专题241圆（举一反三讲义）数学人教版九年级上册

专题24.1圆（举一反三讲义） 【人教版】TOC\o"13"\h\u【题型1圆的认识】 2【题型2判断点与圆的位置关系】 4【题型3利用点与圆的位置关系求半径】 6【题型4与圆有关的概念】 9【题型5利用圆的基本性质求角度】 11【题型6利用圆的基本性质求长度】 14【题型7利用圆的基本性质求坐标】 18【题型8利用圆的基本性质求最值】 22知识点1圆的定义及表示方法1.定义：（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．“圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”．（2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．确定一个圆需要两个要素圆心：确定圆的位置，圆的表示方法以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．圆的特性（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上；（3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形．知识点2点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为点知识点3圆的有关概念弦与直径连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）．2.弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（3）弧（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．3.同心圆、等圆与等弧圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．同圆或等圆的半径相等．【题型1圆的认识】【例1】（2425九年级上·江苏南京·开学考试）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关键．根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可．【详解】解：同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故①正确；如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆，故②正确；圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故③错误．故选：A．【变式11】到点A的距离等于2厘米的点的轨迹是．【答案】以点A为圆心，2厘米长为半径的圆【分析】本题考查了轨迹，主要是对圆的轨迹定义的考查，比较简单．根据圆的定义解答．【详解】解：到点A的距离等于2厘米的点的轨迹是：以点A为圆心，2厘米长为半径的圆．故答案为：以点A为圆心，2厘米长为半径的圆．【变式12】下列条件中，能确定一个圆的是（

）A．以点O为圆心 B．以10cmC．以点O为圆心，10cm长为半径 D．经过已知点【答案】C【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．【详解】A、只确定圆的圆心，不可以确定圆；B、只确定圆的半径，不可以确定圆；C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆；D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆；故选：C．【变式13】如图所示，在四边形ABCD，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．【答案】证明见解析【分析】根据圆的定义进行判断即可，圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，利用直角三角形斜边上的中线可得OB=OA=OC=OD，即可推出A、B、C、D四点在同一个圆上．【详解】证明：连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，∵∠B=∠D=90°，∴OB=12AC，OD=1∴A、B、C、D四点在同一圆上．【点睛】本题考查圆的定义，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，构造直角三角形.【题型2判断点与圆的位置关系】【例2】（2025九年级下·全国·专题练习）矩形ABCD中，AB=8，BC=35，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（

A．点B、C均在圆P外 B．点B在圆P外、点C在圆P内C．点B在圆P内、点C在圆P外 D．点B、C均在圆P内【答案】C【分析】本题考查了点与圆的位置，由AB=8，BP=3AP得到AP=2，BP=6，再根据勾股定理，计算出PD=7，PC=9，则PB=6<7，PC=9>7，然后根据点与圆的位置关系进行判断．【详解】解：如图，连接PC，PD，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=35∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP，∴AP=2，BP=6，∴r=PD=APC=P∵PB=6<7，PC=9>7∴点B在圆P内、点C在圆P外故选：C．【变式21】（2425九年级上·浙江温州·期中）若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是1,2，点P的坐标是5,4，那么点P在（填“圆内”“圆上”或“圆外”）．【答案】圆内【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据两点间的距离公式求出AP的长，再与5相比较即可．熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键．【详解】解：∵圆心A的坐标是1,2，点P的坐标是5,4，⊙A的半径为5，∴AP=5−1∴点P在圆内．故答案为：圆内．【变式22】（2425九年级上·江苏宿迁·期末）已知⊙O的半径是方程x2−5x−24=0的根，且点A到圆心O的距离为6，则点A在（A．⊙O上 B．⊙O内 C．⊙O外 D．无法确定【答案】B【分析】本题主要考查了解一元二次方程、点与圆的位置关系等知识点，掌握判定点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．先根据题意求得方程的根，从而得到圆的半径，再根据半径r与d的值的大小关系即可解答．【详解】解：解方程x2−5x−24=0得：∴圆O的半径是8，∵点A到圆心O的距离为6，6<8，∴点A在圆O内．故选：B．【变式23】（2425九年级上·江苏泰州·阶段练习）在等边△ABC中，点A在以BC边为直径的圆．（填“上”“内”或“外”）【答案】外【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系、等边三角形的性质，勾股定理等知识点，比较半径和A到圆心的距离之间的大小关系即可得解，熟练掌握点和圆的位置关系、等边三角形的性质是解题的关键．【详解】解：如图，△ABC为等边三角形，

过A作AD⊥BC于点D，则BD=CD，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，∴∠BAD=30°，∴BD=1∴AD=2BD2−B∴点A在以BC为直径的圆外，故答案为：外．【题型3利用点与圆的位置关系求半径】【例3】（2425九年级上·贵州遵义·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P是AC边上的一个动点，以点P为圆心，PA长为半径作圆，若使点C在⊙P内且点B在⊙P外，则⊙P的半径可以是（

A．32 B．2 C．125 【答案】C【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理；分别求得PC,PB的最小值，进而确定⊙P的半径范围，即可求解．【详解】解：设⊙P的半径为x，即AP=x，则PC=AC−PC=4−x，∵点C在⊙P内∴PC<PA，即4−x<x，解得：x>2，连接PB，在Rt△PBC中，当PB=PA=x时，x解得：x=∵点P是AC边上的一个动点，BC=3，点B在⊙P外∴x<∴2<x<258，结合选项可得⊙P故选：C．【变式31】（2425九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是8，最小距离是2，则这个圆的半径为（

）A．6 B．3 C．8 D．4【答案】B【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关键．根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案．【详解】解：∵圆外一点到圆的最大距离是8，最小距离是2，∴圆的直径是8−2=6，∴圆的半径是3．故选：B．【变式32】已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围为（

A．3≤r≤4 B．3≤r＜5 C．3≤r<4 【答案】D【分析】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理，由于BD>AB>BC,根据点与圆的位置关系得到3≤r≤5，注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<x【详解】解：如图：连接AC、BD,

∵矩形ABCD中，AB=4,BC=3,∴BD=AC=AD=BC=3,CD=AB=4,∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5，故选：D．【变式33】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是（

A．2.5<r≤4 B．2.5<r<4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r<4【答案】A【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系．由勾股定理可求得AB的长，进而得到AD的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为AD和AC长度之间时，B、C、D三点中只有点D在⊙A内，据此即可解答．【详解】∵在Rt△ABC中，BC=3，AC=4∴AB=A∵D为AB的中点，∴AD=1

由上图可知，当⊙A的半径r=AD=52时，点D在当⊙A的半径r=AC=4时，点C在⊙A上，点D在圆内，当⊙A的半径r=AB=5时，点B在⊙A上，点C、D在圆内，当⊙A的半径满足52<r≤4时，点D在当⊙A的半径满足4<r≤5时，点C、D在⊙A内，当⊙A的半径满足r>5时，点B、C、D在⊙A内，∴若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是52故选：A.【题型4与圆有关的概念】【例4】下列说法中，正确的是（

）A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是一个圆中最长的弦【答案】D【分析】本题考查了等弧、等弦的概念，优弧、劣弧大小的比较，弦与直径的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等弧的定义，弦的定义即可解答．【详解】解：A、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，故A选项错误；B、两弧若不在同圆或等圆中，则结论不一定成立，故B选项错误；C、在等圆中，存在长度相等的弦，例如等圆中的直径都相等，故C选项错误；D、直径是一个圆中最长的弦，正确，故D选项正确；故选：D．【变式41】如图，在⊙O中，（1）半径有：．（2）直径有：．（3）弦有：．（4）劣弧BC对应的优弧是，它们刚好拼成一个完整的圆．【答案】OA，OBABAB，AC，BCBAC【分析】本题考查圆的基本概念，根据半径，直径，弦，弧的定义，逐一进行判断即可．【详解】解：（1）半径有OA，OB；（2）直径有AB；（3）弦有AB，AC，BC；（4）劣弧BC对应的优弧是BAC；故答案为：OA，OB；AB；AB，AC，BC；BAC【变式42】小明在半径为5的圆中测量弦AB的长度，下列测量结果中一定是错误的是（

）A．4 B．5 C．10 D．11【答案】D【分析】根据直径是圆中最长的弦即可求解．【详解】解：∵半径为5的圆，直径为10，∴在半径为5的圆中测量弦AB的长度，AB的取值范围是：0<AB≤10，∴弦AB的长度可以是4，5，10，不可能为11．故选：D．【点睛】本题考查了圆的认识，掌握弦与直径的定义是解题的关键．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径．【变式43】（2425九年级上·安徽淮南·期中）下列命题中，正确的是（

）①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤【答案】C【分析】本题考查命题与定理，根据半圆和弧的定义对①进行判断，根据弦的定义对②③进行判断；根据直径的定义对④进行判断；根据圆的定义对⑤进行判断．解题的关键是掌握是：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．【详解】解：半圆是弧，故命题①正确；弦是连接圆上任意两点之间的线段，故命题②错误；半径不是弦，故命题③错误；直径是圆中最长的弦，故命题④正确；在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，故命题⑤正确；∴正确的是①④⑤．故选：C．【题型5利用圆的基本性质求角度】【例5】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，若∠BOD=84°，则∠ACO的度数为（）A．38° B．46° C．44° D．48°【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆的相关定义，掌握相关知识点是解题关键．先证明△AOB≌△CODSSS，推出∠BOD=∠AOC=84°【详解】解：在△AOB和△COD中，OA=OCOB=OD∴△AOB≌△CODSSS∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB−∠AOD=∠COD−∠AOD，∴∠BOD=∠AOC=84°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=180°−∠AOC故选：D．【变式51】（2425九年级上·四川绵阳·期末）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∠BCD=30°，则∠ABC等于（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【分析】本题考查了三角形内角和定理，垂线定义，由AB⊥CD，得出∠BEC=90°，根据∠BCD=30°，再由三角形内角和定理计算即可得解．【详解】解：∵AB⊥CD，∴∠BEC=90°，∵∠BCD=30°，∴∠ABC=180°−90°−30°=60°．故选：D．【变式52】（2425九年级上·天津·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（

）A．15° B．10° C．12° D．50°【答案】B【分析】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．先求得∠B=50°，再由等腰三角形的性质求出∠BCD=180°−2×50°=80°，则∠ACD与∠BCD互余．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠B=50°，∵CD=CB，∴∠BCD=180°−2×50°=80°，∴∠ACD=90°−80°=10°；故选：B．【变式53】（2425九年级下·甘肃张掖·期中）如图，已知点A，D，C在⊙O上，连接OA,OC,AD,CD，若四边形AOCD是菱形，则∠AOC的度数是（

）A．150° B．120° C．90° D．60°【答案】B【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，先连接DO，结合半径相等以及菱形的性质得AD=DC=CO=DO=AO，故△AOD,△COD都是等边三角形，即可作答．【详解】解：连接DO，如图所示：依题意，DO=OC=OA，∵四边形AOCD是菱形，∴AD=DC=CO，即AD=DC=CO=DO=AO，∴△AOD,△COD都是等边三角形，∴∠AOD=60°=∠COD，即∠AOC=60°+60°=120°，故选：B【题型6利用圆的基本性质求长度】【例6】（2425九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在⊙O中，直径MN=20，正方形ABCD的四个顶点都分别在半径OP、OM及⊙O上，且∠POM=45°，则AB=（）A．4 B．25 C．26【答案】B【分析】本题主要考查了圆的基本性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，构造与AB相关的直角三角形．先结合正方形的性质证明△OCD为等腰直角三角形，易得CO=CD，设AB=BC=CD=CO=x，则BO=2x，在Rt△ABO中根据勾股定理求得x【详解】解：连接OA，如下图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，∴∠DCO=180°−∠BCD=90°，∵∠POM=45°，∴∠CDO=90°−∠POM=45°，∴∠CDO=∠POM，∴CO=CD，∵直径MN=20，∴OA=1设AB=BC=CD=CO=x，则BO=BC+CO=2x，在Rt△ABO中，可有A即x2解得x=25或x=−2∴AB=25故选：B．【变式61】（2425九年级上·广东惠州·期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，则AB的值为（

）A．6 B．7 C．8 D．10【答案】D【分析】本题考查了圆的基本概念、勾股定理，连接OC构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．连接OC，在Rt△OCD中利用勾股定理求出OC的长，再结合AB是⊙O【详解】解：如图，连接OC，∵CD⊥AB，∴∠CDO=90°，∵CD=4，OD=3，∴OC=C∵AB是⊙O的直径，∴AB=2OC=10．故选：D．【变式62】（2425八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在△ABC中∠B=75°，DE⊥AC于点E，交AB于点M，AE=CE，以点C为圆心CA长为半径作弧，交DE于点F，连结CF交AB于点G．若CG=FG=2，则AB长为（

）A．2 B．4 C．23 D．【答案】B【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，灵活运用等腰、等边三角形性质求解是解题的关键．连接AF，根据线段垂直平分线的性质可得AF=CF，结合题意证△AFC是等边三角形，根据等边三角形“三线合一”可得∠CAB=30°，在△ABC中三角形内角和定理求出∠ACB=∠B=75°，得出AB=AC=4．【详解】解：连接AF，如图．∵DE⊥AC,AE=CE，∴AF=CF，由题意可知CF=CA，∴AF=CF=CA=4，∴△AFC是等边三角形，∴∠ACF=∠CAF=60°，∵CG=FG=2，∴∠CAB=1∵∠B=75°，∴∠ACB=∠B=1∴AB=AC=4，故选：B．【变式63】如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB=AC，直径AD交BC于点E，若DE:AD=1:4，则BE:AB=（

）．A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，圆的基本性质，先证明AO垂直平分BC，再利用勾股定理用OB分别表示出BE，【详解】解：如图所示，连接OB，∵⊙O为△ABC的外接圆，∴OB=OC，∵AB=AC，∴AO垂直平分BC，∴AD⊥BC，∵DE:AD=1:4，∴DE=1∴OE=1∴AE=3在Rt△OBE中，由勾股定理得BE=在Rt△ABE中，由勾股定理得AB=∴BE:AB=1：2，故选：A．【题型7利用圆的基本性质求坐标】【例7】（2025·宁夏银川·模拟预测）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点A的坐标为0，4，则点B的坐标为【答案】2【分析】本题主要考查确定点的坐标，由点A的坐标为0，4得OA=4，连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D，则OB=OA=4，再求出∠BOD=30°，可得BD=2,OD=23【详解】解：连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D，如图，∵点A的坐标为0，∴OA=4，∴OB=OA=4，∵∠AOB=13×360°=120°∴∠BOD=30°，∴BD=1∴OD=O∵点Ｂ是第四象限内的点，∴点B的坐标为23故答案为：23【变式71】（2425九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，直线l与⊙O相交于点A，B，点A的坐标为3,1，则点B的坐标为．【答案】−3,−1【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点Px,y关于原点O的对称点是P【详解】解：由图可以发现：点A与点B关于原点对称，∵点A的坐标为3,1，∴点B的坐标为−3,−1，故答案为：−3,−1．【变式72】（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于12OB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线CD与AB相交于点E．若OA=2，则点E的坐标为（

A．−2,1 B．−3,1 C．−1,3【答案】B【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图及性质，连接OE，设DE，OB交于F，由作图方法可得CD垂直平分OB，则OF=12OB=【详解】解：如图所示，连接OE，设DE，OB交于由作图方法可得CD垂直平分OB，∴OF=12OB=又∵OE=OA=2，∴EF=O∴点E的坐标为−3故选：B．

【变式73】（2025·山东淄博·一模）对于点P和线段AB，给出如下定义：若将线段AB绕点P旋转可以得到⊙O的弦A1B1（A1，B1分别是A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的以点P为中心的“和谐线段”．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P−1,1，A−2,3，B−1,2的，连接A．0,1 B．0,−1 C．1,0 D．−1,0【答案】B【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，圆的基本特点，根据题意可得C−1,0，D0,1都在⊙O上，由PB=1，PC=PD=1可得点B只能在C、D这两个位置，同理点A只能在1,0，0,−1这两个位置，进而确定【详解】解：∵P−1,1，B∴PB=1，∵⊙O的半径为1，∴C−1,0，D如图，∵PC=PD=1，∴劣弧CD（不包括端点）上的任意一点到点P的距离都小于1，优弧CD（不包括端点）上任意一点到点P的距离大于1，∴点B只能在C、D这两个位置，同理可得点A只能在1,0，0,−1这两个位置，∴A10,−1，当A1当A11,0，B1∴A1故选：B．【题型8利用圆的基本性质求最值】【例8】（2425九年级上·海南·期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点E,F分别从点A,C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,CD向终点B,D运动，过点E,F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（

）A．52 B．32 C．5【答案】A【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键．连接AC,BD交于点O，取OA中点为H，连接GH，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹，从而求出AG的最大值．【详解】连接AC,BD交于点O，取OA中点为H，连接GH，如图所示，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°,OA=OC,AB∥CD，∴在Rt△ABC中，AC=∴OA=OC=1∵AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE与△COF中，AE=CF∠EAO=∠FCO∴△AOE≌△COF，∴∠AOE=∠COF，∴O,E,F三点共线，∵AG⊥EF，H是OB的中点，∴在Rt△AGO中，GH=∴G的轨迹为以H为圆心，54为半径即AO∴AG的最大值为AO的长，即AG【变式81】（2425九年级下·河北邢台·期末）如图，A、B为⊙O上两点，∠AOB=90°，C为⊙O上一动点（不与A，B重合），D为AC的中点．若⊙O的半径为2，则BD的最大值为（

）A．1+5 B．C．3 D．25【答案】A【分析】本题考查了中位线的性质，三角形边长关系，勾股定理，连接CO，