专题03对圆的进一步认识（期中复习讲义）九年级数学上学期青岛版

专题03对圆的进一步认识（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律圆定义与定理明确“圆的对称性”，掌握垂径定理及其推论；②理解圆周角与圆心角的关系；③归纳直线与圆的三种位置关系及其判断标准。常考小题与综合题。核心考点如垂径、圆周角等定理，用于求弦长、角度等，切线性质判定是必考点。圆的相关知识进行证明和计算①能够根据已知条件灵活选用已学知识求解弦长、拱高、距离等问题；②熟练运用代数法解决几何问题，例如建立坐标系求圆心坐标或验证点是否在圆上；③规范书写步骤：涉及切线证明时，必须体现“连半径→证垂直”的逻辑链条。圆相关证明多涉及切线、圆周角等定理应用；计算常考弧长、面积等，题型有选择、填空及解答圆的相关知识解决实际问题①能够将实际物体抽象为圆形模型，解释其数学原理；②能够利用圆的相关知识解决生活中的实际问题；③能够综合运用圆的性质解决动态几何问题（如定值问题、最值优化）。如拱桥、摩天轮等，考查圆的性质、弧长面积计算，以解答题为主，重知识应用。知识点01圆的对称性1）圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。2）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。3）顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数与它所对弧的度数相等。4）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。知识点02垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧。1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。知识点03三角形的外接圆1）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。2）三角形三个顶点确定一个圆，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部。4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。5)过同一直线上的三点不能作圆。知识点04反证法先提出与命题的结论相反的假设，推出矛盾，从而证明命题成立，这种证明方法叫做反证法。反证法的步骤：（1）否定结论——假设命题的结论不成立；（2）推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等矛盾的结果；（3）肯定结论——由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论准确。知识点05圆周角顶点在圆上，并且它的两边在院内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫做圆心角。2）圆周角定理：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。3）推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。4）推论2：同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。5）推论3：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。知识点06圆内接四边形定义：所有顶点都在一个圆上的多边形就叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。定义：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，这个四边形就叫做圆内接四边形，这个圆就是四边形的外接圆。圆内接四边形的对角互补。知识点07直线与圆的位置关系当直线与有两个公共点时，叫做直线l与相交，直线叫做的割线，两个公共点叫做交点。当直线与有唯一一个公共点时，叫做直线l与相切，直线叫做的切线，两个公共点叫做切点。当直线与没有公共点时，叫做直线与相离。知识点08点根据r与d的大小关系，判定与的位置关系1）当直线与相交时;反之，当d<r时，直线与相交。2）当直线与相切时;反之，当d=r时，直线与相切。3）当直线与相离时;反之，当d>r时，直线与相离。知识点09切线的性质和判定1）切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切线的半径。3）切线长定义：经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。4）切线长定理：从圆外一点所画的圆的两条切线长相等。知识点10三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。知识点11弧长及扇形面积的计算知识点12正多边形与圆1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴。2）正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等。3）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点。4）正多边形的中心：正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心。5）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。6）正多边形的边心距：内切圆的半径叫做正多边形的边心距。8）正n边形的n条半径把正n边形分成了n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。题型一垂径定理的实际应用解｜题｜技｜巧1.构建直角三角形，利用垂径定理得弦长一半。2.结合勾股定理，根据半径、弦心距等求未知量。3.善于将实际问题转化为垂径定理模型求解。易｜错｜点｜拨忽视垂径定理使用条件，错误计算弦长等。【例1】（2526九年级上·浙江台州·阶段练习）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB=3cm，CD=4cmA．2.4cm B．2.5cm C．4.8cm【答案】B【思路引导】本题考查垂径定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由垂径定理求出BN，CM的长，设ON=xcm，由勾股定理得到3.5−x2+22=x【规范解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OC，OB，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴CM=12CD=设ON=xcm∴OM=MN−ON=3.5−x∵OM2+M∴OM∴3.5−x∴12.25−7x+x∴7x=14，∴x=2，∴ON=2cm∴OB=O故选：B．【变式】（2526九年级上·全国·课后作业）阅读材料，回答问题．材料背景遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度AB为24m，拱高CD（孤的中点到水面的距离）为8m．问题解决(1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径．(2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升2m，求此时水面的宽度．【答案】(1)主桥拱所在圆的半径为13m(2)此时水面的宽度为4【思路引导】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，熟练掌握以上两个应用是关键.（1）连接OA,OC，设半径OA=OD=rm，在Rt（2）先求OG，再利用勾股定理求GF，最后利用垂径定理求EF.【规范解答】（1）解：如图①，设主桥拱所在圆的圆心为O，连接OA,OC．∴O,C,D三点在一条直线上，∴AC=BC=1设OA=OD=rm，则OC=OD−CD=(r−8)在Rt△AOC中，由勾股定理，得O即(r−8)2+12故主桥拱所在圆的半径为13m．（2）解：如图②，记桥下水面上升2m所在水面为EF，EF交CD于点G，连接OF,OC．由题意，得CG=2∴DG=CD−CG=6m∴OG=OD−DG=7m在Rt△OGF得GF=O∴EF=2GF=430故此时水面的宽度为430题型二求特殊三角形外接圆的半径【例2】（2425九年级上·湖北恩施·阶段练习）如图是由6个边长为1的小正方形组成的图形，若点A，B，C在同一个圆上，则圆的半径为（

）A．5 B．22 C．52 【答案】D【思路引导】本题考查了圆周角定理，勾股定理的应用，解直角三角形等，作直径BD，连接CD，根据勾股定理求得AC=25，BC=17，解直角三角形得到sin∠ACE=255，由∠BDC=∠CAB，∠CAB=∠ACE，得出【规范解答】解：作△ABC的外接圆，作直径BD，连接CD，∵CE=2，∴AC=4∴sin∠ACE=∵∠BDC=∠CAB，∴sin∠BDC=∴BC=1∴BD=17∴圆的半径为854故选：D．【变式】（2025·浙江·模拟预测）【公式探索】（1）计算12+22+【公式建构】（2）根据上面的计算结果，请用含n（n为正整数）的代数式来表示这些等式的一般规律，并给出证明．【迁移应用】（3）如图，已知在四边形ACBD中，∠C=∠ABD=90°，若AC=9 cm，BC=10 cm，BD=90 cm【答案】（1）9，49，169；（2）n2+【思路引导】本题考查了数字类规律探索、完全平方公式、勾股定理、直角三角形的外接圆等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．（1）先计算乘方，再计算加法即可得；（2）根据（1）中的三个等式可得等号左边的第二项比第一项大1，第三项等于第一项与第二项的乘积，等号右边比等号左边的第三项大1，由此即可得；再利用完全平方公式即可得证；（3）利用勾股定理可得计算AB2，AD2的式子，再利用（2）中的规律即可得【规范解答】解：（1）122232故答案为：9，49，169．（2）12+222+332+4归纳类推得：n2+n+1n===n（3）∵∠C=90°，AC=9 cm，BC=10∴AB∵∠ABD=90°，BD=90 cm∴AD∴AD=91cm或AD=−91∵△ABD是以AD为斜边的直角三角形，∴△ABD外接圆的半径为12题型三确定圆心(尺规作图）解｜题｜技｜巧1.作圆上任意两条弦，分别作其垂直平分线。2.利用尺规准确作出垂直平分线，交点即圆心。3.作图时保证线条清晰、规范，提高准确性。易｜错｜点｜拨垂直平分线作图不规范，导致圆心确定错误。【例3】（2526九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置，并写出M的坐标；(2)求出该圆弧所在圆的半径．（一个单位长度是1）【答案】(1)见解析，2,0(2)2【思路引导】本题考查了圆的基本性质，确定圆心，勾股定理、点与圆的位置关系，垂直平分线的性质，熟练掌握圆的基本概念与性质是解题的关键．（1）根据垂径定理，连接AB，BC，作AB的垂直平分线l，作BC的垂直平分线m，直线l与直线m的交点即为点M；（2）由（1）可得，设直线l与线段AB的交点为E，连接BM，在Rt△BEM中，运用勾股定理即可求得圆M【规范解答】（1）解：如图，连接AB，BC，作AB的垂直平分线l，作BC的垂直平分线m，直线l与直线m的交点即为点M，则M2,0（2）解：如图2，由（1）可得，设直线l与线段AB的交点为E，连接BM，∵∠BEM=90°，BE=2，EM=4，∴BM∴BM=25，即圆M半径的长度为2【变式】（2425九年级上·陕西商洛·期末）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝24cm，水面最深地方的高度为8cm，求这个圆形截面的半径．【答案】（1）如图所示；见解析；（2）圆形截面的半径为13cm．【思路引导】（1）运用尺规作图的步骤和方法即可解答；（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，则AD=12，设这个圆形截面的半径为xcm，在Rt△AOD中，运用勾股定理求出x即可.【规范解答】（1）如图所示；（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，∵AB＝24cm，∴AD＝12AB设这个圆形截面的半径为xcm，又∵CD＝8cm，∴OD＝x﹣8，在Rt△OAD中，∵OD2+AD2＝OA2，即（x﹣8）2+122＝x2，解得x＝13．∴圆形截面的半径为13cm．【考点剖析】本题考查了垂经定理和勾股定理，根据题意画出图形和灵活应用勾股定理是解答本题的关键.题型四90度的圆周角所对的弦是直径解｜题｜技｜巧1.见90度圆周角，直接关联其对弦为直径。2.利用直径所对圆周角性质构造直角三角形解题。3.结合其他圆的定理，如垂径定理，完善条件推理。易｜错｜点｜拨误判圆周角为90度，导致直径应用错误。【例4】（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图．(1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”；(2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】(1)七(2)见解析【思路引导】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识．（1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案；（2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧．【规范解答】（1）解：如图，若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”，故答案为：七（2）如图所示，即为所求，【变式】（2425九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知锐角△ABC中，AC=BC．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若AB=485，⊙O的直径为10，则AC=【答案】(1)见解析(2)8【思路引导】（1）利用尺规作出∠ACB的角平分线CD，作线段AC的垂直平分线交CD于点O，以O为圆心，OC为半径作⊙O即可．（2）连接OA，设射线CD交AB于E．利用勾股定理求出OE，CE，再利用勾股定理求出AC，可得结论．【规范解答】（1）解：如图，射线CD，⊙O即为所求．（2）解：连接OA，设射线CD交AB于E．∵CA=CB，CD平分∠ACB，AB=48∴CD⊥AB，AE=BE=245，又∴OE=O∴CE=OC+OE=5+7∴AC=A故答案为：8．【考点剖析】本题考查作图复杂作图，作角平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确作出图形，利用勾股定理解决问题．【变式】（2526九年级上·福建福州·阶段练习）如图，等边三角形ABC中，D是边BC上一点，过点C作AD的垂线段，垂足为点E，连接BE，若AB=10，则BE的最小值是．【答案】5【思路引导】本题主要考查平面几何中的最值问题，将AC转换成圆的直径是解题的关键．由∠AEC=90°可知，点E在以AC为直径的圆上，故以AC为直径作⊙O，连接OB交⊙O于E，则E为所求，由此即可求出最值．【规范解答】解：∵CE⊥AD于点E，D为BC边上动点，∴点E的轨迹为以AC的中点O为圆心，12∴当点B，O，E共线时，BE最小，∵等边三角形ABC，OC=1∴BO⊥AC，∴BO=B∴BE=OB−OE=53故答案为：53题型五已知圆内接四边形求角度【例5】（2425九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在△ABC中，(1)请你利用无刻度的直尺和圆规在平面内画出满足PB2+PC²=BC²的所有点P构成的图形，并在所作图形上用尺规确定到边AC、BC(2)在（1）的条件下，连接BP，若BC=15，AC=14，AB=13，设AC边上的高为BH，则BH=【答案】(1)见解析(2)BH=12，BP=3【思路引导】此题主要考查了尺规作图中垂直平分线，角平分线及圆的画法和相似比及勾股定理等知识，解题的关键是构建直角三角形及找到关键相似三角形.（1）根据PB2+PC2=BC2得出P点所构成的圆以BC为直径，根据垂直平分线画法画出O点，补全（2）设⊙O与AC的交点为H，AH=x，得到AH、BH，根据题意求出OP∥AC，即可得出OP⊥BH，BQ=12BH，OQ=12CH【规范解答】（1）如图所示，⊙O和点P即为所作：（2）由（1）作图，设⊙O与AC的交点为H，连接BH，∴∠BHC=90°，∵BC=15，设AH=x，∴HC=14−x，∴B解得：x=5

∴AH=5

∴BH=12.连接OP，由（1）作图知CP平分∠BCA，∴∠PCA=∠BCP，又∵OP=OC，∴∠OPC=∠BCP，∴∠OPC=∠PCA，∴OP∥CA，∴OP⊥BH于点Q

∴BQ=1又BO=15∴OQ=9∴PQ=3

∴BP=35故答案为：BH=12，BP=3题型六求四边形外接圆的直径【例6】（2425九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD为⊙O的直径，BC=CD，在AD的延长线上取一点E，连接CE，使CD=CE．(1)求证：AB=AE．(2)若AD=DE=2，求BD的长．【答案】(1)见解析(2)2【思路引导】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．（1）连接AC，根据圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理证明∠BAC=∠EAC，根据圆的内接四边形的性质得∠ABC+∠ADC=180°，根据平角的定义得∠ADC+∠CDE=180°，从而得∠ABC=∠CDE，由等腰三角形的性质得∠ABC=∠E，证明△ABC≌△AECAAS，根据全等三角形的判定与性质得AB=AE（2）由（1）求出AB，在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD【规范解答】（1）证明：如图，连接AC．∵BC=CD，∴BC=∴∠BAC=∠EAC，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，BC=CE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠CDE=180°，∴∠ABC=∠CDE，∴∠ABC=∠E，在△ABC与△AEC中，∠BAC=∠EAC∠ABC=∠AEC∴△ABC≌△AECAAS∴AB=AE；（2）解：∵AD=DE=2，∴AE=AD+DE=2+2=4，∴AB=AE=4，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，在Rt△ABD中利用勾股定理，得BD=【变式】（2526九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知⊙O是四边形ABCD的外接圆．(1)如图1，连接BD，若点O在BD上，求证：AB(2)如图2，延长DA、CB交于点P，求证：PA⋅PD=PB⋅PC；(3)如图3，连接OP，若点A是PD中点，AD=3，⊙O的半径r=4，求OP的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)OP=【思路引导】（1）由题意得∠A=∠C=90°，再由勾股定理即可证明；（2）由“圆内接四边形对角互补”可以证明∠PAB=∠C，∠PBA=∠D，进而证明两个三角形相似，再用相似三角形的性质求解即可；（3）设PO与⊙O交于点E，PO的延长线与⊙O交于点F，由（2）中结论得到PA⋅PD=PE⋅PF，再代入解方程即可．【规范解答】（1）证明：∵O在BD上，∴BD是⊙O的直径，∴∠A=∠C=90°．在Rt△ABD中，由勾股定理，B在Rt△BCD中，由勾股定理，B∴AB（2）证明：∵⊙O是四边形ABCD的外接圆，∴∠C+∠DAB=180°，∵∠PAB+∠DAB=180°，∴∠PAB=∠C，同理可得∠PBA=∠D，∴△PAB∽△PCD，∴PAPC=（3）解：设PO与⊙O交于点E，PO的延长线与⊙O交于点F．∴PA=AD=3，PD=2AD=6．由（2）中的结论，有PA⋅PD=PE⋅PF．其中PE=OP−r，PF=OP+r，∴3×6=OP−r解得OP=34【考点剖析】本题是一道综合题，主要考查了圆的有关性质，圆内接四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．熟练掌握“直径所对的圆周角是直角”、“圆内接四边形对角互补”是解题关键．题型七切线的性质和判定的综合应用解｜题｜技｜巧1.判定切线时，连半径证垂直或作垂直证半径。2.用切线性质，得垂直找直角三角形，结合勾股定理。3.综合圆其他定理，如圆周角定理，完善解题思路。易｜错｜点｜拨混淆切线判定与性质条件，导致推理出错。【例7】（2526九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E．(1)求证：直线AD是⊙O的切线．选择其中一位同学的想法，完成证明．(2)当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析【思路引导】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，圆的切线的判定以及切线长定理，熟练掌握与运用平行四边形的性质，全等三角形的判定，圆的切线的判定以及切线长定理，是做题的关键．（1）连接EO并延长与AD交于点F，连接BD，通过证明三角形全等可得OE=OF，进一步证明直线AD是⊙O的切线；（2）设AB与⊙O相切于点G，连接GO并延长与CD交于点H，同理（1）得CD是⊙O的切线，再根据切线长定理得BG=BE，CE=CH，再进一步可得AB=BC，即可证明▱ABCD是菱形．【规范解答】（1）证明：如图，连接EO并延长与AD交于点F，连接BD，∵O是▱ABCD的对称中心，∴OB=OD,AD∥BC，∴∠OBE=∠ODF，又∵∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF，∴OE=OF，∴BC与⊙O相切于点E，∴AD与⊙O相切于点F，即直线AD是⊙O的切线．（2）解：是菱形．理由：如图，设AB与⊙O相切于点G，连接GO并延长与CD交于点H，同理（1），得CD是⊙O的切线，AG=CH．由切线长定理得BG=BE，CE=CH，∵AG=CH，∴AG=CE．∴AB=BC，∴▱ABCD是菱形．【变式】（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】（1）如图①，△ABC内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EF，猜想∠EAB与∠C的数量关系，并证明．【问题解决】（2）如图②，在一片农田里，有一个由灌溉管道围成的区域．其中AB，AC是两段长度均为200米的直线形灌溉管道，且．∠BAC=60°，BC是一段弧形灌溉管道，其所对的圆心角为120°为了优化灌溉系统的成本和输水效率，需在BC上选取一个辅助喷头D的安装位置．试验发现，当出水源A点到喷水口D的距离与喷水口D到农田一角B的距离的比值最小时，喷水口D为最佳安装位置．请问：ADBD是否存在最小值？若存在，求出最小值，并计算此时以A、B、D【答案】（1）∠EAB=∠C，证明见解析；（2）ADBD的最小值为32；【思路引导】（1）连接OB，OA，由等边对等角得到∠OBA=∠OAB，由三角形内角和定理得到2∠OAB+∠AOB=180°；由切线的性质得到∠EAB+∠OAB=90°，则∠AOB=2∠EAB，由圆周角定理可得∠AOB=2∠C，则（2）设BC所在圆的圆心为O，连接OB，OC，连接AD并延长交⊙O于E，连接BE，可证明△BOA≌△COA，得到∠BAO=30°，∠BOA=60°，则∠ABO=90°，则AB是⊙O的切线，由（1）可得∠E=∠ABD，证明△BAD∽△EAB，可得ADBD=ABBE，则当BE是⊙O的直径时，ADBD有最小值，解Rt△ABO得到OB=20033米，则ADBD的最小值为32；可证明此时B、O、E【规范解答】解：（1）∠EAB=∠C，证明如下：如图所示，连接OB，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∵∠OBA+∠OAB+∠AOB=180°，∴2∠OAB+∠AOB=180°；∵EF是⊙O的切线，∴OA⊥EF，∴∠EAB+∠OAB=90°，∴2∠EAB+2∠OAB=180°，∴∠AOB=2∠EAB，又∵∠AOB=2∠C，∴∠EAB=∠C；（2）如图所示，设BC所在圆的圆心为O，连接OB，OC，连接AD并延长交⊙O于E，连接∵AB=AC，∴△BOA≌△COASSS∴∠BAO=∠CAO=12∠BAC=30°∴∠ABO=180°−60°−30°=90°，∴AB⊥OB，∵OB是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线，由（1）可得∠E=∠ABD，又∵∠BAD=∠EAB，∴△BAD∽△EAB，∴BDBE∴ADBD∴当BE有最大值时，ADBD∵BE是⊙O的一条弦，∴当BE是⊙O的直径时，BE有最大值，在Rt△ABO中，OB=AB⋅∴ADBD的最小值为200∵BE是⊙O的直径，∴此时B、O、E三点共线，∠BDE=90°，∴∠ADB=180°−∠BDE=90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=∵△BAD∽△EAB，∴ABAE∴AD=A∴BD=2∴S△ABD【考点剖析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，切线的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．题型八应用切线长定理求解解｜题｜技｜巧1.明确切点，利用切线长相等构建等量关系。2.结合等腰三角形性质，借助切线长定理简化计算。3.与其他圆的定理联用，如垂径定理，完善解题。易｜错｜点｜拨忽略切线长定理使用前提，误判线段相等。【例8】（2526九年级上·重庆·阶段练习）如图，过⊙O外一点A引圆的两条切线，切点分别为B、D，连接AO、BO，延长BO、AD交于点C，过点C作CE⊥AO，交AO的延长线于点E．若CB=6，AC=10，则⊙O的半径为；连接BE，则BE的长为．【答案】83/22【思路引导】本题考查了切线长定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，①连接OD，由题意得：OB⊥AB,OD⊥AD且AB=AD，求出AB=AC2−CB2=8=AD，CD=2；设OD=OB=r，则OC=6−r；根据CD2+OD2=OC2即可求解；②作BF⊥AE，可推出△ADO∽△AEC∽△AFB；根据OD=83【规范解答】解：连接OD，如图所示：由题意得：OB⊥AB,OD⊥AD且AB=AD，∵CB=6，AC=10，∴AB=A∴CD=2；设OD=OB=r，则OC=6−r；∵CD∴22+r作BF⊥AE，如图所示：由题意得：∠CAE=∠BAF，∵∠ADO=∠AEC=∠AFB=90°，∴△ADO∽△AEC∽△AFB；∵OD=83，∴AO=A∴OD:AD:AO=1:3:10∴CE:AE:AC=1:3:10，BF:AF:AB=1:3:∵AC=10，AB=8，∴AE=310，BF=∴EF=AE−AF=3∴BE=B故答案为：①83；②10【变式】（2425九年级下·辽宁丹东·开学考试）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．若BC=6，DE=4．(1)求证：∠FEB=∠ECF；(2)求⊙O的半径长．【答案】(1)证明见解析；(2)⊙O的半径长为3．【思路引导】本题考查了切线长定理，勾股定理，等角的余角相等，掌握知识点的应用，作出合适的辅助线是解题的关键．（1）利用切线长定理得到OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，利用切线的性质得OB⊥BC，则∠BCO+∠COB=90°，由于∠FEB+∠FOE=90°，∠COB=∠FOE，再根据等角的余角相等即可求证；（2）连接OD，由切线长定理得CD=CB=6，OD⊥CE，OB⊥BC，则∠EDO=∠ABC=90°，CE=CD+DE=10，由勾股定理得BE=8，设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8−r，然后通过勾股定理即可求解．【规范解答】（1）证明：∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，∴OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，OB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCO+∠COB=90°，∵EF⊥OG，∴∠EFO=90°，∴∠FEB+∠FOE=90°，∵∠COB=∠FOE，∴∠FEB=∠ECF；（2）解：连接OD，∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，∴CD=CB=6，OD⊥CE，OB⊥BC，∴∠EDO=∠ABC=90°，CE=CD+DE=6+4=10，在Rt△BCE中，BE=设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8−r，在Rt△ODE中，O∴r2解得r=3，∴⊙O的半径长为3．题型九应用切线长定理求证解｜题｜技｜巧1.准确识别切点，根据切线长定理得出线段相等关系。2.结合全等或相似三角形知识，由切线长创造条件推导。3.合理运用圆的其他性质，与切线长定理协同证明。易｜错｜点｜拨未正确判断切线，错误使用切线长定理证明。【例9】（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过⊙O外一点M引⊙O的两条切线MA、MB，切点是A、B，∠AMB为锐角，连接MO并延长与⊙O交于点N，点P在MN的延长线上，过点P作MA的垂线，与BO的延长线相交于点E、垂足为F．(1)求证：△EOP是等腰三角形；(2)在图（2）中作△EOP，满足OP=OF（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(3)已知sin∠AMB=53，在你所作的△EOP中，若PF=2【答案】(1)证明见解析(2)图见解析(3)OE=3【思路引导】（1）先根据切线长定理、切线的性质定理可得∠OMA=∠OMB，OB⊥MB，再证出∠BOM=∠P=∠POE，根据等腰三角形的判定可得OE=PE，由此即可得证；（2）先在MO的延长线上作OP=OM，再过点P作MA的垂线，与BO的延长线相交于点E、垂足为F，由直角三角形的斜边中线的性质即可得OP=OF；（3）过点E作EC⊥MP于点C，过点F作FD⊥MP于点D，先解直角三角形可得sin∠POF=sin∠AMB=53=DFOF，再设OF=OP=OM=3xx>0，则DF=5x，OD=2x，DP=x，在Rt△PDF中，利用勾股定理可得【规范解答】（1）证明：∵MA,MB是⊙O的两条切线，切点是A,B，∴∠OMA=∠OMB，OB⊥MB，∴∠OMB+∠BOM=90°，∵PF⊥MF，∴∠OMA+∠P=90°，∴∠BOM=∠P，由对顶角相等得：∠BOM=∠POE，∴∠P=∠POE，∴OE=PE，∴△EOP是等腰三角形．（2）解：如图，满足OP=OF的△EOP即为所作．（3）解：如图，过点E作EC⊥MP于点C，过点F作FD⊥MP于点D，∵MA,MB是⊙O的两条切线，切点是A,B，∴∠OMA=∠OMB=1∵PF⊥MF，OP=OM，∴OF=OP=OM，∴∠OMA=∠OFM，∴∠POF=∠OMA+∠OFM=2∠OMA=∠AMB，∵sin∠AMB=∴sin∠POF=在Rt△ODF中，sin设OF=OP=OM=3xx>0，则DF=∴OD=O∴DP=OP−OD=x，∵PF=2，∴在Rt△PDF中，DP2解得x=63或∴DP=63，∵在等腰△EOP中，OE=PE，EC⊥MP，∴CP=1又∵EC⊥MP，FD⊥MP，∴EC∥FD，∴△PDF∽△PCE，∴PEPF=CP解得PE=3，∴OE=3．【考点剖析】本题考查了切线长定理、切线的性质定理、作垂线、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线长定理和解直角三角形的方法是解题关键．【变式】（2425九年级上·云南昭通·期末）如图1，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，点E是⊙O右侧半圆上不同于A,B的一个动点，过点E作⊙O的切线DC与AM,BN分别相交于D,C两点，连接DO,CO．(1)若DO=3,CO=4，求DC的长；(2)求证：AO(3)如图2，连接AE、BE，BE与OC相交于点F，延长CO交⊙O于点G，过点G作GH⊥AO于点H．则以下关于线段BH、AH、AE的三个结论：①BH>AH+AE，②BH=AH+AE，③BH<AH+AE，你认为哪个正确？请说明理由．【答案】(1)5(2)见解析(3)②BH=AH+AE正确，理由见解析【思路引导】（1）首先证明AD∥BC，易得∠ADE+∠BCE=180∘，由切线长定理可知，（2）首先根据勾股定理可得OD2=AO2+AD2,O（3）延长EA至K，使得AK=AH，连接GK,GA,GB,GE，首先证明△GAK≌△GAH，易得∠GKE=∠GHA=90∘,GK=GH，再证明△GKE≌△GHB，易得EK=BH【规范解答】（1）解：∵AB是直径，AM、BN是切线，∴AD∥∴∠ADE+∠BCE=180由切线长定理可知，∠ADO=∠EDO,∠BCO=∠ECO，∴∠EDO+∠ECO=1∴∠DOC=90∵DO=3,CO=4，∴DC=D（2）证明：∵AB是直径，AM、BN是切线，∴OA⊥AD,OB⊥BC，∴OD由（1）知OD∴AO由切线长定理可知DA=DE,CE=CB，∴DC=ED+EC=AD+BC，∴AO即AO∴AO（3）我认为②BH=AH+AE如下图，延长EA至K，使得AK=AH，连接GK,GA,GB,GE，由垂径定理知，GF垂直平分BE，∴GB=GE，∴∠GBE=∠GEB=∠GAB，∵在四边形AGBE中，∠GBE+∠GAE=180又∵∠GAK+∠GAE=180∴∠GAK=∠GBE，∴在△GAK和△GAH中，GA=GA∠GAK=∠GAH∴△GAK≌△GAHSAS∴∠GKE=∠GHA=90在Rt△GKE和RtGE=GBGK=GH∴△GKE≌△GHBHL∴EK=BH，∴BH=AE+AH．【考点剖析】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂径定理等知识，综合性质强，综合运用相关知识是解题关键．题型十圆的综合问题解｜题｜技｜巧1.整合圆的各类定理，如垂径、圆周角、切线定理，建立条件联系。2.结合三角形知识，构造直角或相似三角形辅助求解。3.从问题出发逆向分析，逐步推导所需条件。易｜错｜点｜拨定理使用条件混淆，导致推理过程和结果出错。【例10】（2025·广西来宾·一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在BA的延长线上，D为⊙O上一点，连接AD，BD，E，F分别是AD，BD的中点，连接OE，OF，延长CD，OF交于点P．(1)求证：四边形OFDE是矩形；(2)若∠ADC=∠EOA，求证：CD是⊙O的切线；(3)在（2）的条件下，若tanC=34，OP=3【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3【思路引导】（1）根据题意得∠ADB=90∘，结合垂径定理得OE⊥AD和OF⊥BD，则∠EDF=∠DEO=∠DFO=90（2）连接OD，有OD=OA，得∠ADO=∠DAO，进一步判定∠EAO+∠EOA=90∘，等量代换为∠ADC+∠ADO=90（3）结合题意设OA=OD=3x，CD=4x．根据勾股定理得OC=5x，有AC=OC−OA．进一步判定AD∥OP，有CDDP=ACOA，求得【规范解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90∵E，F分别是AD，BD的中点，且OE，OF经过圆心O，∴OE⊥AD，OF⊥BD，∴∠DEO=∠DFO=90∴∠EDF=∠DEO=∠DFO=90∴四边形OFDE是矩形．（2）证明：连接OD．如图，∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO．∵OE⊥AD，∴∠AEO=90∴∠EAO+∠EOA=90∵∠ADC=∠EOA，∠ADO=∠DAO，∴∠ADC+∠ADO=90∘，即∴OD⊥CD．又∵OD为半径，∴CD是⊙O的切线．（3）解：∵∠ODC=90∴tanC=设OA=OD=3x，CD=4x．在Rt△ODC中，根据勾股定理，得OC=∴AC=OC−OA=2x．∵OF⊥BD，∴∠DFP=90∴∠ADF=∠DFP=90∴AD∥OP，∴CDDP即4xDP∴DP=6x．∵OD⊥CD，∴∠ODP=90在Rt△ODP中，根据勾股定理，得OP=即35解得x=1，∴OD=3x=3，∴⊙O的半径为3．【考点剖析】本题主要考查圆的基本性质、垂径定理、矩形的判定、等腰三角形的性质、切线的判定、解直角三角形、平行线的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟悉圆的性质和解直角三角形．【变式】（2425九年级上·广东汕头·期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD=BC．连接AD、BD，CE⊥DA，交DA延长线于点(1)证明：AC平分∠EAB；(2)若CD平分∠ACB，①当AB=4时，求AE的长；②设AC=x,BC=y，直接写出y与x的函数关系式．【答案】(1)见解析(2)①2−2；②【思路引导】（1）由圆内接四边形的性质可知∠CAE=∠CBD，根据等弧或同弧所对圆周角相等得到∠CDB=∠CBD，∠CDB=∠CAB，则有∠CAB=∠CAE，由此即可求解；（2）①如图，作CF⊥AB，垂足为F，可证Rt△CEA≌Rt△CFAHL，得到AF=AE，再证△CED≌△CFBAAS，得到BF=DE，则AB=BF+AF=DE+AE=AD+AE+AE，根据AB为⊙O的直径，CD平分∠ACB，得到AD=BD②根据AB为⊙O的直径，CD平分∠ACB，得到∠ACD=∠BCD=45°，AD=BD，CD=CB=y，如图所示，过点A作AM⊥CD于点M，过点B作BN⊥CD于点N，则△ACM,△BCN都是等腰直角三角形，根据锐角三角函数的计算得到CM=22AC=22x,CN=22BC=22【规范解答】（1）证明：由圆内接四边形的性质可知∠CAD+∠CBD=180°，又∵∠CAD+∠CAE=180°，∴∠CAE=∠CBD，∵CD=∴∠CDB=∠CBD，∵BC=∴∠CDB=∠CAB，∴∠CAB=∠CBD，∴∠CAB=∠CAE，∴AC平分∠EAB；（2）解：①如图，作CF⊥AB，垂足为F，∵CE⊥DA，AC平分∠EAB（已证），∴CE=CF,∠CED=∠CFB=90°，在Rt△CEA与Rt△CFA中，∴Rt△CEA≌∴AF=AE，在△CED与△CFB中，CE=CF,∠CED=∠CFB=90°,∠CDE=∠CBF，∴△CED≌△CFBAAS∴BF=DE，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD，在Rt△ADB中，A∴AD=22∵AB=BF+AF=DE+AE=AD+AE+AE，即22∴AE=2−2②∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，AD=BD，∵CD=∴CD=CB=y，如图所示，过点A作AM⊥CD于点M，过点B作BN⊥CD于点N，∴∠CAM=90°−∠ACM=45°，∠CBN=90°−∠BCN=45°，∴△ACM,△BCN都是等腰直角三角形，∵cos∠ACM=cos45°=CMAC∴CM=2∵∠AMD=∠ADB=∠BND=90°，∴∠ADM=90°−∠DAM=90°−∠BDN，∴∠DAM=∠BDN，在Rt△ADM和Rt∠DAM=∠BDN∠AMD=∠DNB=90°∴Rt△ADM≌∴AM=DN，∴CM=DN=2∴CD=CN+DN=CN+CM，即22解得，y=2【考点剖析】本题主要考查圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对圆周角相等，直径或半圆所对圆周角为直径，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，锐角三角函数的计算等知识的综合运用，掌握圆与四边形，三角形的综合运用，数形结合思想是解题的关键．题型十一过圆外一点作圆的切线（尺规作图）【例11】（2425九年级上·重庆长寿·期末）学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下：已知：如图，⊙O及⊙O外一点P．求作：⊙O的过点P的两条切线．作法：①连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点M；②以M为圆心，以MO为半径作⊙M，与⊙O交于两点A和B；③作直线PA，直线PB，则直线PA和直线PB是⊙O的两条切线．(1)请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹）；(2)求证：PA，PB是⊙O的切线，且PA=PB．证明：连接OA，OB，如图．∴∠OAP=∠OBP=①______，∴OA⊥AP，OB⊥BP，又∵点A，B在⊙O上，∴OA，OB是⊙O的半径，且OA=OB，∴PA，PB是⊙O的切线．（经过半径的外端并且②______于这条半径的直线是圆的切线）在Rt△AOP和Rt△BOP∴Rt∴PA=PB．【答案】(1)见解析(2)①90°；②垂直；③OP=OP；④HL．【思路引导】本题考作查了过圆外一点作圆的切线，直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键在于根据题意作出图形．（1）根据作线段垂直平分线，以及题干中作图的步骤画图，即可解题；（2）连接OA，OB，根据直径所对的圆周角是直角得到∠OAP=∠OBP=90°，即可证明PA，PB是⊙O的切线，再结合圆的特点证明Rt△AOP≌Rt△BOP【规范解答】（1）解：根据题意可作图如下：（2）证明：连接OA，OB，如图．∴∠OAP=∠OBP=①90°，∴OA⊥AP，OB⊥BP，又∵点A，B在⊙O上，∴OA，OB是⊙O的半径，且OA=OB，∴PA，PB是⊙O的切线．（经过半径的外端并且②垂直于这条半径的直线是圆的切线）在Rt△AOP和Rt△BOP中，∴Rt△AOP≌Rt∴PA=PB．故答案为：①90°；②垂直；③OP=OP；④HL．【变式】（2425九年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）已知A是⊙O上一点．如图，过点A作出⊙O的一条切线AB，切点为A（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）．（2）已知P是⊙O外一点．如图，过点P作出⊙O的两条切线PE、PF，切点分别为点E、F（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）．（3）在（2）的条件下，若点D在⊙O上（点D不与E、F两点重合），且∠EPF=40°，则∠EDF=．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）70°或110°【思路引导】本题考查了切线的作法，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角；同弧所对的圆周角是圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补．（1）连接OA，过点A作AB⊥OA，直线AB即为所求；（2）连接PO，作PO的垂直平分线，交PO于点Q，以点Q为圆心，OQ为半径画圆，⊙Q与⊙O相交于点E和点F，连接PE、PF，PE、PF即为所求；（3）先根据四边形内角和为360度，得出∠EOF=140°，再进行分类讨论：当点D在优弧EF上时，根据圆周角定理即可解答；当点D在劣弧EF上时，根据圆的内接四边形的性质即可解答．【规范解答】解：（1）如图，直线AB即为所求；（2）如图所示：PE、PF即为所求；（3）∵∠EPF=40°，∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EOF=140°，如图，当点D在优弧EF上时，∠ED当点D在劣弧EF上时，∠ED故答案为：70°或110°．题型十二直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系解｜题｜技｜巧2.灵活变形公式，根据已知量求未知量。3.结合勾股定理a²+b²=c²，完善条件进行计算。易｜错｜点｜拨记错公式或用错边的对应关系，导致计算错误。【例12】（2324九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°(1)在图中，用尺规作出△ABC的内切圆的圆心O（保留痕迹，不必写作法）；(2)画出⊙O与边AB，BC，AC的切点D、E、F，连接EF，DE，若∠B=40°则∠DEF=___________；(3)若AC=6，BC=8，则所作内切圆半径【答案】(1)见解析(2)65°(3)2【思路引导】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，作图复杂作图，关键是掌握三角形的内心是三角形角平分线的交点．（1）分别作∠BAC和∠ABC的平分线，它们相交于点O，则点O为Rt△ABC（2）过点O作OF⊥AC于F，然后以点O为圆心，OF为半径作圆；连接DE、EF，根据切线长定理得出∠FEC=45°，∠BED=70°，从而可求出∠DEF；（3）由三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半，即可求得△ABC的内切圆的半径．【规范解答】（1）解：如图，点O即为△ABC的内切圆圆心，（2）解：连接DE，EF，由切线长定理得FC=EC，BD=BE，∵∠C=90°,∴∠CEF=1∵∠ABC=40°，∴∠BED=1∴∠DEF=180°−∠FEC−∠BED=180°−45°−70°=65°故答案为：65°；（3）解：设△ABC内切圆的半径为r，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴AB=A∴S△ABC=1∵S△ABC∴r=2故答案为：2．【变式】（2324九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为0,4，点B的坐标为3,0，点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，依此规律，则P1的坐标是；第2023次滚动后，【答案】5,18093,1【思路引导】作PD⊥OA交OA于D，PF⊥OB交OB于F，PE⊥AB交AB于E，连接AP、OP、PB，由A、B的坐标得出OA=4，OB=3，由勾股定理可得AB=5，再由内切圆的性质可得PD=PE=PF，设PD=PE=PF=r，根据三角形的面积计算出r=1，从而得到P1,1，根据旋转可得出P2的坐标为：3+5+4−1,1，即11,1，设P1的横坐标为x，根据切线长定理可得：x−3=3−1，即可得到P【规范解答】解：如图，作PD⊥OA交OA于D，PF⊥OB交OB于F，PE⊥AB交AB于E，连接AP、OP、PB，∴OB=3，OA=4，∴AB=O∵点P是Rt△OAB内切圆的圆心，PD⊥OA，PF⊥OB，PE⊥AB∴PD=PE=PF，设PD=PE=PF=r，∵S△AOB=∴1解得：r=1，∴P1,1∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为∴由图可得P2的坐标为：3+5+4−1,1，即11,1设P1的横坐标为x根据切线长定理可得：x−3=3−1，解得：x=5，∴P∴P3的坐标为3+5+4+1,1，即13,1∴每滚动3次为一个循环，∵2023÷3=674…1，∴第2023次滚动后Rt△OAB内切圆的圆心P2023的横坐标是：674×3+4+5∴P故答案为：5,1，8093,1．【考点剖析】本题考查了坐标与图形、三角形内切圆的相关性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，得出每滚动3次为一个循环是解此题的关键．题型十三圆外切四边形模型【例13】（2425九年级上·浙江温州·期末）如图，正方形EBFI，正方形MFCG和正方形HLGD都在正方形ABCD内，且BF=HD．⊙O分别与AE，EI，HL，AH相切，点M恰好落在⊙O上，若BF=4，则⊙O的直径为．【答案】16−8【思路引导】连接AC，由题意可知AC过点O，M，且AC=2AB，列出方程求解即可．【规范解答】解：如图所示，连接AC，过点O作OP⊥AD于P，过点O作OQ⊥AB于Q，∵正方形EBFI，正方形MFCG和正方形HLGD都在正方形ABCD内，∴∠ACD=∠MCD=∠DAC=45°，∵⊙O分别与AE，EI，HL，AH相切，∴四边形AQOP是正方形，∴AC过点O，M，∵四边形ABCD为正方形，∴AC=2AB，OA=2OP，AD=BC．∵BF=HD．∴AH=FC．设⊙O的直径为x，则FC=AH=x．∵BF=4，∴AB=BC=x+4．MC=2x，AM=2∴AC=3∵AC=2AB，∴32+12x=解得：x=16−82．即⊙O的直径为16−82．故答案为：16−82．【考点剖析】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键．【变式】（2025·北京·模拟预测）如图，⊙O的外切四边形ABCD中相邻的三条边AB:BC:CD=3:4:5，周长为32，则AD=．【答案】8【思路引导】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键．利用圆的外切四边形的性质得到AB+CD=BC+AD，设AB=3x、BC=4x、CD=5x，则3x+5x=4x+AD，即AD=4x，接着利用四边形的周长为32列方程求解即可．【规范解答】解：如图，∵⊙O的外切四边形ABCD，∴AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG，∴AB+CD=BC+AD，∵AB:BC:CD=3:4:5，∴设AB=3x、BC=4x、CD=5x，则3x+5x=4x+AD，即AD=4x，∵四边形ABCD的周长为32，∴3x+5x+4x+4x=32，解得：x=2，∴AD=4x=8．故答案为：8．题型十四三角形内心有关应用【例14】（2526九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中，正确的有（

）（1）长度相等的弧是等弧；（2）三点确定一个圆；（3）平分弦的直径垂直于弦；（4）三角形的内心到三角形三边的距离相等；（5）已知⊙O的半径是3，平面上一点P到圆心的距离为d，若线段OP与⊙O有公共点，则d>3．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】D【思路引导】本题考查了等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理的推论、三角形内心的性质、点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握相关定义以及性质是解本题的关键．根据等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理的推论、三角形内心的性质、点与圆的位置关系相关知识点判断即可．【规范解答】解：（1）能够完全重合的弧是等弧，原说法错误，不符合题意；（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意；（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；（4）三角形的内心到三角形三边的距离相等，说法正确，符合题意；（5）已知⊙O的半径是3，平面上一点P到圆心的距离为d，若线段OP与⊙O有公共点，则d≥3，原说法错误，不符合题意；因此正确的只有1个，故选：D．【变式】（2526九年级上·江苏南京·阶段练习）用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．(1)点P是∠BAC中AB边上的一点，在图1中作⊙O，使它满足以下条件：①圆心O在AB上；②经过点P；③与边AC相切；(2)如图2，从墙EF边上引两条不平行的射线EB、FC（交点在墙EF的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线．【答案】(1)见解析(2)见解析【思路引导】本题考查了圆的基本性质，复杂作图——线段、垂线、以及角平分线，圆的切线的性质和破安定，等腰三角形的内心等知知识，利用相关知识点正确作图是解题关键．（1）要作一个满足条件的圆，关键在于确定圆心和半径．因为圆心在AB上且圆经过点P并与AC相切，过圆心作AC的垂线，垂线段长度即为半径；（2）根据三角形三条角平分线交于同一点作图即可．【规范解答】（1）解：①过点P作AB的垂线交AC于点E，②在EA上截取EF=EP，③作∠AEP的平分线交AB于点O；④以点O为圆心，OP长为半径作圆；则⊙O为所求的图形．（2）解：①在FC上任取一点M（除F外），在EB上任取一点N（除E外），连接MN；②作∠FMN的平分线MG，作∠ENM的平分线NG，两平分线交于点G；③同样方法，得点H；④作直线GH，则直线GH为所求的图形．题型十五一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系【例15】（2425九年级上·云南红河·阶段练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=5cm，BC=7cm，(1)求AF的长．(2)已知S△ABC=66【答案】(1)2(2)2【思路引导】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键．（1）由切线长定理可知：AF=AE，BF=BD，CD=CE，设AF=AE=x，则BF=BD=5−x，EC=DC=6−x，根据BD+DC=BC=7，列方程求解即可；（2）先计算三角形的半周长s，再利用S△ABC=s⋅r，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出【规范解答】（1）解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴AF=AE，BF=BD，CD=CE，设AF=AE=x，则BF=BD=5−x，EC=DC=6−x，根据题意得：5−x+6−x=7解得：x=2∴AF=2cm，BD=5−x=3cm，则AF的长为2cm（2）∵AB=5cm，BC=7cm，∴半周长s=AB+BC+CA又∵S△ABC∴66∴r=2则OD的长为26【变式】（2425九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，周长为12，面积为24的△ABC的内切圆为⊙O，且点D、E是⊙O的三等分点的其中两点，点G、F是⊙O上的两个动点，且在直线DE的异端．则四边形DFEG的最大面积是．【答案】16【思路引导】本题考查了内切圆的性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质．设⊙O的半径为r，利用面积法结合内切圆的性质求得r=4，连接OD，OE，作OH⊥DE于点H，利用垂径定理结合勾股定理求得DE=2DH=43，过点F作FM⊥DE交DE于点M，过点G作GN⊥DE交DE于点N，求得S四边形DFEG=23FM+GN，当点F和点G分别为劣弧【规范解答】解：如图，设⊙O的半径为r，设△ABC与内切圆⊙O的切点分别为A1，B1，C1，连接OA，OB，OC∴OA∴S△ABC∴12∴12解得r=4，连接OD，OE，作OH⊥DE于点H，∴OD=OE=4，DH=EH，∵点D、E是⊙O的三等分点的其中两点，∴∠DOE=120°，∴∠ODH=∠OEH=1∴OH=12OD=2∴DE=2DH=43由题可知S四边形过点F作FM⊥DE交DE于点M，过点G作GN⊥DE交DE于点N，如图，则S==23当点F和点G分别为劣弧DE和优弧DE的中点时，FM+GN取得最大值，此时F、M、N、G共线，即FM+GN为⊙O直径的长，∴S四边形题型十六三角形内切圆与外接圆综合解｜题｜技｜巧1.明确内切圆、外切圆性质，如圆心位置与边角关系。2.结合三角形特性，利用角平分线、垂直平分线辅助解题。3.建立方程，根据半径、边长等关系求解未知量。易｜错｜点｜拨混淆内切圆和外切圆性质，导致逻辑推理出错。【例16】（2324九年级上·山东滨州·期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G．则下列结论：①∠BAD=∠CAD；②若∠BAC=60°，则∠BEC=120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD=90°；④AE=DE=DB．其中不一定正确的是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【思路引导】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到∠BAD=∠CAD，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明∠DEB=∠DBE得到DB=DE，则可对④进行判断．【规范解答】解：∵E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，故①正确；如图，连接BE,CE，∵E是△ABC的内心，∴∠EBC=1∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BEC=180°−∠EBC−∠ECB=180°−1∵∠BAD=∠CAD，∴BD=∴OD⊥BC，∵点G为BC的中点，∴G一定在OD上，∴∠BGD=90°，故③正确；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵∠DBC=∠DAC=∠BAD，∴∠DBC+∠EBC=∠EBA+∠EAB，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE，若AE=DE，则CA=CD，显然不可能，故④错误．故选：D．【变式】（2425九年级上·福建福州·阶段练习）已知⊙O内接四边形ABCD中，BD平分∠ABC．(1)如图1，若AC，BD相交于E，求证：(2)如图2，连接OD交AC于F．若AC=16，AD=10，求(3)如图3，若AC为⊙O直径，AB=3，BD=722【答案】(1)见解析(2)25(3)5【思路引导】本题主要考查了三角形内切圆与外接圆综合，圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．（1）由角平分线的定义得到∠ACD=∠ABD，由同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，则∠ACD=∠CBD，再由角的和差关系和三角形外角的性质可证明结论；（2）连接OA，先证明AD=CD，由垂径定理得到OD⊥AC，AF=12AC=8，由勾股定理得DF=6（3）过点D作DE⊥BA交BA延长线于E，DH⊥BC于H，可求出∠ABC=90°，则∠ABD=12∠ABC=45°，可证明△BDE是等腰直角三角形，得到BE=DE，则可求出BE=DE=72，AE=BE−AB=12；证明四边形EBHD是矩形，得到DH=BE=72=DE，BH=DE=72；证明△DEA≌△DHCAAS，得到CH=AE=12，则BC=BH+CH=4，AC=AB2+BC2=5；设△ABC的内心为I，设⊙I分别与【规范解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵∠ACD=∠ABD，∴∠ACD=∠CBD，∵∠AEB=∠ACB+∠CBD，∠BCD=∠ACD+∠ACB，∴∠AEB=∠BCD；（2）解：如图所示，连接OA，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴AD=∴OD⊥AC，∴在Rt△ADF中，由勾股定理得DF=设OA=OD=x，则OF=OD−DF=x−6，在Rt△AOF中，由勾股定理得O∴x2解得x=25∴OA=253，即⊙O的半径为（3）解；如图3所示，过点D作DE⊥BA交BA延长线于E，DH⊥BC于H，∵AC为⊙O直径，∴∠ABC=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=1∴△BDE是等腰直角三角形，∴BE=DE，∴BD=B∴BE=DE=7∴AE=BE−AB=1∵DE⊥BE，∴四边形EBHD是矩形，∴DH=BE=72=DE∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠EAD=∠HCD，又∵∠DEA=∠DHC=90°，∴△DEA≌△DHCAAS∴CH=AE=1∴BC=BH+CH=4，∴AC=A如图4所示，设△ABC的内心为I，设⊙I分别与AB，BC，AC相切于D、E、∴ID=IF=IE，ID⊥AB，∵S△ABC∴12∴12∴IF=1；∴ID=IE=1，∵ID⊥AB，∴四边形BDIE是矩形，∴BD=IE=1，∴AF=AD=3−1=2，∵OA=1∴OF=OA−AF=1∴OI=I∴△ABC的内心与点O的距离为52题型十七求弧长【例17】（2020·辽宁沈阳·二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=32，∠ACB=45°，则AB的长是（

A．92π B．94π C．【答案】D【思路引导】本题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟记弧长公式．连接OA,OB，圆周角定理得到∠AOB=2∠C=90°，再由勾股定理求出半径OA，然后由弧长公式求解即可．【规范解答】解：连接OA,OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠C=90°，∵OA=OB，AB=32∴AB=O∴OA=2∴AB的长是：90π×3180故选：D．【变式】（2324九年级上·河北石家庄·阶段练习）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O,AB=52cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH计算：在图1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C(1)求OC的长．操作：将图1中的水槽沿CH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q,GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中．(2)操作后水面高度下降了多少？(3)连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与EQ的长度，并比较大小．【答案】(1)10(2)3(3)EF=2633cm【思路引导】（1）连接OM，利用垂径定理计算即可；（2）由切线的性质证明OE⊥GH进而得到OE⊥MN，利用锐角三角函数求OD，再与（1）中OC相减即可；（3）由半圆的中点为Q得到∠QOB=90°，得到∠QOE=30°分别求出线段EF与EQ的长度，再相减比较即可．【规范解答】（1）解：连接OM，∵O为圆心，OC⊥MN于点C，MN=48cm∴MC=1∵AB=52cm∴OM=1∴在Rt△OMCOC=O（2）解：∵GH与半圆的切点为E，∴OE⊥GH∵MN∥GH∴OE⊥MN于点D，∵∠ANM=30°，ON=26cm∴OD=1∴操作后水面高度下降高度为：13−10=3cm（3）解：∵OE⊥MN于点D，∠ANM=30°∴∠DOB=60°，∵半圆的中点为Q，∴AQ=∴∠QOB=90°，∴∠QOE=30°，∴EF=tanEQ=∵263∴EF>EQ【考点剖析】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键．题型十八求扇形半径【例18】（2122九年级上·山东德州·期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=160°，则该圆锥的母线长l为【答案】9【思路引导】本题考查了圆锥的有关计算，解题关键是熟知圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长和圆锥母线等于圆锥侧面展开图的半径，根据题意建立方程．根据侧面展开图的弧长等于底面周长列方程即可．【规范解答】解：圆锥的底面周长=2π×2=4πcm由题意可得160⋅π⋅l180=4π，解得所以该圆锥的母线长为92故答案为92【变式】（2324九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于90°，则扇形的半径是．【答案】4【思路引导】根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，列式解答即可．本题考查了弧长公式，扇形与圆锥的关系，熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长是解题的关键．【规范解答】解：设扇形的半径是r，则90·π解得r=4，∴扇形的半径是4．故答案为：4．题型十九求圆心角【例19】（2425九年级上·河南信阳·阶段练习）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知OA=2m，点C，D分别为OA，OB的中点，且CD(1)求扇形AOB的圆心角度数；(2)依据相关数据，求花窗的面积．【答案】(1)扇形AOB圆心角的度数为90°(2)花窗的面积为3【思路引导】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键．（1）设∠AOB的度数为n°，根据弧长公式列方程求解即可；（2）先根据扇形的面积公式求出S扇形COD、S扇形【规范解答】（1）解：由题知，OA=2m，点C，D分别为OA，OB∴OC=1设∠AOB的度数为n°，∵CD的长度为π2∴nπ×1180∴扇形AOB圆心角的度数为90°；（2）解：∵SS扇形∴S阴影∴花窗的面积为34【变式】（2425九年级下·全国·期末）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为8cm，母线OEOF长为8cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A【答案】10【思路引导】考查了平面展开最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【规范解答】解：∵OE=OF=EF=8(cm∴底面周长=8π(cm将圆锥侧面沿OF剪开展平得一扇形，此扇形的半径OE=8(cm)，弧长等于圆锥底面圆的周长8π(cm8π=∴n=180,即展开图是一个半圆，∵E点是展开图弧的中点，∴∠EOF=90°,连接EA，则EA就是蚂蚁爬行的最短距离，在Rt△AOEE∴EA=10(即蚂蚁爬行的最短距离是10cm故答案为：10．题型二十求某点的弧形运动路径长度解｜题｜技｜巧1.确定动点运动轨迹为圆弧，找其所在圆的圆心与半径，利用圆性质求解。2.找出动点起始和终点位置，算出对应圆心角的度数。易｜错｜点｜拨错误判断圆心、半径或圆心角度数，致弧长计算出错。【例20】（2024八年级下·广西·竞赛）如图，菱形ABCD的边长为1cm，∠BAD=120°，将菱形ABCD绕点B顺时针旋转a°(0°<α<180°)，使BA与BC重合，则在旋转过程中，点D所走的路径DD′⏜【答案】3【思路引导】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、弧长的计算方法；熟练掌握菱形的性质并能进行推理计算是解决问题的关键．连接AC，交BD于O，再证明△ABC是等边三角形，得出AC=AB，再求出BD，根据弧长公式即可得出结果．【规范解答】解：连接AC，交BD于O，如图所示：∴AB=BC，∠ABC=180°−120°=60°，OA=1∴∠ABO=30°，∵BA与BC重合，∴∠DBD∴Δ∴AC=AB=1，OA=12，∴BD=2OB=3∴点D所走的路径DD′⏜故答案为：3【变式】（2425九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=23cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B