一元一次不等式及其解法浙教版数学八年级上册（原卷版）

3.3一元一次不等式及其解法xixix

快速定位题型题型目录TOC\o"13"\h\z\u【题型1】判断是否为一元一次不等式 3【题型2】根据一元一次不等式概念求字母的值 4【题型3】一元一次不等式的解 4【题型4】一元一次不等式的整数解 5【题型5】在数轴上表示一元一次不等式的解集 5【题型6】根据在数轴上表示的解写出不等式的解集 6【题型7】根据“五步法”解一元一次不等式 6【题型8】一元一次不等式与新定义型问题 7【题型9】根据一元一次不等式的解求字母的取值范围或值 8【题型10】根据实际问题抽象出一元一次不等式 8【题型11】用一元一次不等式解决实际问题 10【题型12】一元一次不等式与方案问题 11xixix

夯实必备知识新知梳理【知识点1】一元一次不等式的定义（1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．1.（2025春•碑林区校级月考）下列式子是一元一次不等式的是（）A．2x＜1B．4x=3C．3x2＞2D．2x＜1+y【知识点2】解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．1.（2025春•闵行区校级月考）以下关于不等式x1＜0的判断错误的是（）A．0是这个不等式的解B．x＞1是这个不等式的解集C．大于1的数都是这个不等式的解D．小于1的数都不是这个不等式的解．2.（2025春•肇庆期末）不等式4x7≥5的解集是（）A．x≤3B．x≥3C．x≥3D．x≤3【知识点3】一元一次不等式的整数解解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．1.（2024春•凤翔县期中）不等式x2≤3+x3A．3个B．4个C．5个D．无数个【知识点4】由实际问题抽象出一元一次不等式用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．1.（2025春•武穴市期末）x与3的和的一半是负数，用不等式表示为（）A．x+B．1C．1D．12.（2025•澧县一模）小明同学早上7：40前要到达班级，出家门时是7：20，已知他家离学校距离为1600m,他跑步的速度为130m/min,走路的速度为60m/min,小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为xmin,根据题意可列不等式正确的为（）A．130x+60（20x）＜1600B．130x+60（x20）＞1600C．1600−60xD．1600−130x【知识点5】一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．1.（2024春•城关区校级期中）静怡准备用70元在文具店买A，B两种笔记本共7本，A种笔记本每本10元，B种笔记本每本8元，如果至少要买4本A种笔记本，请问静怡购买的方案有（）A．2种B．3种C．4种D．5种【题型1】判断是否为一元一次不等式【典型例题】下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A.x2+1＞xB.﹣y+1＞yC.1D.5+4＞8【举一反三1】以下是一元一次不等式的是（）A.x+y＞0B.0C.x2≠3D.3＞1【举一反三2】给出下列式子：①﹣5＜0；②2x＝3；③3x﹣1＞2；④4x﹣2y≤0；⑤﹣3x+2＞0；⑥x﹣2y．其中属于一元一次不等式的是

．（填序号）【举一反三3】判断下列不等式是不是一元一次不等式，如果不是，请简要说明理由．（1）16x＜0；（2）3x﹣y＞56；（3）2y﹣（y﹣9）＜﹣1；（4）x2≥35．【题型2】根据一元一次不等式概念求字母的值【典型例题】若是一元一次不等式，则m＝．【举一反三1】若4x2m﹣3+1＞﹣1是关于x的一元一次不等式，则m＝．【举一反三2】已知（a+1）x|a|﹣1+4＜a﹣2是关于x的一元一次不等式，求a的值，并解这个一元一次不等式．【举一反三3】已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式，求k的值以及不等式的解集．【题型3】一元一次不等式的解【典型例题】下列各数中，是不等式x＞2的解的是（）A.﹣2B.2C.1D.3.5【举一反三1】已知x＜﹣2，则下列哪个选项是不等式的解（）A.x＝0B.x＝﹣1C.x＝﹣2D.x＝﹣3【举一反三2】下列数值中是不等式x＜﹣2的解的是（）A.﹣3B.﹣2C.﹣1D.0【举一反三3】构造一个一元一次不等式，使它的解集是，如

．【举一反三4】下列各数中，是不等式x+1＜4解的数有哪些？哪些不是不等式的解？8、7、5.5、4、2、1、0、2.5、﹣6．【题型4】一元一次不等式的整数解【典型例题】已知不等式2x+a＜x+4的正整数解有2个，则a的取值范围是（）A.1＜a＜2B.1＜a≤2C.1≤a≤2D.1≤a＜2【举一反三1】一元一次不等式7﹣3x≥2x﹣8的非负整数解有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【举一反三2】关于x的不等式3x﹣m+2＞0的最小整数解是4，则实数m的取值范围是

．【举一反三3】关于x的不等式的最小整数解为n，则n的值为

．【举一反三4】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来，写出符合条件的x的非正整数解．【题型5】在数轴上表示一元一次不等式的解集【典型例题】不等式﹣2x＜4的解集在数轴上可表示为（）A.B.C.D.【举一反三1】不等式﹣1﹣3x≤2的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.【举一反三2】已知关于x的不等式2x﹣k≥1的解在数轴上的表示如图，则k的值是

．【举一反三3】解下列不等式，并将它的解集在数轴上表示出来．【举一反三4】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．【题型6】根据在数轴上表示的解写出不等式的解集【典型例题】一个关于x的不等式的解集表示在数轴上（如图），则这个不等式可以是（）A.2x≥﹣4B.2x＞﹣4C.﹣2x≤﹣4D.﹣2x≥4【举一反三1】若一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式应是下列中的（）A.x﹣1＜0B.x﹣1≤0C.x﹣1＞0D.x﹣1≥0【举一反三2】一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（）A.2x+6＞0B.2x﹣6＜0C.2x≥6D.6﹣2x＜0【举一反三3】一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（）A.x+3＞0B.x﹣3＜0C.2x≥6D.3﹣x＜0【题型7】根据“五步法”解一元一次不等式【典型例题】若，则（）A.x＞﹣3B.x＜﹣3C.x＞1D.【举一反三1】不等式的解集为（）A.x＜2B.x＜1C.x＞1D.x＜﹣1【举一反三2】不等式6x+8＞3x+8的解集为（）A.xB.x＜0C.x＞0D.x【举一反三3】一元一次不等式3x≤﹣1的解集是

．【举一反三4】解不等式1+2（x﹣1）≤3，则x的解集是

．【举一反三5】在解不等式x﹣3（x+1）≥1时，小马同学给出了如下解法：解：去括号，得x﹣3x﹣1≥1，移项，得x﹣3x≥1+1，合并同类项，得﹣2x≥2，两边都除以﹣2，得x≤﹣1．判断小马同学的解法是否有错误？若有错误，请写出正确的解答过程．【题型8】一元一次不等式与新定义型问题【典型例题】定义新运算a⊙b＝b（a＜b），若，则x的取值范围是（）A.x＞﹣10B.x＞﹣11C.x＜﹣10D.x＜11【举一反三1】定义一种运算：a⊗b＝2a+b（a＜b），则不等式3x⊗（x+1）＞﹣2的解集是（）A.B.C.D.无解【举一反三2】定义新运算：a⊕b＝﹣2a+b．则不等式x⊕4＞0的解集是

．【举一反三3】定义一种新运算“a☆b”为：当a≥b时，a☆b＝a﹣b：当a＜b时，a☆b＝a+b．例如：3☆（﹣4）＝3﹣（﹣4）＝7，（﹣6）☆3＝﹣6+3＝﹣3（1）填空：（﹣5）☆（﹣4）＝

；（2）若（3x﹣2）☆（2﹣x）＝6，求x的值；（3）若（2m+1）☆（m﹣2）＞2，求m的取值范围．【举一反三4】定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．（1）填空：（﹣4）*3＝

；（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为

；（3）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．【题型9】根据一元一次不等式的解求字母的取值范围或值【典型例题】已知关于x的不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集为x＞1，则a的取值范围是（）A.a＜0B.a＜5C.a＜﹣5D.a＞5【举一反三1】不等式（x﹣m）＞2﹣m的解集为x＞2，则m的值为（）A.4B.2C.1.5D.0.5【举一反三2】已知关于x的不等式（a﹣3）x＞（a﹣3）的解是x＜1．则a的取值范围是

．【举一反三3】已知关于x的不等式2（a+1）x＞2x+（4a﹣3）．（1）当a＝﹣5时，求这个不等式的解集．（2）如果该不等式的解集为x，求a的取值范围．（3）如果x＝﹣2是该不等式的一个解，求a的取值范围．【举一反三4】已知关于x的不等式a（x﹣1）＞x+1﹣2a的解集是x＜﹣1，求a的取值范围．【题型10】根据实际问题抽象出一元一次不等式【典型例题】2023年9月23日，第19届亚运会将在我国杭州市举办．为此，某校举行了关于杭州亚运会的知识竞赛，现共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分则应该至少答对几道题？若设答对x题，则根据题意可列不等式为（）A.10x﹣3（30﹣x）≥70B.10x﹣3（30﹣x）≤70C.10x﹣3x≥70D.10x﹣3（30﹣x）＞70【举一反三1】小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（）A.52+15n＞70+12nB.52+15n＜70+12nC.52+12n＞70+15nD.52+12n＜70+15n【举一反三2】圆圆将某服饰店的促销活动内容告诉芳芳后，假设芳芳购买A商品的定价为x元，并列出关系式为0.8（2x﹣100）＜1000，则圆圆告诉芳芳的内容可能是（）A.买两件A商品可先减100元，再打8折，最后不到1000元B.买两件A商品可先减100元，再打2折，最后不到1000元C.买两件A商品可先打8折，再减100元，最后不到1000元D.买两件A商品可先打2折，再减100元，最后不到1000元【举一反三3】今年，刘华的父亲年龄为50岁，刘华的年龄为x岁．若刘华的年龄的4倍再加上3岁还不超过他父亲的年龄，则可列出的不等式是

．【举一反三4】某商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案可供选择．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．已知A型号笔记本电脑的原售价是5000元/台，某公司一次性从该商店购买A型号笔记本电脑x台．（1）若方案二比方案一更便宜，根据题意列出关于x的不等式．（2）若公司买12台笔记本，你会选择哪个方案？请说明理由．【举一反三5】现有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总币值小于9元．根据此信息，小强、小刚两名同学分别列出不完整的不等式如下：小强：x+

＜9，小刚：0.5x+

＜9．（1）小强同学所列的不等式中，x表示的是

硬币的枚数；小刚同学所列的不等式中，x表示的是

硬币的枚数；（2）在横线上补全小强、小刚两名同学所列的不等式；（3）任选其中一个不等式，求可能有几枚5角的硬币．【题型11】用一元一次不等式解决实际问题【典型例题】某批电子产品的进价为200元/件，售价为350元/件．为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证单件利润率不低于5%，则该批电子产品最多可降价（）A.120元B.132.5元C.140元D.142.5元【举一反三1】商店为了对某种商品进行促销，将定价为5元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过8件，则按原价付款；若一次性购买8件以上，则超出的部分打八折，小明带了70元钱，最多可以购买该商品（）A.14件B.15件C.16件D.17件【举一反三2】体育课上进行投篮比赛，规定：投进一球可得3分，投丢一球扣1分，每人投篮12次，小李同学要想得分不低于28分，则他至少要投进几个球（）A.9B.10C.11D.12【举一反三3】某商品进价40元，标价50元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打

折．【举一反三4】2023年9月15日至17日，第二届湖南旅游发展大会在郴州市隆重举行，大会吉祥物“山侠”和“水仙”，以郴州的“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作．（1）某商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个，用于购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用相同，且“山侠”公仔的单价是“水仙”公仔的1.2倍．求该商店购进的“山侠”和“水仙”公仔的单价分别是多少元？（2）吉祥物很受欢迎，公仔很快就卖完了，该商店计划用不超过10200元的资金再次购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔共300个．已知两种公仔的进价不变，求“山侠”公仔最多能购进多少个．【举一反三5】水果店用1500元首次购进了甲、乙两种水果，甲种水果进价为每千克18元，乙种水果进价为每千克15元，水果店在销售时甲种水果售价为每千克26元，乙种水果售价为每千克20元，全部售完后共获利润600元．（1）求水果店购进甲、乙两种水果各多少千克？（2）若水果店以原进价再次购进甲、乙两种水果，购进甲种水果的数量是第一次的2倍，而购进乙种水果的数量不变，甲种水果降价出售，而乙种水果按原售价出售．当两种水果销售完毕时，要使再次获利不少于800元，甲种水果最低售价应为每千克多少元？【题型12】一元一次不等式与方案问题【典型例题】市内某小区正在紧张建设中，现有大量的沙石需要运输，“不凡”车队分别有载重量为8吨、10吨的卡车5辆、7辆，工程需要一次运输沙石超过165吨，为了完成任务，车队准备新增购这两种卡车共6辆（可以购买两种，也可以购买一种），则有（）种购买方案．A.1B.2C.3D.4【举一反三1】小明一家6人去公园游玩，小明爸爸给了小明100元买午饭，有12元套餐和18元套餐可供选择，若至少有2个人要吃18元套餐，请问小明购买的方案有（）A.2种B.3种C.4种D.5种【举一反三2】在一次综合实践活动