第十三章三角形的边角关系命题与证明（举一反三讲义）数学沪科版2024八年级上册（原卷版）

第十三章三角形的边角关系、命题与证明（举一反三讲义）全章题型归纳【沪科版2024】TOC\o"13"\h\u【培优篇】 5【题型1三角形的概念及其分类】 5【题型2构成三角形的条件】 6【题型3三角形的稳定性】 7【题型4利用三角形的中线求周长】 7【题型5直角三角形的性质及判定】 8【题型6利用三角形的内角和及外角性质求值】 9【拔尖篇】 10【题型7三角形三边关系的应用】 10【题型8利用三角形的中线求面积】 11【题型9与三角形的高有关的分类讨论】 12【题型10与角平分线有关的角度计算】 12【题型11与平行线有关的角度计算】 14【题型12与翻折有关的角度计算】 15知识点1三角形的概念1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形．2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角．3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示．知识点2三角形的分类1.等腰三角形三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.2.三角形的分类（1）按边分类三角形等腰三角形三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形（2）按角分类三角形三角形斜三角形锐角三角形知识点3三角形的三边关系1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．2.判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．3.三角形具有稳定性．知识点4三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．三角形的重心在三角形内部．知识点5三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部．知识点6三角形的高1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．2.三角形的三条高的特性311直角顶点知识点7三角形内角和定理定义：三角形三个内角的和等于180°．如图所．【拓展】三角形内角和的倒角模型：由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4．由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D．知识点8直角三角形的性质及判定1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．在ABC中，∵∠C=90°，∴∠A．2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．在ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形．知识点9三角形的外角1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．3.三角形的外角和等于360°．在ABC中，∠ACD是ABC的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC,∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°．知识点10命题1.判断某一件事情的语句叫命题．2.命题的定义包含两层含义（1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句；（2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断．知识点11命题的组成与分类1.许多命题由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项；结论是由已知事项推出的事项．这样的命题通常可写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分就是结论．2.命题分真假命题，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”．知识点12定义我们需要用不同的语句来说明我们学过的许多名词各自所包含的确切意义，例如，我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义．这样的语句叫做这些名词的定义．知识点13定理公认的真命题称为基本事实．数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．对于基本事实，它是不需要推理论证的真命题，它可以作为判断其他命题真假的依据，它是经过证明的真命题，但并不是所有的真命题都是定理，定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据．知识点14原命题与逆命题将命题“如果p,那么q”中的条件与结论互换，使得到一个新命题“如果q,那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题．知识点15证明及证明的一般步骤1.根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．2.证明的一般步骤根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据．【培优篇】【题型1三角形的概念及其分类】【例1】（2425八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（

）A．3个 B．4个 C．6个 D．9个【变式11】下列说法正确的是（

）A．有一个内角是锐角的三角形是锐角三角形 B．钝角三角形的三个内角都是钝角C．有一个内角是直角的三角形是直角三角形 D．三条边都相等的三角形称为等腰三角形【变式12】（2425七年级下·河北邢台·阶段练习）如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（

）A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对【变式13】如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是个．【题型2构成三角形的条件】【例2】（2425七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为2cm，3cm，4cm，6cm的木棒，从中任意取3根，则这【变式21】（2025·福建龙岩·一模）若三角形的三边长分别为3，5，m，则m的值可以是（

）A．1 B．2 C．6 D．9【变式22】（2425七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为2m，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形ABC中，AC=4,BC=6，边AB是特征边，那么边AB的长为．【变式23】已知a，b，c是△ABC的三边．(1)a=4，b=6，则c的取值范围是；若c为偶数，则△ABC的最大周长为．(2)若△ABC是等腰三角形，a=4，周长为16，求另外两边长．【题型3三角形的稳定性】【例3】（2425七年级下·辽宁沈阳·期中）下列图形中，具有稳定性的是（

）A． B．C． D．【变式31】（2425七年级下·广东深圳·期末）如图是张老师自制的教具模型图，利用教具她验证了连接平行四边形相邻两边上的两点后，此时图形的形状是无法改变的，她用到了三角形“”的性质．【变式32】（2425七年级下·河南郑州·期末）三角形具有稳定性，生活中很多地方都用到了这一性质，请你列举一个利用三角形稳定性的实例：．【变式33】如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上根木条．【题型4利用三角形的中线求周长】【例4】（2425七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在△ABC中，CE是△ABC的角平分线，点D在AC边上（不与点A、C重合），连接BD交CE于点F．(1)若BD是△ABC的中线，AB=10,BC=9，求△ABD与△BCD的周长之差；(2)若BD是△ABC的高，∠ACB=68°，求∠BFC的度数．【变式41】（2425八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，△ABC中，AB=8cm，BC=5cm，BD是△ABC的中线，则△ABD的周长比△BCD的周长大【变式42】如图，在△ABC中，AD是中线，AB=10cm，AC=6(1)求△ABD与△ACD的周长差．(2)点E在边AB上，连接ED，若△BDE与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．【变式43】（2425七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．(1)已知AB−AC=5cm，△ABD的周长为25cm，求(2)在△AEB中作AE边上的高；(3)若△ABC的面积为40，AE=5，则点B到AE边的距离为多少？【题型5直角三角形的性质及判定】【例5】（2425九年级下·吉林长春·阶段练习）一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放．若∠1=132°，则∠2的大小为（

）度．A．42° B．48° C．58° D．45°【变式51】（2425八年级下·湖南郴州·期末）如图，AB∥CD，DE⊥BF．若∠B=34°，则∠D的度数为【变式52】（2425八年级上·贵州毕节·阶段练习）在下列条件：①∠A+∠B=∠C；②∠A:∠B:∠C=1:2:3；③∠A=∠B=2∠C；④∠A=12∠B=13A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【变式53】如图，点E、F分别在CD、AB上，连接BE、CF、DF，BE⊥DF于点G，∠C=∠1．

(1)求∠CFD的度数；(2)若∠2+∠D=90°，求证：AB∥【题型6利用三角形的内角和及外角性质求值】【例6】（2425七年级下·福建泉州·期末）如图，∠BAD，∠BCD的角平分线相交于点P，若∠B=5∠D=65°，则∠P的度数为．【变式61】（2425七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在△ABC中，∠1=∠B，∠2=∠C，∠BAC=60°，求∠B的度数．【变式62】（2425八年级上·河南郑州·期末）如图，∠A=100∘，∠D=80∘，则A．100° B．200° C．180° D．210°【变式63】（2425八年级上·湖南株洲·期末）如图，在△ABA1中，∠B=20°,AB=A1B，在A1B上取一点B1，延长AA1到点A2，使得A1A2=A1B1【拔尖篇】【题型7三角形三边关系的应用】【例7】（2425七年级下·山东烟台·期末）用一条长35cm细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的3倍，则底边的长为cm【变式71】（2425七年级下·吉林长春·期末）如图所示，为估计池塘岸边A、B的距离，在池塘的一侧选取一点O，测得OA=12米，OB=9米，设AB=a米，则a的取值范围是（

）A．9<a<12 B．9<a<21 C．3<a<12 D．3<a<21【变式72】（2425七年级下·江西南昌·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．(1)若a=2，b=5，且c为奇数，求c的值；(2)化简：a−b−c−【变式73】（2025·山东滨州·二模）老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根15 cm长的细铁丝，课堂上进行实验操作，具体操作如下：在同一平面内将15（1）量出AP=4 cm（2）在点P右侧取一点Q，使点Q满足PQ>4 cm（3）将AP向右翻折，BQ向左翻折.若要使A、B两点能在M点处重合，则PQ长可能为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【题型8利用三角形的中线求面积】【例8】（2425八年级上·安徽六安·期末）如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC=48，则A．6 B．8 C．10 D．12【变式81】如图，CM是△ABC的中线，BC=8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为【变式82】（2425七年级下·江苏南通·期末）如图，△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AD=2CD，AE=BE，BD与CE交于点O，若BC=6，S四边形ADOE=5，则AB【变式83】（2425七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=4，AC=10，CD=3BD，点E是AC的中点，BE、AD交于点A．10 B．9 C．8 D．7【题型9与三角形的高有关的分类讨论】【例9】（2425七年级下·江西吉安·期末）在锐角△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高，在不添中加辅助线的情况下，当此图形中有一个角的度数为40°时，∠DBC的度数为【变式91】（2425八年级下·黑龙江绥化·期中）△ABC中，BC=6，BC边上的高AD=3，BD=2，则△ACD的面积是．【变式92】（2425七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠ACB=50°，∠EAD=15°，则∠ABC的度数为．【变式93】（2425七年级下·北京·阶段练习）在△ABC中，∠B=35°，AD是BC边上的高且∠CAD=∠B，则∠BCA的度数是【题型10与角平分线有关的角度计算】【例10】（2425七年级下·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，点E、F分别在边BC、AC上，∠FEC=28°，∠AEF=2∠AFE，∠ABC的角平分线与∠AEF的角平分线交于点P，则∠P的度数为．【变式101】（2425七年级下·河南新乡·期末）如图，在△ABC中，∠B=90°，D是AC延长线上一点，AF是∠BAC的平分线，分别作∠BCA，∠BCD的平分线CE,CF，交AF于点E，F，则∠AEC=°，∠F=°．【变式102】（2425八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，已知线段AB、CD相交于点O，连接AB、CD，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；(2)利用八字图形解决问题：如图②，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别交于点M，N．①若∠B=100°，∠C=120°，求②根据①的结果直接写出∠B，【变式103】（2425七年级下·山东淄博·阶段练习）【问题】如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，（1）若∠A=80°，则∠BEC=_______；（2）若∠A=n°，则∠BEC=_______．【探究】（1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若（2）如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；【题型11与平行线有关的角度计算】【例11】如图，AB⊥BC,EM平分∠AEC交AB于M，EM⊥MC,∠1+∠2=90°，F，D分别是AE,BC延长线上的点，∠MEF和∠MCD的平分线交于点N．下列结论：①∠1=90°−12∠BCE；②AF∥BD；③CMA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式111】（2425八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形ABC外一点，E，F是BC上的点，G，H分别是AB，AC上的点，连接AD,AE,FH,DH,GE，已知∠1=∠2，∠3+∠4=180°，∠AEF=∠CFH．(1)判断GE与AC的位置关系，并说明理由；(2)若∠C=36°，∠DHC=105°，求∠B的度数．【变式112】（2425七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，DG平分∠BDE交BC于点G，点F为线段CG上一点．若∠DCE=30°，则∠EDC=°；若∠DFC=∠DEC，∠A=α，则∠GDC=．【变式113】如图1