专题24确定圆的条件（举一反三讲义）数学苏科版九年级上册

专题2.4确定圆的条件（举一反三讲义） 【苏科版】TOC\o"13"\h\u【题型1判断确定圆的条件】 2【题型2确定圆心（尺规作图）】 4【题型3求能确定的圆的个数】 8【题型4画圆（尺规作图）】 11【题型5三角形的外接圆】 16【题型6求三角形外心坐标】 21【题型7求三角形外接圆的半径】 25【题型8最小覆盖圆】 29知识点三角形的外接圆圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆.经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤：如图，（1）连接AB，BC；（2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O；（3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求．2.三角形的外接圆（1）经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．（2）三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点．（3）三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径．（4）三角形的外心的位置类型锐角三角形直角三角形钝角三角形图示位置外心在三角形内部外心是斜边的中点外心在三角形外部【题型1判断确定圆的条件】【例1】（2025·福建厦门·二模）如图，已知线段AB，AD，点C在线段AB上，下列说法正确的是（

）A．经过点A，B，C，只能作一个圆B．经过点A，B，D，只能作一个圆C．经过点A，以AD的长为半径只能作一个圆D．经过点A，B，以AD的长为半径只能作一个圆【答案】B【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断．【详解】解：A、经过点A，B，C，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意；B、经过点A，B，D，只能作一个圆，说法正确，符合题意；C、经过点A，以AD的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意；D、经过点A，B，以AD的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．【变式11】（2425九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】本题考查了确定圆的条件，根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得，解题的关键是熟练掌握圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，只要有一段弧，即可确定圆心和半径，∴小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是②，故选：B．【变式12】平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（）A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4【答案】C【分析】根据四个点在平面上不同的位置确定有四种情况，分别讨论构成圆的个数即可得到答案.【详解】如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．故选：C．【点睛】此题考查点构成圆的个数，点的位置关系，正确分析点的位置关系是解题的关键.【变式13】（2425九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知M1,2，N3,−3，Px,y三点可以确定一个圆，则以下PA．3,5 B．−3,5 C．−1,7 D．1,−3【答案】C【分析】考查了确定圆的条件及一次函数图象与点的关系，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大．利用待定系数法求出直线MN的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于(−1,7)在直线MN上，可知答案．【详解】解：设直线MN的解析式为y=kx+b，∴k+b=23k+b=−3解得k=−5∴y=−5A、当x=3，y=−52×3+92=−3≠5，故3,5不在直线MN上，根据不在同一直线三点确定一个圆得B、当x=−3，y=−5C、当x=−1，y=−52×−1+D、x=1，y=−5故选：C．【题型2确定圆心（尺规作图）】【例2】（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD和边长为4的大正方形EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为．【答案】2【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，AB=BC=2，CF=CH=HG=4，取CH的中点O，连接OA，OF，OG，由勾股定理可得OA=OF=OG=25，可知点O为A、F、G【详解】解：由题意可知，AB=BC=2，CF=CH=HG=4，取CH的中点O，则OC=OH=2，OB=4，连接OA，OF，OG，由勾股定理可得：OA=AB2∴OA=OF=OG，即：点O为A、F、G三点所作圆的圆心，则该圆的半径为25故答案为：25【变式21】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝25，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为【答案】5【分析】如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT【详解】解：如图，设OA交BC于T．半径为r，∵AB=AC=25，AO平分∠BAC∴AO⊥BC，BT=TC=4，∴AT=A在Rt△OCT中，则有r解得r=5，故答案为：5．【点睛】本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式22】（2425九年级上·河南许昌·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．(1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；(2)已知：AB=16，CD=4．求（1）中所作圆的半径．【答案】(1)见解析(2)此残片所在圆的半径为10．【分析】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾股定理构造方程求边长是解题的关键．（1）由于CD是弦AB的垂直平分线，则圆心在直线CD上，因此连接AC，圆心在AC的垂直平分线上，故作AC的垂直平分线，交CD于点O，则点O就是所求的圆心；（2）连接AO，设半径为x，即AO=CO=x，则DO=CO−CD=x−4，根据CD是AB的垂直平分线，得到∠ADO=90°，AD=12AB=8，因此在Rt【详解】（1）解：如图，点O为所求的圆心．（2）解：连接AO，

设半径为x，即AO=CO=x，∴DO=CO−CD=x−4，∵CD是AB的垂直平分线，∴∠ADO=90°，AD=1∴在Rt△ADO中，A即82解得：x=10，∴此残片所在圆的半径为10．【变式23】（2425九年级上·福建福州·期中）“七巧板”是我国古代劳动人民的发明，被誉为“东方魔方”．小洁同学用一个边长为22的正方形纸片制作出如图①的七巧板，并拼出如图②的轴对称图形．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为（

A．322 B．52 C．73【答案】C【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，AD垂直平分BC交BC于点D，O为圆心，连接OB，先求得AD=4，AB=3，利用垂径定理求得BD的长，在Rt△OBD【详解】解：如图，AD垂直平分BC交BC于点D，O为圆心，连接OB，∵将边长为22∴AD=2+1+1=4，BC=2+1=3，∴BD=1设该圆的半径长是x，则OB=x，OD=4−x，在Rt△OBD中，由勾股定理得x解得x=73∴该圆的半径长是7332故选：C．【题型3求能确定的圆的个数】【例3】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(

)．A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆【答案】C【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可．【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆．故选C．【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键．【变式31】如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作个．【答案】3【分析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可．【详解】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆，故答案为3．【点睛】本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：①三点共线；②三点不共线．【变式32】已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上．（1）当直线l与直线AB不垂直时，可作几个圆？（2）当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，可作几个圆？（3）当直线l是线段AB的垂直平分线时，可作几个圆？【答案】（1）1个；（2）0个；（3）无数个．【分析】（1）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，据此可得答案；（2）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点；（3）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心．【详解】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆；（2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点，∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；

（3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心，∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆．【点睛】本题主要考查确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．【变式33】请你在如图所示的12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的个格点．【答案】16【分析】以一个小正方形的中心为圆心．记圆心坐标为（0.5，0.5），取半径为1302【详解】解：以一个小正方形的中心为圆心．记圆心坐标为（0.5，0.5），取半径为1302故答案为16【点睛】本题考查圆的半径，并且在解答是要注意半径与数轴的关系.【题型4画圆（尺规作图）】【例4】（2425九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知锐角△ABC中，AC=BC．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若AB=485，⊙O的直径为10，则AC=【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）利用尺规作出∠ACB的角平分线CD，作线段AC的垂直平分线交CD于点O，以O为圆心，OC为半径作⊙O即可．（2）连接OA，设射线CD交AB于E．利用勾股定理求出OE，CE，再利用勾股定理求出AC，可得结论．【详解】（1）解：如图，射线CD，⊙O即为所求．（2）解：连接OA，设射线CD交AB于E．∵CA=CB，CD平分∠ACB，AB=48∴CD⊥AB，AE=BE=245，又∴OE=O∴CE=OC+OE=5+7∴AC=A故答案为：8．【点睛】本题考查作图复杂作图，作角平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确作出图形，利用勾股定理解决问题．【变式41】（2024·甘肃·模拟预测）求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．【答案】图见解析【分析】此题主要考查了尺规作图，圆的基本性质，熟练掌握常见尺规作图是解题的关键．作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于点O，即O点为圆心．【详解】解：如图，⊙O即为所求．（1）作出∠CAB的角平分线，（2）作出线段BC的垂直平分线交于O，OB=OC，（3）即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，如下图所示：【变式42】（2025·甘肃定西·模拟预测）有趣的倍圆问题：根据圆的面积公式πr应用：如图，校园里有个圆形花坛，记为⊙O，为美化校园，准备春季改造，想把该花坛的面积扩大成原来面积的8倍，但原来花坛在新花坛的内部，请你根据他们的设计的步骤，完成下面的作图题：（按如下步骤完成，保留作图痕迹）①在⊙O中作直径AB，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线②延长直径AB，在延长线上截取OD=2OB，同样在射线OC上截取OE=2OB，连接DE；③以点O为圆心，DE的长为半径画圆，大⊙O为所求作的花坛．【答案】见解析【分析】此题考查了尺规作垂线，尺规作圆，根据题目中的作图方法求解即可．【详解】如图所示，大⊙O为所求作的花坛．【变式43】（2025·江苏扬州·三模）尺规作图：（保留作图痕迹即可）(1)请在图①中作菱形DEBF，使得点E在AD上，点F在BC上；（保留作图痕迹即可）(2)请在图②中以矩形ABCD的AD边为边作菱形ADEF，使得点E在BC上；（保留作图痕迹即可）(3)请在图③中以矩形ABCD的AD边为直径作⊙O，并在⊙O上确定点P，使得ΔBCP的面积与矩形ABCD【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键．（1）连接BD，作BD的垂直平分线，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF，则四边形DEBF为所求；（2）以点D为圆心，AD的长为半径画弧，交BC为点E，再分别以点E、点A为圆心，AD的长为半径画弧，两弧交于点F，连接DE、EF、AF，则四边形ADEF为所求；（3）作线段AD的垂直平分线MN，交AD于点O，以点O为圆心，AO的长为半径画圆，即可得⊙O，以点O为圆心，AB的长为半径画弧，在AD的上方交MN于点E，再作∠MEF=∠EOD，作直线EF，分别交⊙O于点P′、P【详解】（1）解：如图，菱形DEBF为所求．证明如下：∵EF是BD的垂直平分线，∴BE=DE，BF=DF，设EF与BD的交点为O，∴BO=DO，∵在矩形ABCD中，AD∥∴∠EDO=∠FBO，∵∠EOD=∠FOB，∴△DOE≌△BOFASA∴DE=BF，∴BE=DE=BF=DF，∴四边形BEDF是菱形．（2）如图，菱形ADEF即为所求．证明如下：由作图可得AD=DF=AF=EF，∴四边形ADEF是菱形．（3）解：如图，①作线段AD的垂直平分线MN，交AD于点O，以点O为圆心，AO的长为半径画圆，即可得⊙O；②以点O为圆心，AB的长为半径画弧，在AD的上方交MN于点E；③作∠MEF=∠EOD，作直线EF，分别交⊙O于点P′、P∴点P′、P证明如下：设MN与BC交于点G，∵∠MEF=∠EOD，∴EF∥∵在矩形ABCD中，AD∥∴EF∥由作图可知MN⊥AD，∴MN⊥EF，MN⊥BC，由作图可知OE=AB，∴OG=AB=OE，∴EG=2AB，∴S△BC【题型5三角形的外接圆】【例5】（2425九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知△ABC是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则△ABC的面积是（

）A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32【答案】B【分析】本题考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用，分类讨论是解答本题的关键；已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线AD，则AD所在直线必过圆心O；在Rt△OBD中，由勾股定理可求出OD的长，进而可求出△ABC的面积，需注意本题的△ABC【详解】解：如图①，过A作AD⊥BC于D，则AD必过点O，连接OB，在Rt△OBD中，OB=5,BD=4由勾股定理得：OD=OB2∴S△ABC如图②，同（1）可求得OD=3，则AD=OA−OD=2，∴S△ABC综上，△ABC的面积是32或8，故选：B．【变式51】如图，三角形ABC是⊙O的内接三角形，BO与AC相交于点D，设∠ABC＝m∠ABD﹣45°，∠ADB＝n∠ABD+45°，则m、n的等量关系为．【答案】m＝n+2．【分析】连接OA、OC，如下图所示，得到∠OAB＝∠ABD＝∠1，∠OCA＝∠OAC＝∠2，∠DBC＝∠OCB＝∠3，进而得到∠1+∠3＝m∠1﹣45°，2∠3+∠2＝n∠1+45°由此即可解出m和n的关系．【详解】解：设∠ABD＝∠1，∠OAC＝∠2，∠OCB＝∠3，∵△ABC内接于⊙O，∴点O是△ABC的外心，∴∠OAB＝∠ABD＝∠1，∠OCA＝∠OAC＝∠2，∠DBC＝∠OCB＝∠3，∵∠ABC＝m∠ABD﹣45°，∴∠1+∠3＝m∠1﹣45°①，∵∠ADB＝n∠ABD+45°，∴2∠3+∠2＝n∠1+45°②，∵∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°，即2∠1+2∠2+2∠3＝180°，∴∠1+∠2+∠3=90°，∴由②得∠3＝n∠1+∠1﹣45°＝（n+1）∠1﹣45°③，把③代入①得：∠1+（n+1）∠1﹣45°＝m∠1﹣45°，∴（n+2）∠1＝m∠1，即m＝n+2．故答案为：m＝n+2．【点睛】本题借助圆内半径相等得到等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握圆的对称性等基本性质是解决本题的关键．【变式52】（2425九年级上·黑龙江牡丹江·期中）半径为6的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB=AC，连接OB，OC，延长CO交弦AB于点D，若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．【答案】62或【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质；正确的作出图形是解题的关键．如图1，当∠ODB=90°时，可得△ABC是等边三角形，解直角△OBD可求解；如图2，当∠DOB=90°，推出△BOC是等腰直角三角形，解△BOC可求解．【详解】解：如图1，当∠ODB=90°时，即CD⊥AB，∴AD=BD，∴AC=BC，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠BCD=30°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠DBO=30°，∵OB=6，∴OD=1∴BD=O∴BC=AB=2BD=63如图2，当∠DOB=90°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴BC=2综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为62或6故答案为：62或6【变式53】（2324九年级上·浙江台州·阶段练习）数学活动课上，九（1）班同学在研究Rt△ABC（∠ACB=90°）和等腰△DEF（FD=FE小明说“当∠ABC=∠DFE，小刚说“当S△ABC=S你认为说法正确的是（

）A．小明对小刚不对 B．小刚对小明不对C．小明小刚都对 D．小明小刚都不对【答案】A【分析】本题主要考查了三角形外接圆的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、三角形三边关系，记△ABC外接圆圆心为O1（如图1），△DEF外接圆圆心为O2（如图2），设∠ABC=∠DFE=α，则∠O1AC=90°−α，∠DFO2【详解】解：如图，，记△ABC外接圆圆心为O1（如图1），△DEF外接圆圆心为O设∠ABC=∠DFE=α，则∠O∵△DEF为等腰三角形，∴O2在底边∴由等腰三角形的三线合一可得：O2F平分∴∠DFO∵∠BCA=90°，O1∴CO∴∠O∵O∴∠DFO∵DF=EF，∴∠FDE=180°−α∴∠O∵O∴∠O∴∠O1AC=∠∵AC=DE，∴△O∴△O如图3，当S△ABC=S△DEF，故选：A．【题型6求三角形外心坐标】【例6】（2425九年级上·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点O,A(4,0),B(4,3)三点，则下列说法中错误的是（

）A．这条圆弧所在圆的半径为52 B．这条圆弧所在圆的圆心为C．点N(0,3)在这条圆弧所在圆上 D．点M(2,5)在这条圆弧所在圆上【答案】D【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、点和圆的位置关系、勾股定理等内容,熟练掌握相关知识是解题的关键．根据点与圆的位置关系，确定圆的条件及勾股定理计算解答即可．【详解】解：如图，连接AB，作OA,AB的垂直平分线CM,EF，垂足分别为C,E，CM,EF相交于点D，则点D为圆弧所在圆的圆心，∴EF∥OA,ON∥CM∥AB,∵A(4,0),B(4,3)，∴D2,故选项B正确，连接OD，∴OD=2∴这条圆弧所在圆的半径为52故选项A正确，连接DN，∴DN=2−0∴点N(0,3)在这条圆弧所在圆上，故选项C正确，∵M2,5∴DM=5−3∵7∴点M(2,5)在这条圆弧所在圆外，故选项D错误，故选：D．【变式61】（2425九年级上·河北承德·期末）如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A0,2，B4,2，C6,0．圆心为D，则D【答案】(2,−2)【分析】本题主要考查垂径定理，点的坐标，通过作图，确定圆心的位置是解题的关键．找到AB，BC的垂直平分线的交点即为圆心，再求其坐标即可．【详解】解：如图，连接BC，分别作AB，BC的垂直平分线交于点D，由图可得D点坐标为(2,−2)，故答案为：(2,−2)；【变式62】（2425九年级上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+2分别交x轴，y轴于点A，点B，则△ABO【答案】2,1【分析】本题考查的是三角形是外接圆与外心，掌握圆周角定理、直角三角形外心的定义是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A，点B的坐标，再根据直角三角形外心是斜边的中点解答即可．【详解】解：∵y=−1∴当x=0时，y=2，当y=0时，−12x+2=0∴直线y=−12x+2于x轴的交点A的坐标为4,0，于y轴的交点B∵∠AOB=90°，∴△AOB为直角三角形，∴△ABO的外心为斜边AB的中点，即2,1，故答案为：2,1．【变式63】（2223九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，△ABC，A(−1,3)，B(−2,−2)，C(4,−2)，则△ABC外心的坐标为（

）A．(0,0) B．(1,1) C．(1,0) D．(1,−2)【答案】C【分析】如图，取格点E，F，G，H，且直线GH是线段BC的垂直平分线，四边形AFCE是正方形，则可得GH，EF的交点为Q为△ABC的外心，再分别求解GH，EF的解析式即可得到答案．【详解】解：如图，取格点E，F，G，H，则直线GH是线段BC的垂直平分线，四边形AFCE是正方形，∴直线EF是线段AC的垂直平分线，记GH，EF的交点为Q，则Q为△ABC的外心，∵A(−1,3)，B(−2,−2)，C(4,−2)，∴直线GH为x=1，E4,3，F设直线EF为y=kx+b，∴4k+b=3−k+b=−2，解得：k=1∴直线EF为y=x−1，当x=1时，y=0，∴Q1,0，即△ABC的外心坐标为：1,0故选C．【点睛】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，三角形的外心的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点”是解本题的关键．【题型7求三角形外接圆的半径】【例7】（2223九年级上·湖北武汉·期末）如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A−1,3、B−2,−2、C4,−2，则△ABCA．32 B．23 C．10 【答案】D【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设△ABC的外心为M，由B，C的坐标可知M必在直线x=1上，由图可知线段AC的垂直平分线经过点1,0，由此可得M1,0，过点M作MD⊥BC于点D，连接MB，由勾股定理求出MB【详解】解：设△ABC的外心为M，∵B−2,−2、C∴M必在直线x=−2+4由图可知，线段AC的垂直平分线经过点1,0，∴M1,0如图，过点M作MD⊥BC于点D，连接MB，Rt△MBD中，MD=2，BD=3，由勾股定理得：MB=M即△ABC外接圆半径的长为13．故选D．【点睛】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出△ABC外心的位置是解题的关键．【变式71】（2223九年级上·山东烟台·期末）把一条长2m的铁丝折成顶角为120°的等腰三角形，那么这个三角形外接圆的半径为m．【答案】(4−2【分析】设等腰△ABC的外接圆圆心为O，连接OB、OA，OA交BC于点D，则OA⊥BC，∠OAB=12∠BAC=60°，故BD=CD，再求证△OAB是等边三角形，得OA=OB=AB，则AD=12【详解】如图，设等腰△ABC的外接圆圆心为O，连接OB、OA，OA交BC于点D，则OA⊥BC，∠OAB=1∴BD=CD，∴△OAB是等边三角形，∴OA=OB=AB，∴AD=1设OA=AB=xm，则AD=∴BD=A∴BC=2BD=3由题意得：x+x+3解得：x=4−23即这个三角形的外接圆半径为：4−2故答案为：4−23【点睛】本题考查了三角形外接圆、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题关键．【变式72】（2425九年级上·江苏无锡·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则△DEF的外接圆半径为【答案】5【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AB=10，然后利用三角形的中位线定理可得：EF=12AB=5，DE∥AC，【详解】如图：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=A∵点E，F分别是BC，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=1∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，∴∠DEB=∠C=90°，∵点D，F分别是AB，AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF∥BC，∴∠DEB=∠EDF=90°，∴△DEF外接圆半径=1故答案为：52【变式73】如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，BD=BE=6，CD=CA=10，则△AED的外接圆半径为（A．3 B．103 C．113 【答案】B【分析】先作辅助线，再根据三角形外接圆的性质以及垂径定理可以得到OM、OD、DM三者之间的关系，最后利用勾股定理求出外接圆的半径．【详解】解：如图所示∵BE=BD∴∠BED=∠BDE∴∠AED=∠EDF∵∠AED+∠AFD=180°，∠EDF+∠EAF=180°∴∠EAF=∠AFD∴BA=BF∵CD=CA，AB=AC∴BA=BF=CA=CD，∠B=∠C∴在△BAF与△CAD中∴BA=CA∴△BAF≌△CAD∴AF=AD∴作AM⊥DF，垂足为M则DM=FM=∴AM过外接圆圆心，设圆心为O，连接OD∵BD=BE=6，CA=CD=10∴BC=CD+BD=16∵AM⊥BC，AB=AC∴BM=CM=∴AM=102∴设OA=OD=R，则OM=6−R∴在Rt△ODM中O即R∴R=∴外接圆的半径为：10故选B【点睛】本题考查的是三角形外接圆的性质，等腰三角形的性质：等边对等角，全等三角形性质和判定等相关知识点，利用三角形外接圆的性质做出辅助线是解题的关键．【题型8最小覆盖圆】【例8】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．（1）请分别作出下图中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）．【答案】(1)见解析;(2)锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆【分析】第一个三角形是锐角三角形，那么它的最小覆盖圆应该是三角形ABC的外接圆；第二个三角形是钝角三角形，那么它的最小覆盖圆应该是以BC为直径的圆．【详解】解：（1）如图；（2）锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以