专题02有理数及其运算（期中复习讲义）

专题02有理数及其运算核心考点复习目标考情规律正负数的意义能准确判断正负数在实际情境中的意义基础必考点，常出现在小题有理数的分类能按标准准确分类有理数填空常考，易漏0或混淆分类数轴的概念与应用会画数轴、表数及比较大小小题高频，易漏画数轴要素或比错负数相反数与绝对值会求相反数、算绝对值，理解非负性多题型涉及，易错负数绝对值或忽略非负性有理数的运算能准确运算并解决应用题必考点，易错运算顺序或符号括号科学记数法小题必考，易错确定的值知识点01有理数的基本概念1．负数与有理数分类具有相反意义的两个量，规定一种为正（带“”，可省略），另一种为负（带“”）；2．数轴三要素：原点、单位长度、正方向（直线）；作用：数轴上右边的数总比左边大，正数＞0＞负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。3．相反数与绝对值相反数：只有符号不同、绝对值相等的两个数（如2与2），多重符号化简遵循“奇负偶正”；知识点02有理数的运算1．加减运算加法法则：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，用大绝对值减小绝对值；任何数加0得本身；2．乘除运算乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；多个非0数相乘，负因数个数为奇则积负、偶则积正；有0则积为0；倒数：乘积为1的两个数（0无倒数，负数的倒数仍为负数）；·示例：2的倒数是除法法则：法则一：同号得正、异号得负，绝对值相除（0除以非0数得0）；3．乘方运算定义：个相同因数的积的运算叫乘方，结果叫幂在乘方运算中，是底数，是指数；符号法则：正数的任何次乘方为正；负数的奇次乘方为负，偶次乘方为正（如）。4．混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内（先小括号，再中括号）。知识点03科学记数法与近似数1．科学记数法2．近似数用“四舍五入法”取近似值。·示例：将3.14159精确到百分位为3.14题型一正负数的定义【答案】2故答案为：2．【例2】中国人最先使用负数是在魏晋时期，数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，表示，可推算图②中所得的数值为：（

）A． B．2 C． D．【答案】C【详解】解：依题意，图②中所得的数值为：故选：C．【变式11】向北走8米，记作米，那么向南走8米，记作．【答案】米【详解】解：由于向北走8米，记作米，所以向南走8米，记作米．故答案为：米．题型二有理数的分类A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B故选：B．整数集合：

分数集合：

非负数集合：

【答案】见解析【变式22】把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可）正有理数集合：{

…}；负有理数集合：{

…}；整数集合：{

…}；负整数集合：{

…}；有理数集合：{

…}．【答案】①③④⑧；②⑤⑦；①④⑤⑥；⑤；①②③④⑤⑥⑦⑧【详解】正有理数集合：{①③④⑧…}；负有理数集合：{②⑤⑦…}；整数集合：{①④⑤⑥…}；负整数集合：{⑤…}；有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧…}解｜题｜技｜巧有理数有两大分类维度，需先看清题目要求：①按定义分：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；②按性质分：正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。题型三用数轴上的点表示有理数【例5】在数轴上位于原点右侧，且距离原点3个单位长度的点所表示的数是（

）A．3或 B． C．3 D．0或3【答案】C【详解】解：∵数轴上原点右侧的数是正数，且距离原点3个单位长度，∴这个点所表示的数是3．故选：C．【例6】如图所示，在数轴上，叶片遮挡住的点表示的数可能是（）【答案】A故选：A．【变式31】如图，数轴上每相邻两刻度之间的距离为1个单位长度，若点A，C表示的数互为相反数，则点B表示的数是（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】C【详解】∵数轴上每相邻两刻度之间的距离为1个单位长度，点A，C两点之间距离为6个单位长度，∵点A，C表示的数互为相反数，∴点A表示的数是，点C表示的数是3，故选：C．【变式32】数轴上点M和点N表示的数分别为和2，把点M向右平移个单位长度，可以使点M到点N的距离是3．【答案】2或8【详解】解：向右平移后点M在点N的左边，向右平移后点M在点N的右边，故答案为：2或8．【变式33】如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题：（1）点，，表示的数分别为，，；（2）点，，表示的数的相反数分别为，，；（3）将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是；（4）将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是．【答案】【详解】（1）点，，表示的数分别为，，；故答案为：，，（2）点，，表示的数的相反数分别为，，；故答案为：，，（3）将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是；故答案为：（4）将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是．故答案为：题型四绝对值、相反数、倒数的化简【答案】故答案为：．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C故选：C【变式41】化简：【变式42】化简下列各数：．题型五有理数比较大小【例9】在，，2，0这四个数中，最小的数是（

）．A． B． C．2 D．0【答案】A故选：A．<<<【变式51】有四个数：0.17，，0.166，，其中最小的数是（

）A．0.17 B． C．0.166 D．【答案】C∴四个数中，最小的为0.166，故选：C．【变式52】在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来．在数轴上表示如图：∴的绝对值最大，0的绝对值最小．易｜错｜点｜拨比较负数时，别忽略“绝对值大的反而小”，避免错判题型六有理数加减混合运算（）．【答案】故答案为：．【变式62】计算：【变式63】阅读下面的解题过程并解决问题……(1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误；(2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律）(3)请将正确解答过程补充完整．【答案】(1)有理数的减法法则，二(2)加法交换律，加法结合律(3)见详解故答案为：有理数的减法法则，二；（2）解：第二步应用了加法交换律，第三步应用了加法结合律，故答案为：加法交换律，加法结合律；题型七有理数乘除混合运算【例13】下列计算正确的是（

）【答案】C，原计算错误，不符合题意；故选：C．【例14】计算：；【变式71】若一个数的是，则这个数的是（

）【答案】B故选：B.【变式72】计算：【变式73】阅读下面的解题过程．请认真阅读并解答相关问题．……第四步(1)上面解题过程中，第步开始出现错误，这一步错误的原因是．(2)写出正确的解答过程．【详解】（1）解：第一步开始出现错误，这一步错误的原因是除法没有分配律故答案为：一；除法没有分配律．题型八有理数的乘方运算A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C故选C．【答案】A故选：A．【答案】B故选：B．【答案】，故答案为：.【变式83】一根1米长的竹叶，第一次被熊猫吃掉一半，第二次吃掉剩下的一半．如此吃下去，第五次后剩下的竹叶长度为（

）【答案】B故选：B．题型九有理数混合运算【例17】计算：；；【变式91】计算：；；【变式92】计算；题型十有理数的实际应用【例19】小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股30元买进某公司股票若干股，在接下来的一周交易日内，小王记录该股每日收盘价格相比前一天的涨跌情况（单位：元）如下：星期一二三四五每股涨跌星期五收盘时，该股票价格为每股元．【答案】33故答案为：．【例20】2025年召开的世界人工智能大会中，使用了服务型机器人．一个服务型机器人满电状态可连续工作9时，工作时接待一位顾客平均用时，它上午接待12位顾客，下午接待顾客数量比上午少3位，结束工作后机器人还能继续工作多长时间？

【答案】小时答：结束工作后机器人还能继续工作小时．【变式101】出租车司机小李某天下午的运营全是在东西走向的长江路上进行．如果规定方向向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程(单位：千米)如下：，，，，，，，，，、(1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发地有多远？(2)若汽车耗油量为0.6升/千米，这天下午小李共耗油多少升？(3)若小李家在距离出车地点的西边35千米处，送完最后一名乘客，小李还要行驶多少千米才能到家？【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午的出发点39千米远(2)这天下午小李共耗油39升(3)74千米故将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午的出发点39千米远；故这天下午小李共耗油39升；故小李还要行驶千米才能到家．【答案】A……故选：A．【变式103】某种金属元素铋会进行衰变，每次在一个周期里，衰变的量是上一次量的一半，铋的周期（半衰期）是1小时，设原有1克未衰变的铋，则1小时后有0.5克发生了衰变，再过1小时又有0.25克发生了衰变，衰变一直按照这种规律发生下去，请问5小时后，共有克铋发生了衰变．【答案】故答案为：．题型十一科学记数法【例21】原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽原子钟的精度达到了万年误差不超过．数据万用科学记数法表示为（

）.【答案】B故答案为：B.【例22】下列求原数不正确的是（

）【答案】D故选：D．【变式111】截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（

）【答案】B故选：B．【答案】6故答案为：6．题型十二近似数【例23】用四舍五入法把1.7375精确到0.01，所得的近似数是（

）A．1.73 B．1.738 C．1.74 D．1.737【答案】C故选C．A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】B故选：B．【变式121】下列说法中错误的是（

）【答案】D故选D．【变式122】盘锦市高级中学在校师生约为0.35万人，近似数0.35万精确到（

）A．十分位 B．百分位 C．千位 D．百位【答案】D【详解】解：近似数0.35万是精确到百位．故选：D．【答案】3.142故答案为：3.142期中基础通关练（测试时间：10分钟）A．2 B． C．1 D．4【答案】D．故选：DA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C故选：C．【答案】A【详解】解：由图2可得，正放3个算筹，斜放4个算筹，故选：A．A．或 B． C．或 D．【答案】A故选：A．若没有倒数，的倒数是它本身，6．把下列各数填入相应集合的括号内，并用“＜”把它们连接起来：(1)正数集合：{…}；(2)整数集合：{…}；(3)负分数集合：{…}；(4)用“＜”把它们连接起来是．(2)0，12，，（2）整数集合：{0，12，，…}；各数在数轴上的位置如图所示：8．脱式计算【答案】(1)(2)65(3)1．期中重难突破练（测试时间：10分钟）【答案】8【详解】解：前8次的“F”运算结果如下：依次类推，可以发现，从第4次“F”运算开始，奇数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1，∴第2025次“F”运算的结果为8．故答案为：8．2．（2024·25七年级上·河南南阳·期中）有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键，能用简便方法的尽量用简便方法．【答案】(1)除法转化为乘法，确定符号，乘法运算，减法运算(2)故答案为：除法转化为乘法，确定符号，乘法运算，减法运算．【初步探究】【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？故答案为：，．4．阅读下列材料：(1)上述得到的结果不同，你认为解法__________是错误的；（填序号）【答案】(1)①(2)【详解】（1）解：解法①是错误的，因为除法没有分配律，所以解法①没有计算依据，故错误，故答案为：①；期中综合拓展练（测试时间：15分钟）1．如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，下列不等式成立的是（

）【答案】D∴只有选项D正确，选项A、B、C都错误，故选：D．2．（2024·25七年级上·浙江杭州·期中）小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题：(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是____________；(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是____________；(3)从中取山3张卡片，使这