专题01一元二次方程（期中知识清单）九年级数学上学期人教版（原卷版）

专题01一元二次方程（5知识&15题型&5易错&9方法清单）【清单01】一元二次方程的概念【清单02】一元二次方程的解法【清单03】一元二次方程的判别式【清单04】二次三项式的因式分解【清单05】一元二次方程的应用题【题型一】一元二次方程的定义【典例1】（2425八年级下·吉林·期中）下列方程是一元二次方程的是（

）A．3x2=3x−22B．1x【变式1】（2425八年级下·浙江杭州·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是(

)A．x2−2x−3 B．x2=2x+3 C．x【变式2】（2425九年级上·广东广州·期中）关于x的方程a−1x2+x−2=0A．a≠1 B．a=−1 C．a≠±1 D．为任意实数【题型二】一元二次方程的一般形式【典例2】（2223九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程3x2−3A．3，−5，9 B．3，−5，−9 C．3，5，9 D．3，5，−9【变式1】（2425九年级上·广西钦州·期中）将方程x2−2x=10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（A．−2,−10 B．−2,10 C．2,−10 D．2，10【变式2】（2425九年级上·福建漳州·期中）一元二次方程2x2+3=2x【题型三】一元二次方程的解【典例3】（2425八年级下·安徽淮北·期中）已知a是方程x2+2x−3=0的一个根，则代数式a2【变式1】（2526九年级上·广东广州·期中）若a是方程x2+3x−1=0的解，则式子2a【变式2】（2425八年级下·浙江温州·期中）若x=2是关于x的一元二次方程x2+kx+5=0的一个根，则k=【题型四】解一元二次方程配方法【典例4】（2425八年级下·福建福州·期中）解一元二次方程x2A．x−32=12 B．x−32=5 C．【变式1】（2425九年级上·广东江门·期中）将方程x2−4x−3=0配方后所得的方程正确的是（A．x−22=7 B．x−22=1 C．【变式2】（2425八年级上·上海·期中）用配方法解方程：2【题型五】解一元二次方程公式法【典例5】（2324九年级上·青海西宁·期中）解方程：2x【变式1】（2425八年级下·山东淄博·期中）若x=2±b2A．3x2+2x−1=0C．−x2−2x+3=0【变式2】（2425九年级上·山西长治·期中）解方程：3x【题型六】解一元二次方程因式分解法【典例6】（2425八年级下·江苏淮安·期末）一元二次方程x2−1=0的根为（A．−1 B．1 C．1或−1 D．0【变式1】（2425九年级上·福建泉州·期中）已知一元二次方程的两根分别为x1=1，A．(x−1)(x−3)=0 B．(x−1)C．x+1x+3=0 【题型七】用适当的方法解方程【典例7】（2324九年级上·青海西宁·期中）用合适的方法解方程(1)4x−3=2xx−3【变式1】（2425八年级下·福建福州·期中）解方程：(1)x2−4x−2=0；(2)【变式2】（2425九年级上·北京·期中）解关于x的方程．(1)x2+3x+2=0；(2)【变式3】（2425八年级下·山东东营·期中）用适当的方法解下列一元二次方程(1)6x2+2=7x【题型八】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况【典例8】（2324九年级上·安徽宿州·期中）一元二次方程x2−4x−5=0的根的情况为（A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．不能判定【变式1】（2425九年级下·四川广安·期中）关于x的一元二次方程x2−2x−mA．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【题型九】根据一元二次方程根的根的情况求参数【典例9】（2425九年级上·广东江门·期中）若关于x的一元二次方程mx2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则mA．m<1且m≠0 B．m≥1 C．m≤l且m≠0 D．m<1【变式1】（2425八年级下·安徽亳州·期中）若关于x的一元二次方程方程m−1x2+4x+1=0有实数根，则mA．m≤5且m≠1 B．m≥5，且m≠1C．m<5 D．m>5【变式2】（2425九年级下·江西九江·期中）已知关于x的一元二次方程x2−x+2k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（A．k≥48 B．k≤38 C．【题型十】一元二次方程根与系数的关系【典例10】（2425八年级下·广西百色·期中）已知m，n是方程x2−5x−2025=0的两个实数根，则A．2025 B．2028 C．2030 D．4048【变式1】（2425九年级下·湖南娄底·期中）已知m，n是一元二次方程x2+x−2025=0的两个实数根，则代数式m2A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【变式2】（2425八年级下·北京·期中）若α，β是一元二次方程x2+x−2023=0的两个实数根，则α2A．2028 B．2026 C．2024 D．2022【变式3】（2425九年级上·广东珠海·期中）已知一元二次方程x2−3x+2=0的两个根为x1、x2，则A．−3 B．−23 C．1 【题型十一】一元二次方程应用与几何图形的综合应用【典例11】（2425九年级上·天津·期末）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（

）A．100×80−100x−80x=7644 B．100−xC．(100−x)(80−x)=7644 D．100x+80x=356【变式1】（2425九年级下·山西长治·期中）《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为2.4m，宽为1.6m的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为4.16m2．若四周装裱上的边衬的宽度为x mA．(1.6−x)(2.4−x)=4.16 B．(1.6+x)(2.4+x)=4.16C．(1.6−2x)(2.4−2x)=4.16 D．(1.6+2x)(2.4+2x)=4.16【变式2】（2526九年级上·湖北孝感·期中）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．(1)若墙长为18米，要围成的鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？(2)围成的鸡场的面积可能达到200平方米吗？(3)若墙长为a米，对建150平方米面积的鸡场有何影响？【题型十二】一元二次方程应用增长率问题【典例12】（2425九年级上·重庆合川·期中）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果平均每月的增长率为x，则由题意列方程为（

）A．2001+x2=288C．200+2x=288 D．200+200【变式1】（2425八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧.据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入共728万元，将增长率记作x，则方程可以列为.【变式2】（2425九年级上·云南昆明·期中）云南阳光玫瑰葡萄，近两年被广大消费者所熟知，它肉质紧密，口感脆爽，甜度很高，香味浓郁．云南某生态果园阳光玫瑰葡萄2022年产量为60吨，2024年产量为86.4吨，若该生态果园阳光玫瑰葡萄产量的年平均增长率相同．(1)求该生态果园阳光玫瑰产量的年平均增长率；(2)若阳光玫瑰葡萄产量的年增长率不变，请预估2025年该生态果园阳光玫瑰葡萄产量．【题型十三】一元二次方程应用传染问题【典例13】（2425九年级上·辽宁沈阳·期中）兔热病是一种传播速度很快的人兽共患传染病，又称土拉菌病或鹿蝇热，一轮传染时间为一天．某养兔场某天发现一例，两天后发现共有169只兔子患有这种病，若每例病兔子传染健康兔子的只数均为x，则x=．【变式1】（2425九年级上·湖北武汉·期中）某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是57，根据题意可列方程．（不必解方程）【变式2】（2425九年级上·辽宁大连·期中）某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感．(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？【变式3】（2425九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的x名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了x名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求x的值．【题型十四】一元二次方程应用经济问题【典例14】（2425九年级下·重庆万州·期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红．(1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？(2)若A款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售A款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出A款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则A款吉祥物售价应降低多少元？【变式1】（2425九年级下·安徽六安·阶段练习）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．(1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；(2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？【变式2】（2425九年级上·广东茂名·期中）某商场有A，B两款电器，购买2台A款电器和1台B款电器要840元，购买1台A款电器和2台B款电器要780元．(1)求A，B两款电器每台的售价；(2)经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？【题型十五】一元二次方程应用动态几何问题【典例15】（2324九年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，点P从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，以1cms的速度沿CD向点D运动，当点P到达终点后，P，Q(1)问当t为多少时，AP=2PQ？(2)连接AQ，是否存在时间t，使得S△APQ=4？若存在，求出【变式1】（2425八年级下·河北邯郸·期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cms的速度运动，到点B即停止，直线(1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？(2)若∠B=90°，当AB=8cm时，直接写出经过______秒后，PQ=CD【变式2】（2425九年级上·江苏宿迁·期中）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点(1)PB=______，QC=______；(2)t为何值时，△DPQ的面积等于28cm【题型一】根据一元二次方程根的根的情况求参数1．（2324九年级上·四川南充·期中）关于x的一元二次方程(k+1)x2−2x+1=0有实数根，则kA．k≤0且k≠−1 B．k<0且k≠−1 C．【题型二】一元二次方程应用增长率问题2．（2425九年级下·江苏南京·阶段练习）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为．【题型三】一元二次方程应用几何面积问题3．（2425九年级上·江苏扬州·期中）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．(1)设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为米；(2)若此时花圃的面积刚好为45平方米，求此时花圃的长与宽．(3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由．【题型四】一元二次方程应用经济问题4．（2425九年级上·四川成都·期中）某景区民宿有客房60间供游客居住，每个房间是按整间出租．已知当每个房间每天的定价为140元时，客房会全部住满，当个房间每天的定价每增加20元时，就会有4个房间空闲．(1)若某天每间客房的定价增加了60元，求这天客房的总收入；(2)如果政府规定该农家乐入住率超过80%【题型五】一元二次方程应用动态几何问题5．（2425九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=6 cm，BC=7 cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1 cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2 cm/s的速度向(1)AP=________cm，BP=________cm，BQ=________cm（用含t的代数式表示）；(2)经过几秒后△PBQ的面积等于4 (3)四边形APQC的