第06讲用空间向量研究距离夹角问题（七大题型思维导图知识梳理课后提升练）（人教A版选择性）（原卷版）

第06讲用空间向量研究距离、夹角问题【人教A版】模块一模块一用空间向量研究空间距离1．距离问题2．向量法求点到直线距离的步骤：(1)根据图形求出直线的单位方向向量.(2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量.3．求点到平面的距离的常用方法(1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离.(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求.(3)等体积法.【题型1点到平面距离的向量求法】【例1】（2425高二下·江苏扬州·期中）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P，Q分别为平面A1BA．105 B．21111 C．5【变式1.1】（2425高二下·山东菏泽·开学考试）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，A．53 B．305 C．23【变式1.2】（2425高二下·福建泉州·期末）如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=3.(1)证明：平面PCD⊥平面PAD；(2)求点B到平面PAD的距离.【变式1.3】（2425高二下·福建宁德·期中）如图所示，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，E为PC的中点，PD=DC=2.(1)证明：PA//平面BDE(2)求点E到平面PAB的距离.【题型2平行平面距离的向量求法】【例2】（2425高二上·全国·课后作业）正方体ABCD−A1B1C1D1A．2 B．3 C．23 D．【变式2.1】（2425高二下·全国·课后作业）正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是棱AB，AD，B1A．13 B．23 C．12【变式2.2】（2425高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段【变式2.3】（2025高二·全国·专题练习）设正方体ABCD−A(1)求直线B1C到平面(2)求平面A1BD与平面【题型3点到直线距离、异面直线距离的向量求法】【例3】（2425高二上·江西上饶·阶段练习）已知直线l过点M1,1,1，且方向向量为n=−1,0,1，则点A1,−1,−1到直线lA．22 B．6 C．3 D．【变式3.1】（2425高二上·辽宁大连·期中）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1，AB=2，AD=3A．2 B．10 C．1 D．6【变式3.2】（2425高二上·辽宁大连·期末）三棱台ABC−A1B1C1中，AB=2A1B1,AB⊥BC,AC⊥BB1(1)证明：DE∥平面A(2)求异面直线A1C1【变式3.3】（2425高二上·河南开封·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，(1)求点F到直线B1(2)求点F到平面A1模块二模块二用空间向量研究空间角1．夹角问题(1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．(2)空间角的向量法解法角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角直线与平面所成的角两个平面的夹角2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；3．向量法求直线与平面所成角的主要方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.4．向量法求二面角的解题思路:用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小.【题型4向量法求异面直线所成的角】【例4】（2425高二上·贵州六盘水·期末）直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1=2，点P是A．15 B．1010 C．105【变式4.1】（2425高二上·河北廊坊·期末）如图，在三棱锥A−BCD中，AB=AC=AD=2，且AB，AC，AD两两垂直，M，N分别为BC，AD的中点，则异面直线AM和CN夹角的余弦值为（

）A．−55 B．55 C．3【变式4.2】（2526高二上·河北衡水·阶段练习）如图，正四棱锥S−ABCD，SA=2，AB=2，P为侧棱SD(1)求证：AC⊥SD；(2)求异面直线SA与CP所成角的余弦值．【变式4.3】（2526高二上·全国·单元测试）如图，已知正方体ABCD−A′B′C(1)求直线CE与直线B′(2)求直线B′C′【题型5向量法求线面角】【例5】（2425高二上·辽宁丹东·期末）在三棱锥O−ABC中，OA,OB,OC两两互相垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA，则直线AE与平面ABC所成角的正弦值为（

）A．36 B．312 C．66【变式5.1】（2425高二上·浙江·阶段练习）在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD//BC，AD=2AA．23 B．53 C．22【变式5.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，点A1在底面ABC的射影为O，AB⊥AC，A1A=(1)证明：OE∥平面A(2)若直线AB与平面EAC所成角的正弦值为105，求AB【变式5.3】（2526高二上·全国·单元测试）如图，在梯形PBCD中，BA⊥PD，AD=2，PA=AB=BC=1，将△PAB沿AB折起至△P′AB(1)求证：平面ABCD⊥平面P′(2)若点T是CD的中点，点M是P′T的中点，求直线AP【题型6向量法求二面角】【例6】（2425高二上·辽宁沈阳·期末）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=6，AA1=4，点A．2222 B．23 C．33【变式6.1】（2425高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，四棱锥S−ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，SD⊥平面PAC，P为侧棱SD上的点，则二面角P−AC−B的余弦值为（

）A．32 B．−32 C．−【变式6.2】（2025·全国·模拟预测）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD⊥AB，AD=2BC，E为(1)证明：CE//平面PAB；(2)若△PAB为等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，AB=AD=2，求二面角P−AC−E的余弦值．【变式6.3】（2526高三上·湖北武汉·开学考试）如图1，在△ABC中，∠B=90∘，D、E两点分别在AB、AC上，使ADDB=AEEC=DE=BD=2.现将△ABC(1)求证：AD⊥平面BCED；(2)求平面ACE与平面ACD所成角的余弦值.【题型7利用空间向量研究探索性问题】【例7】（2425高三上·山东威海·期末）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的多面体中，平面ABCD⊥平面AEFB,AD⊥AB，AB∥CD∥EF,AB=4,AD=CD=EF=AE=BF=2,M为AD的中点(1)证明：AF//平面EMC；(2)在棱BF上是否存在一点P，使得直线CP与平面EMC所成角的大小为π6.若存在，求BP【变式7.1】（2425高二上·湖南永州·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，DP=DC=2，AD⋅(1)求线段AD的长；(2)线段AD上是否存在点E，使得平面PEB与平面PAD夹角的余弦值为26？若存在，求出DE【变式7.2】（2425高二上·天津和平·开学考试）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD,PD⊥DC,AD⊥DC，AB//DC,AD=PD=AB=12CD=1，M(1)证明：BM//平面PAD；(2)求平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值；(3)在线段PA上是否存在点Q，使点Q到平面BDM的距离是269？若存在，求【变式7.3】（2425高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面PBC,∠ABP=π3，底面ABCD为直角梯形，AB∥DC,AB⊥BC,AB=2DC=4，(1)证明：平面ABCD⊥平面PAB；(2)求点C到平面PAD的距离；(3)线段PC上是否存在一点E，使得平面BDE与平面PAD所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为79，若存在，求出PE一、单选题1．（2526高二上·全国·单元测试）已知A1,0,1，B1,12,0，C0,1,0，M1,12A．6 B．64 C．612 2．（2526高二上·全国·课前预习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，若点M为AB的中点，A．321 B．521 C．3143．（2526高二上·全国·课前预习）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，P分别为棱AAA．16 B．14 C．134．（2526高二上·全国·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑A−BCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD=2，M为AD中点，N为CD中点，则直线CM与平面ABN所成角的余弦值为（

）A．24 B．13 C．1555．（2526高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，O为△PBC的重心，PM=13PA，且PA=3，AB=2，则点O到直线A．666 B．664 C．3366．（2425高二上·北京·阶段练习）如图，三棱锥A−BCD中，AB=BC=AC=DB=DC，且平面ABC与底面BCD垂直，E为BC中点，EF→=DA→，则平面ADB与平面A．55 B．255 C．67．（2425高二上·北京延庆·期末）如图，在正方体ABCD−A1B1C1DA．D1E//B．EC．二面角E−A1D．直线EB1与平面8．（2425高二上·广东广州·阶段练习）如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到A′，连接A′B，且A′D⊥DC，平面与A′BEA．平面A′DE⊥B．CD//lC．BC与平面A′DED．二面角E−A′二、多选题9．（2425高二下·广西贵港·阶段练习）如图，已知正方体ABCD−A1B

A．异面直线BC1与B．BC1C．点D与平面ACD1D．直线CA1与平面ABCD10．（2425高二上·湖北孝感·期中）已知正方体ABCD−A1BA．直线B1C与直线B．直线B1C与平面ACC．B1D⊥D．点B1到平面ACD11．（2425高二上·浙江绍兴·期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达⋅芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达⋅芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（

）A．点C1到直线CQ的距离是53 B．异面直线CQ与BDC．直线B1C1到平面CGQ的距离是22 D．直线CQ三、填空题12．（2425高二上·北京西城·期中）在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AA1=13．（2425高二上·广东江门·期中）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D14．（2025高三·北京·专题练习）如图所示，P，O分别是正四棱柱ABCD−A1B1C1D1上，下底面的中心，E是①OC⊥PB；②A1③异面直线A1E与PA所成角的余弦值为④平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为13四、解答题15．（2425高二上·上海静安·期中）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22a，设E,F(1)证明：直线EF//平面PAD；(2)求直线PB与平面ABCD所成的角的正切值．16．（2526高二上·安徽阜阳·开学考试）如图所示，已知四棱锥E−ABCD中，ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BE⊥平面ABCD，AB=BC=BE=2AD=6.(1)求点B到平面CDE的距离；(2)求二面角A−CD−E的正切值.17．（2425高二上·广东汕头·期末）如图，在三棱锥P−ABC中，AC=2，BC=4，△PAC为正三角形，D为AB的中点，∠PCB=∠ACB=90°．(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)若O为AC的中点，求平面POD与平面PBC的夹角．18．（2025·北京石景山·一模）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB/