专题13空间向量基本定理（举一反三讲义）数学人教A版2019选择性（原卷版）

专题1.3空间向量基本定理（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【题型1空间向量基底概念及辨析】 1【题型2用空间基底表示向量】 2【题型3由空间向量基本定理求参数】 3【题型4空间向量的正交分解】 5【题型5利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 6【题型6利用空间向量基本定理解决夹角问题】 8【题型7利用空间向量基本定理证明垂直问题】 10【题型8利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 12知识点1空间向量基本定理1．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．【题型1空间向量基底概念及辨析】【例1】（2425高二上·重庆北碚·期末）若a,b,c构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（A．c+a,cC．b+c,【变式11】（2425高二上·广东深圳·期末）已知a,b,A．a−b+c，b+c，a−C．2a−b，2c+b，a+【变式12】（2425高二上·广东深圳·期末）若a,b,A．a+c,C．a,a+【变式13】（2425高二上·浙江宁波·期末）已知{a,b,c}是空间的一个基底，则下列向量中与向量A．a−b−4C．a−b+【题型2用空间基底表示向量】【例2】（2425高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥O−ABC中，OA=a,OB=b,OC=c．若点M,N分别在棱A．−34aC．−34a【变式21】（2425高二上·广西桂林·阶段练习）如图，在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，G为的△ABC重心，P为A．−23aC．−56a【变式22】（2425高二上·四川南充·期末）如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且A．12a+12b−12【变式23】（2425高二上·湖南邵阳·期中）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设AB=A．−12a−12b−c【题型3由空间向量基本定理求参数】【例3】（2425高二上·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的定比为2，现用基向量OA、OB、OC表示向量OG，设OG=xOA+yOB+zOC，则x、yA．x=13，y=13，z=13 C．x=13，y=16，z=13 【变式31】（2425高二上·福建泉州·阶段练习）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点A．x=−12,y=−C．x=−12,y=【变式32】（2425高二上·安徽·期末）在四面体O−ABC中，点M为线段OA靠近A的四等分点，N为BC的中点，若MN=xOA+yOB+zA．14 B．1 C．32 【变式33】（2425高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥S−ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段SG的中点，过点M的平面分别交SA，SB，SC于点D，E，F，若SD=kSA，SE=mSB，SF=nA．3 B．6 C．9 D．12知识点2空间向量的正交分解1．空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．【题型4空间向量的正交分解】【例4】（2425高二下·全国·课后作业）设i,j,k是单位正交基底，已知向量p在基底a,b,c下的坐标为8,6,4，其中a=i+jA．12,14,10 B．10,12,14 C．14,12,10 D．4,3,2【变式41】（2425高二上·山东烟台·阶段练习）设{i,j,k}是单位正交基底，已知a=i+j,b=A．(12,14,10) B．(14,12,10) C．(10,12,14) D．(4,3,2)【变式42】（2425高二上·河北·期中）已知BD⊥平面ABC，AB⊥BC，BD=1，AB=2，BC=3，则空间的一个单位正交基底可以为（

）A．13BC,C．BC,BD,【变式43】（2425高二上·河南洛阳·阶段练习）已知a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量p=a+2b+3A．32,−12,3 B．−3知识点3空间向量基本定理的应用1．证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.2．求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.3．求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路：(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.【题型5利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】【例5】（2425高二上·上海·课后作业）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点M在对角线A1B上，且A1M=1

【变式51】（2425高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体ABCD−A′B′C′D′，E，F，G，H分别是棱A′D′，D′C【变式52】（2425高二上·上海·课后作业）四棱柱ABCD−A′B′C′D′的六个面都是平行四边形，点M在对角线A′(1)设向量AB=a，AD=b，AA′=c，用a、(2)求证：M、N、D′【变式53】（2425高二上·海南海口·阶段练习）如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别在(1)求证：A，E，C1，F(2)若EF=xAB+y【题型6利用空间向量基本定理解决夹角问题】【例6】（2425高二上·浙江温州·期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，且AB(1)试用a，b，c表示BM；(2)求直线BM与直线AD所成角的余弦值.【变式61】（2425高二上·河南许昌·阶段练习）如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设AB=a，AC=(1)用a,b,c表示(2)求EF与GH夹角的大小．【变式62】（2425高二上·广东佛山·阶段练习）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1

(1)试用a，b，c表示向量AC、BD(2)若∠A1AD=∠A1【变式63】（2324高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体ABCD−A1B(1)用向量AB,AD,AA(2)求cosB【题型7利用空间向量基本定理证明垂直问题】【例7】（2425高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D(1)求证：BD⊥AC(2)求AC′【变式71】（2425高二上·河南洛阳·期中）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=CC1，∠ACB=∠ACC1=2π3

(1)用a、b、c表示向量A1(2)在线段C1B1上是否存在点M，使得AM⊥【变式72】（2425高二上·福建厦门·阶段练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D(1)求侧棱AA(2)若M,N分别为D1C1，C【变式73】（2425高二上·北京丰台·期中）如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=a,CB=b,CC1=c(1)用a,b,(2)求AM；(3)求证：AM⊥A【题型8利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】【例8】（2425高二上·山东·阶段练习）如图，空间四边形OABC中，OA=2，OB=3，OC=4，且OA,OB,OC任意两个之间的夹角均为60°，OM=2MA，

A．693 B．753 C．2【变式81】（2425高二上·山西·开学考试）如图，在三棱锥P−ABC中，△PAC是边长为3的正三角形，M是A