本数据40，70，110，130，160，200，200，290，320，最小数为40，最大数为320，则极差为；这组数据共有9个，因此第五个数据是中位数，即中位数为160.故选：A.3.已知集合，则A的所有真子集的个数为（）A.6 B.7 C.14 D.15【答案】D【解析】∵，∴，解得，又，∴，共4个元素，∴其真子集有个.故选：D.4.已知向量，的夹角为，，，则（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，，∴.故选：C.5.已知直线与焦点在x轴上的双曲线C的其中一条渐近线垂直，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由两直线垂直可得双曲线C的一条渐近线的斜率，设焦点在x轴上的双曲线C的方程为，则它的渐近线方程为，结合题意得到，故C的离心率e=1+故选：A6.已知函数满足对于任意的，都有，则的最小正周期的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于任意的fa=fb这等价于相邻两个函数值相等的间隔至少为1，对于函数fx相邻两个函数值相等的间隔即为周期，故最小正周期.故选：C.7.记首项为的等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知数列为等差数列，设其公差为，则，解得，所以，，则，故选：B.8.近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（）A.元 B.元 C.元 D.元【答案】D【解析】由题意可得利润Lr所以L'r=4令L'r=0，当时，L'r>0，当时，L'r<0，∴利润Lr在时取得最大值，此时L3∴该厂家售卖单个模型最多可以获利元.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的图象经过点，，则（）A.B.C.曲线关于轴对称D.不等式的解集为【答案】AC【解析】由题意可得，，解得，故选项A正确，选项B错误；由前面计算可知，其定义域为关于原点对称，且，为偶函数，即曲线关于轴对称，故选项C正确；由复合函数单调性可知在区间上单调递减，且为偶函数，故等价于，两边平方可得，解得，故选项D错误；故选：AC.10.已知，若，，则下列说法正确的是（）A. B.C.当时， D.当时，【答案】ABD【解析】选项A：∵，∴，∴或，，即或，，∵，∴，∴，∴，，，∴，故选项A正确；选项B：∵，且在上单调递减，∴，又，∴，故选项B正确；选项C：由可知，，∴当时，，故选项C错误；选项D：由题意得，即，∴，由可知，，∴，故选项D正确.故选：ABD.11.设椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，短轴长为，A是椭圆E上且位于第一象限内的一点，过点A且与椭圆E相切的直线分别交y轴、x轴于B，C两点，设O为坐标原点，则（）A.E的长轴长为4B.设点，则的最小值为C.的面积不小于D.【答案】ACD【解析】对于A，半焦距，短半轴长，则长半轴长，椭圆E的长轴长为4，A正确；对于B，椭圆，设点，则，，当且仅当时取等号，B错误；对于C，设切线的方程为，由3x2+4则，即x0=-4km4k2+3，切线方程为，由点在切线上，得，点，，又，因此，C正确；对于D，设的倾斜角为，的倾斜角为，的倾斜角为，由，，得，要证，只要证明即可，当时，，，，因此，又，则，即，由，得，于是，；当时，轴，点，直线方程为，，，，则，因此，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某实践团有个男生、个女生，从中任选人发起问卷调研，那么恰好有个女生被选中的方法有______种.【答案】【解析】恰好有个女生被选中时，共有种方法，故答案为：.13.已知，其中a为实数，若，则a=______.【答案】【解析】易得，若，则，解得.故答案为：.14.在中，，，则其内切圆半径r的最大值为______；若平面内动点P满足，则当r取得最大值时，的取值范围为______.【答案】①.（或）②.【解析】解法一：不妨记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可得，即4=b+c2故bc=b+c2-4可得r=bcsinA故2+3b+c2故b+c≤4故r=2-当且仅当时，等号成立.故r的最大值为，此时，为等腰三角形.记的中点为O，因为，，可得，于是由等腰三角形性质可知，故且，当且仅当A，P，O三点共线时等号成立.故的取值范围是1+3,3+解法二：不妨记的内心为M.∵，∴，又sin7π12∴内切圆半径，又由余弦定理，得，∴，∴，∴，当且仅当时取等号.，根据条件，易证得，为等腰三角形，A，M，D三点共线.，由得，故且，当且仅当A，P，D三点共线时等号成立，故的取值范围是1+3,3+故答案为：①（或）；②1+3,3+3四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.2025年7月22日是二十四节气中的第十二个节气——大暑.受今年气候等多因素的影响，全国各地高温天气持续不断.某校以“预防中暑，防止脱水”为主题举行活动.为了解男女同学对该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理成如下列联表.性别兴趣程度合计感兴趣不感兴趣男生女生合计（1）当m足够大时，估计从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率；（2）若根据小概率值的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，求正整数m的最小值.附：，其中.0.10.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】解：（1）由调查数据可知当m足够大时，以频率估计概率可知，从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率为.（2）由题意可得χ2若根据小概率值的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，则，解得因为m为正整数，所以m的最小值为10.16.设函数；（1）若，讨论在区间上的单调性；（2）若的极大值点与其一个零点重合，求a.【答案】解：（1）若，此时，得f'x=3令可得，由于，由得，，由得，，故在[1,4+73]上单调递减，在（2）由题可得f令，则的零点为，a，3，又的极大值点与其一个零点重合，注意到，无论将三个零点中的任意一个代入导函数，均会遗留包含另外两个零点的式子，故要使遗留的式子也为0，当且仅当a的值与其他两个零点中的任意一个相同时成立.∴若，f'x=x-13x-7，当时，，当时，故为函数的极大值点，符合题意，若时，f'x=x-33x-5，当时，，当时，，故为函数的极小值点，不满足题意，故.17.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，其图象上两点A，B满足，其中点A在第一象限，点B在第四象限，不与x轴垂直.且当时，点B的横坐标为6.（1）求抛物线E的标准方程；（2）记点，为上一点，求证：.【答案】（1）解：不妨记，，由，可知，由抛物线的定义可得，解得，故抛物线E的标准方程为.（2）证明：由可知，即不妨设直线，联立，可得到，∴，，∴，代入可得∴，整理得，易知，代入可得，故∴的斜率，而的斜率，∴，∴.18.如图，三棱柱中，是边长为2的等边三角形，M，N分别为棱，的中点，.（1）已知，；①求证：三棱柱是直三棱柱；②求二面角的正弦值.（2）若，，求异面直线与夹角的余弦值.【答案】（1）①证明：由是等边三角形可知，，，平面，平面，∴平面.又平面，∴.∵，且，∴，由，分别为，的方向向量可知，.∵，平面，平面，∴平面，故三棱柱是直三棱柱.②解：∵，，，平面，平面，平面平面，∴二面角的平面角为.∵，，∴，∴.∴二面角的正弦值为.（2）解：由（1）可知，∵，∴，又∵，∴，∴，解得，∴，∵，∴，∴.记异面直线与的夹角为，则.19.（1）求函数的单调区间；（2）数