专题03实数（期中复习讲义）

专题03实数（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律算术平方根掌握算术平方根的概念，知道算术平方根的表示一般出现在小题和计算题中算术平方根的非负性掌握算术平方根的非负性，能根据算术平方根的非负性求出取值范围一般出现在小题中立方根掌握立方根的相关概念一般出现在计算题中平方根、立方根的实际应用平方根、立方根的实际应用问题，要学会根据实际情况列出关系式一般出现在应用题中，要注意结果符合实际情况平方根、立方根的规律探究掌握平方根、立方根的规律探究，能清楚分辨出两者的规律与区别一般出现在大题中，属于较难题型无理数掌握无理数的相关概念一般出现在小题中，题型不难无理数的整数部分与小数部分能根据无理数的概念找出无理数的整数部分和小数部分一般出现在解答题中，难度中等，要注意小数部分的表示方法实数掌握实数的相关概念一般出现在小题中，不难实数的大小比较掌握实数的大小比较方法一般出现在小题中，运用实数的大小比较方法近似数掌握近似数的相关概念，了解准确数概念，熟练掌握精确度的概念一般出现在小题中，要注意精确的数位知识点01平方根平方根（2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了.3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数.4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根.平方根的性质1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）；3.负数没有平方根；开平方求一个数的平方根的运算叫做开平方.1.开平方时，被开方数a必须是非负数；2.开平方是求一个非负数的平方根.3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程；4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确.知识点02算术平方根算术平方根1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”；3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根.5.平方根与算术平方根的区别与联系平方根算术平方根区别个数一个正数的平方根有两个，它们互为相反数一个正数的算术平方根只有一个表示方法非负数a的算术平方根表示为取值范围正数的平方根是一正一负正数的算术平方根一定是正数联系包含条件平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0.存在条件平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0.PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1.知识点03立方根立方根2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”.3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略.立方根的性质正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.1.平方根与立方根的区别与联系关系 名称平方根立方根区别个数不同正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数表示方法数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写被开方数的取值范围在中，a是任意数联系转化条件都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究.2.立方根等于本身的有0和.3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方.求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根.开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根.开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号.知识点04无理数无理数1.无理数：无线不循环小数叫做无理数.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.2.常见的无理数三种形式3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式.4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数.知识点05实数实数及分类1.有理数和无理数统称为实数.2.实数的分类（1）按定义分类：（2）按性质分类：PS：0既不是正实数，也不是负实数.实数与数轴上点的关系…有理数集合…有理数集合…无理数集合2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点.正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧.实数的有关概念在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样.知识点06比较实数的大小比较实数的大小有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用.1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小.3.比较两个实数大小的常用方法：（1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小；（2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；（3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较；知识点07近似数近似数1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值.2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数.3.常见的近似数（1）用测量工具测出的一般都是近似数，如长度、质量、时间等；（2）“计算”产生的近似数，如有圆周率π参与计算的结果；（3）不容易得到或不能得到准确数时，只能用近似数表示，如人口普查等；（4）表示某一时间段的数据为近似值，如小明今年14岁，在这1年中他都是14岁.近似数的精确度一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.1.一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度；2.带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位.3.其他近似数的取法题型一算术平方根、平方根的概念理解解｜题｜技｜巧（2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了.2.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；1．下面说法正确的是（

）【答案】C【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据平方根，算术平方根的定义计算即可．【详解】解：A、负数没有平方根，故选项错误，不符合题意；故选：C．2．下列说法正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【详解】解：根据平方根概念可知：①负数没有算术平方根，故错误；②反例：0的算术平方根是0，故错误；⑤算术平方根不可能是负数，故正确．所以正确的有⑤，共1个．故选：A．3．在下列结论中，正确的是（

）【答案】D【分析】本题考查了平方根、算术平方根的相关知识，解题的关键是准确理解和掌握平方根、算术平方根的定义及性质．根据平方根、算术平方根的定义，逐一分析每个选项．故选：D．【答案】【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键．根据平方根的性质列方程求解即可．故答案为：．5．现有几种说法：①倒数等于本身的数是0，1，②的平方根是④算术平方根是他本身的数是0，1

其中正确的说法有．（请填写序号）【答案】③④/④③【分析】本题考查的是倒数的定义、求一个数的算术平方根、平方根和根据近似数求准确数的取值范围，掌握倒数的定义、算术平方根的定义、平方根的定义和四舍五入法是解决此题的关键．根据倒数的定义、算术平方根的定义、平方根的定义和四舍五入法逐一判断即可．【详解】解：①倒数等于本身的数是1，，故错误；④算术平方根是它本身的数是0，1，故正确；综上：正确的说法有：③④．故答案为：③④．题型二求算术平方根解｜题｜技｜巧正数和零有算术平方根，负数没有算术平方根；一个数的算术平方根只有一个；【答案】D【分析】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根是一个数的正平方根成为解题的关键．根据算术平方根的定义求解即可．故选D．7．下列各式正确的是（）【答案】D【分析】本题主要考查算术平方根，负数没有算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．根据算术平方根的性质进行逐项分析，即可求解．故选：D．8．的算术平方根是．【答案】2【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键．∴的算术平方根是2．故答案为：2．【答案】故答案为：．10．求下列各式的值：(1)；【答案】(1)(3)（1）根据算术平方根的定义求解即可；（2）先算算术平方根，再取其相反数，求解即可；【详解】（1）原式；题型三利用算术平方根的非负性解题解｜题｜技｜巧A．−1 B．2 C．1 D．9【答案】C【分析】本题考查平方与算术平方根的非负性，求代数式的值．根据平方和算术平方根的非负性求出m，n的值，再代入计算即可．故选：C．A．2 B．4 C．6 D．无法确定【答案】C故选：C．A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性和完全平方公式因式分解，正确得出的值是解题关键．直接利用非负数的性质得出的值，进而得出答案．故选：A．【答案】201【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值．熟练掌握非负数的和为零，每一个非负数均为零是解题的关键．故答案为：2；0；1．【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，绝对值的化简，根据算术平方根的双重非负性求得的取值范围，再根据绝对值的性质进行化简并整理，最后两边同时平方后即可求得答案．结合已知条件求得的取值范围是解题的关键．题型四估计算术平方根的取值范围解｜题｜技｜巧估计算术平方根的取值范围，可以先将原数平方，然后看看这个平方的数字在哪两个平方数之间，就可以确定算术平方根的取值范围；A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间【答案】B故选：B．(1)求这个正数；(2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间．【答案】(1)81【分析】本题考查了平方根及算术平方根：熟练掌握平方根的定义是解题的关键．这个正数是81．18．的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是．【答案】18（答案不唯一）∵是整数，∴可以取18（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了算术平方根，求出的取值范围是解答本题的关键．19．根据下表，回答下列问题．x16.016.116.216.316.416.516.616.716.816.917.0x2256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289(2)【分析】本题考查利用表格数据，求平方根，算术平方根，估值，掌握利用表格数据搜集与处理数据的能力，会求平方根，近似计算以及估值是解题关键．故答案为：；20．阅读与思考下面是某同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．探索141的算术平方根的近似值思考：表示4的算术平方根，其值为2．同样地，表示36的算术平方根，其值为6，则141的算术平方根是多少呢？任务：(1)材料中的依据是______（填“A”或“B”），材料中的解题过程主要体现的思想是______（填“C”或“D”）．A．不等式的性质1

B．不等式的性质2C．分类讨论思想

D．数形结合思想【答案】(1)A，D(2)图见解析(3)15.8【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根的实际应用：（1）根据不等式的性质和数形结合的思想，进行判断即可；（3）利用题干中的方法，结合（2）中的图形，进行求解即可．【详解】（1）材料中的依据是不等式的性质1，解题过程体现了数形结合的思想，故选A，D；补全图形如图：题型五与算数平方根有关的规律探索题解｜题｜技｜巧算术平方根的规律问题，主要理解原数和算术平方根中的数字倍数关系，一般满足：100A．14.36 B．143.6 C．45.4 D．454【答案】B故选：B．【答案】D【详解】解：整数部分：第n项的整数部分为n，如第1项为1，第2项为2，依此类推；符号规律：符号交替变化，奇数项为，偶数项为，故选：D24．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：………0.250.79062.57.9062579.06250…【分析】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系．先根据表格得到规律，再根据规律确定结果．【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位．25．先填写表，通过观察后再回答问题．(1)表格中______，______．(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：【答案】(1)，；【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用．（1）填写表格，通过计算，即可得到答案；故答案为：；．（2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，题型六算术平方根的实际应用解｜题｜技｜巧算术平方根的实际应用问题，要列出关系式，注意要符合实际情况；26．阅读与思考，请先完成第（1）小题的填空，再仿照完成第（2）小题的解答过程．(1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长．(2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握图形的拆补是解题的关键．（1）拼成的正方形面积等于原2个小正方形的面积；进一步求边长即可；（2）仿照（1）中的方法剪拼，根据大正方形的面积求边长即可．答：该大正方形的边长是；答：该大正方形的边长是．【分析】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．直接根据已知数据代入，化简得出答案．28．【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示．【类比迁移】（1）如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方形（图3）．图3中拼成的大正方形的面积是，边长是．【猜想验证】（2）猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形．已知如图4放置的两个正方形，其边长分别为，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想．在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）．【答案】（1）5，；（2）见解析【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握相关知识是解题的关键．（1）根据图2和图3面积相等可得出图3拼成的大正方形的面积，再根据勾股定理即可求出边长；（2）根据题意画出裁剪线，然后拼接即可．【详解】解：（1）图2可以把它剪拼成一个大正方形（图3），图3中拼成的大正方形的面积等于图2的面积，故答案为：5，；（2）如图所示：29．在图中的网格中，阴影部分为正方形，小华同学想知道它的边长，你能帮他求出阴影部分的边长吗？（设每一个方格的边长为1个单位）．(1)步骤（一）：求出阴影部分的面积(2)步骤（二）：设阴影部分的边长为x，请列出方程并求出x的值．【答案】(1)阴影部分的面积为17；(2)x的值为．【分析】本题主要考查了实数的性质．（1）利用阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个相同大小的三角形面积求解即可．（2）根据求一个根的算术平方根以及无理数的估算求解即可．则阴影部分的面积为17；（2）解：由题意得∴阴影部分的边长为．30．一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为．(1)求这块长方形空地的周长；【答案】(1)160米(2)不能，理由见解析【分析】本题考查了长方形和正方形的面积、周长计算，以及利用比例关系建立方程求解的能力，解题的关键是根据长宽比例设未知数，结合面积公式列方程求出边长，再通过边长关系计算走道宽度，判断车辆能否通行．（1）设长方形空地的长为，则宽为，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长；（2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，根据总面积为1200平方米列式，利用平方根的性质求出y，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可．【详解】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为，（2）设花坛2的宽为，则长为，正方形花坛1的边长为，∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行．题型七求平方根解｜题｜技｜巧记住一个正数的平方根有两个，互为相反数，0的平方根就是自己本身，负数没有平方根；31．的平方根是（

）．A．4 B． C．2 D．【答案】D那么的平方根是；故选：D．(1)求m和n的值(2)（1）根据平方根的定义求出n的值，进而求出m的值即可；33．求下列各数的平方根：(1)144；(2)0.49；(3)0；(4)14；(5)；(6)【答案】(1)144的平方根为．(3)0的平方根为0．(5)的平方根为．【分析】本题考查求一个数的平方根，负指数幂，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键：（1）直接根据平方根的定义进行求解即可；（2）直接根据平方根的定义进行求解即可；（3）直接根据平方根的定义进行求解即可；（4）直接根据平方根的定义进行求解即可；（5）直接根据平方根的定义进行求解即可；（6）先进行负整数指数幂的法则进行计算，再根据平方根的定义进行求解即可．【详解】（1）解：144的平方根为．（3）解：0的平方根为0．（5）解：的平方根为．【答案】【分析】本题考查平方根，根据平方根的概念即可求解．故答案为：．【分析】本题考查了平方根的应用：题型八解平方根方程解｜题｜技｜巧解平方根方程，要注意得到的结果有正负两个，互为相反数；如果是0的话，就只有一个结果了；36．求下列各式中x的值：【分析】此题考查了运用平方根解方程的能力，熟练掌握平方根的概念是解题的关键．（1）整理后，直接运用平方根的定义进行求解即可；（2）运用平方根的定义进行求解即可．37．解方程【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程，掌握平方根的性质为解题的关键．（1）直接利用平方根的性质解方程即可；【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．利用平方根的性质求解方程即可．39．求下列各式中的值．【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键．（1）整理后，再根据平方根的概念求解；（2）根据平方根的概念求解即可；（3）两边平方，再检验即可求解；（4）先移项，再根据平方根的概念求解．40．学习完平方根之后，我们可以解一些简单的二次方程．以下是自信同学给出的解法示范，请你类比思路完成另外两题的解答题目：求下列各式中x的值【分析】本题考查平方根，利用平方根解方程，掌握类比思路是解题的关键．（1）根据类比思路，即可解答；（2）根据类比思路，即可解答．∴这个数是，∴这个数是，题型九立方根的概念理解解｜题｜技｜巧正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.41．下列说法正确的是（

）C．立方根等于本身的数只有 D．的立方根是【答案】A【分析】本题主要考查立方根和平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据立方根和平方根的定义进行作答即可．B.负数没有算术平方根，故本选项不符合题意；C.立方根等于本身的数有、、，故本选项不符合题意；故选：A．42．下列式子不正确的是（

）【答案】D【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据负数的立方根是负数，正数的立方根是正数进行逐项分析计算，即可作答．故选：D43．下列说法中正确的是（

）A．27的立方根是 B．没有立方根C．立方根是它本身的数是1 D．平方根是它本身的数是0【答案】D【分析】本题考查了立方根和平方根的概念理解，解题的关键是正确理解一个正数有一个正的立方根、0的立方根是0，一个负数有一个负的立方根；一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据立方根和平方根的概念求解即可．【详解】解：A、27的立方根是，原说法错误，不符合题意；B、有立方根，且为，原说法错误，不符合题意；D、平方根是它本身的数是0，正确，符合题意，故选：D．44．下列说法中，错误的是（

）A．64的立方根是4 B．是的立方根C．的立方根是2 D．125的立方根是【答案】D【分析】本题主要考查了立方根的定义，一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．解题关键是掌握立方根的定义．如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，根据立方根的定义分别判断即可．【详解】解：A．64的立方根是4，正确，不符合题意；B．是的立方根，正确，不符合题意；D．125的立方根是5，故D错误，符合题意，故选：D．45．下列说法正确的是（

）【答案】B【分析】本题考查了对立方根定义的应用，根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是解答即可．故选：B．题型十求立方根解｜题｜技｜巧求一个数的立方根的运算叫做开立方.求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根.开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根.开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号.46．下列说法不正确的是(

)【答案】C【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根及立方根的定义是解题的关键．根据平方根及立方根的定义进行计算判断即可．B.是的一个平方根，故该选项正确，不符合题意；

C.的立方根是，不是3，故该选项不正确，符合题意；

故选：C．A． B． C． D．【答案】D∴满足条件的最小正整数是，故选：．【答案】0或1或2∴的立方根是它本身，故答案为：0或1或2．(1)求的值；【分析】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识，并能进行正确地计算．（1）运用平方根知识列出方程并求解；（2）将该方程变形后，运用立方根知识进行求解．【详解】（1）解：由题意得，【答案】题型十一与立方根有关的规律探索题解｜题｜技｜巧立方根的规律问题，主要理解原数和立方根中的数字倍数关系，一般满足：3A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1【答案】B【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可．故选B．52．观察下表规律．a88000220200【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．【详解】解：根据图表中的规律得，53．（1）填表：a11000（2）根据你发现的规律填空：【分析】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键．（1）利用立方根的性质求解即可；（2）①利用立方根的性质求解即可；②利用立方根的性质求解即可．故答案为：．54．求59319的立方根，解答如下：【答案】68【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答．∴能确定的立方根是个两位数．的个位数是2，∴能确定的立方根的个位数是8．因此的立方根是68，故答案为68．55．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题：1100100001100(1)表格中__________；__________；(2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：(3)拓展：【答案】(1)，(2)①；②32400【分析】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键．（1）由表格得出规律，求出x与y的值即可；（2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案；②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案；（3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案；②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案；③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案．故答案为：，．故答案为：．题型十二立方根的实际应用(1)求这个铁块的棱长．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了立方根与算术平方根的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键．（2）设长方体铁块的底面正方形的边长为，根据熔化前后的体积不变建立方程，再利用平方根解方程即可得．答：这个铁块的棱长为．（2）解：设长方体铁块的底面正方形的边长为，答：长方体铁块的底面正方形的边长为．【分析】本题考查了立方根的应用，把数值代入圆柱的体积公式中即可求出结果．解题的关键是运用圆柱的体积公式．(1)求正方形卡纸的边长；【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键．（1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可；（3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可．【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为．(1)求乙正方体纸盒的棱长；(2)求丙正方体纸盒的棱长．【答案】(1)【分析】本题考查立方根、算术平方根的应用，（1）根据甲正方体纸盒的底面积求出其棱长，即可求出其体积，从而得出乙正方体纸盒的体积，即可求出乙正方体纸盒的棱长；（2）先求出丙正方体纸盒的体积，再求出丙正方体纸盒的棱长即可；掌握立方根的定义是解题的关键．答：乙正方体纸盒的棱长为；∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的，60．如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块．(1)求该正方体铁块的棱长；(2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．【答案】(1)7厘米(2)17厘米【分析】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键．（1）根据正方体的体积公式进行求解即可；（2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的底面面积求出底面正方形的边长即可．∴该正方体铁块的棱长为7厘米．∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米．题型十三无理数及其大小估算61．把下列各数填入相应的集合内：(1)整数集合{

}；(2)分数集合{

}；(3)负数集合{

}；(4)有理数集合{

}；(5)无理数集合{

}．(2)，，0.15，3.【分析】此题考查了算术立方根和平方根，实数的分类，解题的关键是掌握以上知识点．（1）首先计算算术立方根和平方根，然后根据整数的定义求解即可；（2）根据分数的定义求解即可；（3）根据负数的定义求解即可；（4）根据有理数的定义求解即可；（5）根据无理数的定义求解即可．（2）解：分数集合{，，0.15，3.}；62．下列实数比较大小，正确的是（

）【答案】D【分析】本题考查实数大小比较，根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可．故选：D．【答案】【分析】本题主要考查无理数的估算及立方根、算术平方根，熟练掌握无理数的估算及立方根、算术平方根是解题的关键．故答案为：．【答案】【分析】本题考查了无理数的估算．故答案为：．请你根据上面的方法解决下列问题：【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较．（1）根据“作差法”比较大小即可；（2）根据“作差法”比较大小即可．题型十四无理数整数部分的有关计算解｜题｜技｜巧无理数要先判断出在哪两个整数之间，然后整数部分就是较小的那个整数，小数部分就是原数整数；【答案】【分析】此题考查了算术平方根、平方根、无理数的估算等知识．67．阅读下面的文字，解答问题：事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键．∵的小数部分为a，∵的整数部分为b，68．在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如：(1)的整数部分为___________，小数部分为___________．(2)【分析】本题主要考查无理数的估算，平方根、算术平方根以及立方根的概念和算法，属于理解题型，对于初学者来说，无理数的估算比较抽象，重点是要掌握表示整数部分和小数部分的方法，易错点为忽略一个正数有两个平方根，审清题意掌握相关概念是解题的关键．（2）先根据题意列出关于，的方程，进一步求出，的值，再根据区间算法得出的值，最后代入式子求其平方根．（2）由题意得，69．阅读理解：请参考小伟思考问题的方法解答：(1)的整数部分是_____，小数部分是______．(2)5【分析】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键．（1）先估算出的范围，再求解即可；【解决问题】(1)的整数部分是，小数部分是；(3)1【分析】本题主要考查了无理数的估算．（1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可；题型十五实数的相关概念71．下列说法正确的是（

）A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数【答案】D【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可．【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意；B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意；C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意；D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意．故选：D．72．已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质是解决问题的关键．根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得．【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①错误；任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②正确；实数与数轴上的点一一对应，故③正确；整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数，∴有理数有无限个，无理数也有无限个，故④错误．∴正确的是②③共2个．故选：B．【答案】③④【分析】本题考查了无理数的概念，二次根式的化简，掌握无理数是指无限不循环小数是解题的关键．根据无理数定义逐一判断即得．④是无理数；⑥是有理数；故答案为：③④．【答案】1【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、0和负整数，有理数是正有理数、0和负有理数的统称，即可得出答案．故答案为：1．75．把下列各数填在相应的横线上．(1)整数：．(2)分数：．(3)无理数：．(2)1.6，，【分析】本题考查了实数的分类，无理数的概念，立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（2）观察题干的各个数，结合分数的概念，即可作答．（3）观察题干的各个数，结合无理数的概念，即可作答．（2）解：分数：1.6，，；题型十六实数与数轴76．无理数在数轴上的对应点如图所示，则的值可能是（

）【答案】C【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的定义，无理数的估算，解题的关键是掌握实数与数轴的关系，算术平方根的定义，无理数的估算．利用实数与数轴的关系，算术平方根的定义，无理数的定义求解即可．【详解】解：根据数轴图可以发现点的整数部分是1，∴只有选项C符合题意．故选：C．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．根据无理数的估算求出各个无理数的取值范围，由此即可得出答案．∴在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是，故选：C；【详解】解：∵以点为圆心，为半径画弧，∵交数轴负半轴于点，【答案】【分析】本题考查算术平方根的应用，实数与数轴．由正方形的面积，结合已知可得，根据点和点的位置关系，即可得点所表示的数．【详解】解：∵正方形的面积是，∵点表示的数为，点在数轴上，且在点的右侧，故答案为：．(1)求的值．(2)【分析】（）根据数轴上两点间距离公式计算即可；（）把的值代入代数式，再根据绝对值的性质化简即可；本题考查了实数与数轴，代数式求值，正确求出的值是解题的关键．【详解】（1）解：∵蚂蚁从点沿数轴向右爬行个单位长度到达点，∴点所表示的数比点表示的数大，．题型十七实数的大小比较解｜题｜技｜巧1、比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小；2、数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；3、法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较；81．实数，，，1在数轴上对应的点距离原点最远的是（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】本题考查绝对值的几何意义，实数的比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．一个数的绝对值是这个数到原点的距离，求出每个数的绝对值比较大小即可解答．∴在数轴上对应的点距离原点最远．故选：C．【答案】故答案为：．83．我国古代数学家祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为，张衡将圆周率取值为，比较大小：（填“”“”或“”）．【答案】【分析】分别计算和的近似值，再比较大小．本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的近似值计算是解题的关键．故答案为：．84．通过估算，比较两个数的大小．(1)和；【分析】本题考查实数比大小，熟练掌握比较无理数的大小的方法是解题的关键，请根据上述方法解答以下问题：【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数比较大小，熟知无理数的估算方法是解题的关键．题型十八近似数解｜题｜技｜巧1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值.2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数.3.一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.86．下列说法正确的是（

）A．近似数1.7与1.70表示的意义相同B．0.30万精确到百分位D．49554精确到万位是49000【答案】C【分析】本题考查近似数的精确度的求法及科学记数法，解题的关键是明确数的精确度的求法．根据近似数的精确度的求法，即可求解．【详解】解：A、近似数1.7精确到十分位，1.70精确到百分位，所以近似数1.7与1.70表示的意义不同，A选项错误，不符合题意；B、0.30万精确到百位，B选项错误，不符合题意；D、49554精确到万位是50000，D选项错误，不符合题意．故选：C．87．下列各式中，精确度相同的是（

）【答案】B【分析】本题主要考查了近似数的精确度概念，熟记概念是解题的关键．近似数的精确度由其最后一位有效数字所在的数位决定，有效数字就是从数的左边第一个不为零的数起，后面的所有数字都是这个数的有效数字．【详解】解：A．300万精确到万位，3百万精确到百万位，300万与3百万精确度不同，故A不符合题意；故选：B．【答案】千【分析】本题考查了科学记数法和有效数字，注意精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．根据近似数的精确度求解即可．故答案为：千．89．用四舍五入法对下列各数取近似数：【分析】本题主要考查近似数的求法，掌握最后一位所在的位置就是精确度，注意保留数位上的0不能去掉．（1）精确到个位，就看小数点后面第一位，利用“四舍五入”法解答即可；（2）精确到十分位，即保留小数点后面第一位，看小数点后面第二位，利用“四舍五入”法解答即可；故答案为：0；故答案为：；90．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：(1)2.715（精确到百分位）．(2)0.1395（精确到0.001）．(3)123410000（精确到十万位，并用科学记数法表示）．【答案】(1)2.72【分析】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答．（1）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到百分位；（3）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到十万位，并用科学记数法表示；（4）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到百位，并用科学记数法表示．期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．（2425八年级上·河北衡水·期中）在哪两个整数之间（

）A．2，3 B．1，2 C．3，4 D．0，1【答案】B【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．用无理数的估算方法解答即可．故选B．2．（2425八年级上·河北沧州·期中）在下列各数，3.，0.23，，，0.2020020002……（每两个2之间依次多1个0）中，无理数的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】此题考查了无理数的概念，解题的关键是熟练掌握无理数的概念．无理数：无限不循环小数．根据无理数的概念求解即可．【详解】解：，，0.2020020002……（每两个2之间依次多1个0）是无理数，其它是有理数，故无理数一共有3个，故选：C．A．0个 B．1个 C．3个 D．5个【答案】A【分析】依次对每个说法根据平方根、算术平方根的定义进行判断，确定正确说法的个数．本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．【详解】解：的平方根是，故①错误；没有平方根，故②错误；是的算术平方根，故④错误；算术平方根是一个非负数，则的算术平方根是，故⑥错误．综上正确的说法有0个，故选：A．A． B．1 C．2025 D．【答案】A【分析】本题考查了完全平方公式，平方根，通过变量替换简化方程，求出中间变量后求解平方根．展开并整理：故选A．【答案】7或故答案为：7或．【答案】7.696【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键．依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可．故答案为：7.696．【答案】又∵，是正整数，故答案为：．【答案】4或5【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值．先根据立方根和算术平方根的定义求出的值，再代入计算即可．故答案为：或．【分析】本题考查了利用平方根解方程，根据平方根的定义解方程即可得解，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键．10