专题01分数的乘法与除法（期中知识清单）

专题01分数的乘法与除法（3知识&6题型&3易错&3方法清单）【清单01】分数的乘法（一）分数乘法的类型及计算法则类型计算法则分数×整数用分数的分子与整数相乘的积作分子，分母不变；能约分的先约分，再计算分数×分数用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；字母表示为ba×d小数×分数方法1：将小数化成分数后按分数乘法计算；方法2：将分数化成小数后按小数乘法计算（优先选择能约分的方法）（二）分数乘法的意义1．表示几个相同分数相加的和。2．表示求一个数的几分之几是多少。（三）分数乘法混合运算与运算律1．混合运算顺序：与整数混合运算顺序一致，先算乘法，再算加减；有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。2．运算律（整数乘法运算律对分数乘法完全适用）：交换律：ab结合律：(a分配律：(a【清单02】分数的除法（一）核心概念：倒数1．定义：乘积是1的两个数互为倒数。2．求倒数的方法：将这个数化成分数形式（整数可看作分母为1的分数），再交换分子与分母的位置。注意：1的倒数是1；0没有倒数。（二）分数除法的计算法则类型计算法则分数÷整数（0除外）等于分数乘这个整数的倒数分数÷分数等于被除数乘除数的倒数；字母表示为ba÷d（三）分数除法的意义已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数。（四）分数除法混合运算1．运算顺序：与整数四则混合运算顺序相同，先算除法，再算加减；有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。2．简便计算：可灵活运用乘法交换律、结合律、分配律简化计算。【清单03】分数乘除法的实际应用（一）分数乘法的实际应用1．连续求一个数的几分之几解题思路：先求第一个量（单位“1”的几分之几），再求第一个量的几分之几（即最终要求的量），用连乘计算。2．求比一个数多（少）几分之几的数解题思路：先求多（少）的部分（单位“1”×几分之几），再用单位“1”的量加（减）多（少）的部分；或直接用单位“1”的量×（1±几分之几）。（二）分数除法的实际应用1．已知一个数的几分之几是多少，求这个数解题思路：设单位“1”的量为x，列方程几分之几已知量x×几分之几=已知量；或直接用“已知量2．工程、行程类等问题工程问题：把工作总量看作单位“1”，工作效率=工作总量÷工作时间，合作时间=工作总量÷（甲效率+乙效率）。行程问题：速度=路程÷时间，路程=速度×时间，时间=路程÷速度（分数除法同样适用）。【题型一】分数乘法的意义【例1】下图中能表示23×1【答案】B【分析】本题考查了分数乘分数的画图表示，熟练掌握分数的意义是解题的关键．将整个长方形看作单位“1”，根据分数的意义，分母表示平均分的份数，分子表示取走的份数，先选取整个长方形的23，再从选取的23中选取14，即23的【详解】解：A、表示23B、表示23C、表示14D．不能表示分数乘法算式．故选：B．【变式11】如图，用大长方形表示“1”，能正确表示图中含义的算式是（

）A．12+34 B．12-【答案】C【分析】本题考查了分数与分数的乘法，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．把大长方形看作单位“1”，平均分成2份，涂色部分占其中的1份，用分数表示为12再把涂色部分看作单位“1”，平均分成4份，斜线部分占其中的3份，用分数表示为34；那么斜线部分是大长方形的12的34【详解】用大长方形表示“1”，能正确表示图中含义的算式是12故选：C．【变式12】下列选项中，可以表示35×1【答案】A【分析】本题考查的是分数的应用，根据选项中的图示逐一分析即可．【详解】解：A、表示35B、不能表示35C、表示15D、表示35故选：A【题型二】分数乘法的计算【例2】计算625×15A．14 B．18125 C．910【答案】C【分析】本题考查了分数的乘法，熟练掌握分数的乘法法则是解题的关键．根据分数的乘法法则计算即可．【详解】解：625故选：C．【变式21】(2526六上·黑龙江绥化·开学考)直接写出得数．(1)8×316(2)311×(3)117×(4)253×(5)524×(6)2.1×37(7)56×5.4=(8)18×9×16=(9)34×817(10)0.2×14【答案】(1)1(2)6(3)9(4)20(5)1(6)9(7)4(8)18(9)16(10)1【分析】本题考查了整数与分数的乘法，分数的乘法运算及分数与小数的乘法运算，熟练掌握整数与分数的乘法及分数，分数的乘法运算及分数与小数的乘法运算是解题的关键．（1）根据整数与分数的乘法法则计算即可；（2）根据分数与分数的乘法法则计算即可；（3）根据分数与分数的乘法法则计算即可；（4）根据分数与分数的乘法法则计算即可；（5）根据分数与分数的乘法法则计算即可；（6）先将小数化为分数，再根据分数与分数的乘法法则计算即可；（7）先将小数化为分数，根据分数与分数的乘法法则计算即可；（8）先运用乘法交换律和结合律，再根据整数与分数的乘法法则计算即可；（9）根据整数与分数的乘法法则计算即可；（10）先将小数化为分数，根据分数与分数的乘法法则计算即可．【详解】（1）解：8×3故答案为：11（2）解：311故答案为：655（3）解：117故答案为：914（4）解：253故答案为：20；（5）解：524故答案为：116（6）解：2.1×3故答案为：910（7）解：56故答案为：41（8）解：18故答案为：18；（9）解：34×8故答案为：16；（10）解：0.2×1故答案为：120【变式22】我会算．(1)33×(2)5(3)13(4)25×(5)42×(6)6(7)5.6×(8)6.3×(9)5(10)3(11)7(12)9【答案】(1)9(2)10(3)39(4)20(5)27(6)9(7)6.3(8)5.6(9)1(10)4(11)1(12)5【分析】本题考查了分数的乘法，熟练掌握分数乘法法则是解题的关键（1）用整数乘分数的法则计算，先约分再乘；（2）用整数乘分数的法则计算，先约分再乘；（3）用整数乘分数的法则计算，先约分再乘；（4）用整数乘分数的法则计算，先约分再乘；（5）用整数乘分数的法则计算，先约分再乘；（6）用小数乘分数的法则计算；（7）用小数乘分数的法则计算，先约分再乘；（8）用小数乘分数的法则计算，先约分再乘；（9）用分数乘分数的法则计算，先约分再乘；（10）用分数乘分数的法则计算，先约分再乘；（11）用分数乘分数的法则计算，先约分再乘；（12）用分数乘分数的法则计算，先约分再乘．【详解】（1）解：33×3（2）解：517（3）解：136（4）解：25×4（5）解：42×9（6）解：625（7）解：5.6×9（8）解：6.3×8（9）解：58（10）解：37（11）解：76（12）解：916【题型三】倒数【例3】(2425六上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中)下列选项中的各数，倒数是它本身的是（

）A．12 B．3 C．2 D．【答案】D【分析】本题考查了倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可．【详解】解：A．12的倒数是2B．3的倒数是13，故不符合题意；C．2的倒数是12，故不符合题意；D．1的倒数是1，故符合题意；故选D．【变式31】(2324七上·四川成都石室天府中学·分班考)1.2的倒数是（

）A．1.2 B．2.1 C．56 D．【答案】C【分析】此题考查的是倒数．倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．求小数的倒数，先把小数化为分数，再运用倒数的求法解答．【详解】解：∵1.2=65，∴1.2的倒数是56故选：C．【变式32】如果x、y互为倒数，那么хy+45=()．【答案】46【分析】解：主要考查了倒数的定义，根据倒数定义，乘积是1的两个数互为倒数，进行解答即可．【详解】解：如果x、y互为倒数，那么xy=1，则хy+45=1+45=46．故答案为：46．【题型四】分数除法的计算【例4】计算35÷2A．1 B．15 C．625 D【答案】D【分析】本题考查了分数的除法，将除法转化为乘法进行计算即可求解．【详解】解：35÷2故选：D．【变式41】一个数的23是64，这个数的58是【答案】60【分析】本题考查乘除法运算，根据题意列出算式计算即可．【详解】解：64÷296×5故答案为：60．【变式42】(2425七上·黑龙江望奎县第四中学多校联考·期中(节选))直接写出得数．(1)2(2)0÷(3)1(4)3【答案】(1)1(2)0(3)3(4)5【分析】本题主要考查了分数的除法．（1）把除法转化成乘法计算即可．（2）根据0除以任何除0以外的数都为0即可得出答案．（3）把除法转化成乘法计算即可．（4）把除法转化成乘法计算即可．【详解】（1）解：25（2）解：0÷5（3）解：15（4）解：34【题型五】分数四则混合运算【例5】(2425六上·山东烟台海阳·期中)下列计算正确的是（

）A．8×34÷C．13916÷9-4【答案】C【分析】本题考查分数的混合运算，掌握运算法则先运算括号，然后运算乘除，最后加减解题即可．【详解】解：A.8×3B.12÷1C.139D.23故答案为：C．【变式51】规定一种新运算，a*b=1a×1bA．7 B．12 C．127 D．【答案】C【分析】本题考查了分数的混合运算，利用题干中的新定义进行计算即可．根据a*b=1【详解】解：13故选：C．【变式52】(2425七上·浙江湖州吴兴区湖州第二中学·开学考)计算：(1)1.25-(2)2【答案】(1)0.25(2)3【分析】本题考查分数的四则混合运算；（1）连续减去两个数等于减去这两个数的和，算式1.25-49-（2）按照运算顺序，先计算小括号，再计算中括号，最后计算除法.【详解】（1）解：1.25-=1.25-=1.25-1=0.25.（2）解：2====3.【题型六】与分数乘除法有关的应用题【例6】(2526七上·黑龙江绥化第三中学校·月考)明明看一本故事书，每天看全书的16，5天看了全书的（

A．16 B．56 C【答案】B【分析】根据分数与整数的乘法计算即可．本题考查了分数与整数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：根据题意，得16故选：B．【变式61】(2425七上·北京第二中学分校·分班考)一段路，甲需要10分钟走完，乙需要15分钟走完，甲的速度比乙的速度快（

）．A．13 B．130 C．12【答案】C【分析】本题主要考查了分数的应用，设这段路的长度为“1”，根据“速度=路程÷时间”分别计算甲、乙的速度，然后进一步求解即可．．【详解】解：设这段路的长度为“1”，则甲的速度为110，乙的速度为11====1即甲的速度比乙的速度快12故选：C．【变式62】(2425七上·陕西西安高新区部分学校·分班考)3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了13，第二只猴子吃了剩下的13,第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的1【答案】篮里原有桃子18只【分析】本题考查分数混合运算的应用．由题得第一只猴子吃了13，那么第二只猴子吃了总数的1-13×13，第三只猴子吃了总数的【详解】解：第二只猴子吃了总数的：1-1第三只猴子吃了总数的：1-1剩下6个桃子占总数的：1-1桃子的总数：6÷13=18答：篮里原有桃子18个．【题型一】倒数概念混淆归因：对倒数定义的“乘积为1”本质理解不深，忽略带分数需先化假分数、0乘任何数得0的特性。【例1】(2425六下·黑龙江大庆杜尔伯特蒙古族自治县·期末)下面描述中正确的是（

）A．1没有倒数 B．5的倒数是1C．49和59互为倒数 D．0【答案】B【分析】根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，计算解答即可．本题考查了倒数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】解：A.1的倒数是1，故A错误；B.5的倒数是15故B正确；C.49×59=20故C错误；D.0没有倒数，故D错误；故选：B．【变式11】123的倒数是（A．32 B．53 C．35【答案】C【分析】此题考查倒数的定义，先将带分数化为假分数，根据倒数定义解答即可．【详解】解：123=53所以123的倒数是故选：C．【变式12】85×()=0.75×()=1×()=11【答案】5843/1【分析】本题主要考查了倒数的认识、与倒数有关的综合计算、假分数与带分数或整数的互化、一位或多位小数化分数（约分）．两个数的乘积是1，这两个数互为倒数．分数的倒数就是将分子和分数互换位置；小数的倒数，先将小数转化为分数，再互换分数分子分母的位置；1的倒数是本身；带分数的倒数，先将带分数转化为假分数，再互换分数分子分母的位置；根据相关的法则，进行计算即可．【详解】解：0.75=311则85故答案为：58；43；1；【题型二】分数乘除法计算类错误归因：1.分数乘法约分不彻底；2.分数除法转化错误；3.混合运算顺序混乱。【例2】16的10倍是【答案】5【分析】本题考查倍数的概念，根据题意列出算式计算即可．【详解】解：1故答案为：53【变式21】90的23是()，()的35是【答案】6040【分析】本题考查了分数．求一个数的几分之几是多少用乘法；已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，据此列式计算．【详解】解：90×23=60【变式22】(2425七上·湖南长沙长郡教育集团·开学考)计算：(1)37(2)61(3)12【答案】(1)1(2)1.25(3)321【分析】本题主要考查了整数、小数的四则运算，分数的简便运算，乘法运算律，熟练掌握各运算法则是解题的关键．（1）先将百分数以及带分数进行转化，再算小括号、中括号等即可；（2）利用乘法分配律的逆运算计算即可；（3）将算式乘以“64×164【详解】（1）解：原式=====1；（2）解：原式==0.125×(=0.125×10=1.25；（3）解：原式=(=(32+48+56+60+62+63)×=321×=321【题型三】分数乘除法应用错误归因：未结合“乘法是‘求部分’，除法是‘求整体’ ”的本质，仅靠关键词记忆，忽略题目逻辑（如“的”字连接时，前为整体，后为分率，整体×分率=部分）。【例3】六年级某班共有52名同学，其中女生占全班人数的613(1)求该班女生的人数；(2)若该班男运动员的人数占男生总人数的47【答案】(1)24人(2)16人【分析】本题主要考查了分数乘法的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）用班级总人数乘以女生人数的占比即可得到答案；（2）用班级总人数减去女生人数可求出男生人数，再用男生人数乘以男运动员在男生人数中的人数占比即可得到答案．【详解】（1）解：52×6答：该班女生人数为24人；（2）解：52-24=28人，

28×4答：这个班的男运动员有16人．【变式31】(2324七上·湖北武汉第三寄宿中学·入学考)从上海开车去南京，原计划中午11:30到达，但出发后车速提高了17，11时就到了，第二天返回时，同一时间从南京出发，按原速行驶了120千米后，再将车速提高16，到达上海时恰好【答案】两地间的路程是288千米．【分析】本题考查了分数混合运算的应用，解题的关键是正确利用好单位“1”．由题意可知：去的时候，比原定时间少用12小时，原定时间：12÷17+12=4小时；回的时候，比原定时间少用13小时，120千米以后的路程，按原速度需要：1【详解】解：11点到11点半时间间隔是12原定时间：1211点10分到11点半时间间隔是20分钟，即20÷60=1按原速度需要：13原速度行驶的120千米，用时：4-7原速度：120÷53=7272×4=288（千米），故：两地间的路程是288千米．【变式32】某校六年级共有三个班，每班男女生人数均不为0．(1)一班女生比男生少4人，且男生占班级总人数的713(2)二班的女数人数占全班总人数的1225，若增加2(3)三班男生人数恰好是三个班男生人数的平均数，而三班总人数占学年三个班人数总和的926【答案】(1)一班总人数是52人；(2)二班总人数是50人；(3)三班的女生人数为27人．【分析】本题考查分数四则运算的实际应用．（1）根据题意可得一班女生占班级总人数的1-713，则女生比男生少113（2）根据题意可得增加2名女生，女生占班级总人数的12（3）由（1）（2）知一班，二班的总人数分别为52人，50人，进而求出一班男生人数为28人，二班男生人数为26人，根据第三班男生人数恰好是三个班男生人数的平均数，求出三班男生人数，再求出三班总人数为54人，即可解答．【详解】（1）解：4÷=4÷=4×13=52（人），答：一班总人数是52人；（2）解：2-1=1÷=50（人），答：二班总人数是50人；（3）解：由（1）（2）知一班，二班的总人数分别为52人，50人，则一班男生人数为52×713=28三班男生人数为28+26=81-54=27（人），三班总人数为52+50=102×=54（人），则三班的女生人数为54-27=27（人），答：三班的女生人数为27人．【题型一】分数的乘除法运算计算速通技巧：1.分数乘法“三步法”①看：观察算式类型（分数×整数/分数/小数）；②约：先约分（整数与分母、分子与分母交叉约，小数化分数后约）；③算：分子相乘作分子，分母相乘作分母，结果化简。2.分数除法“转化法”①转：将除法算式转为乘法（除以一个数=乘它的倒数）；②约：按分数乘法约分规则约分；③算：同分数乘法计算。3.混合运算“优先级标记法”①标：用“△”标乘法/除法，“○”标加法/减法；②算：先算“△”（同级从左到右），再算“○”；有括号先算括号内（括号内同样标优先级）。4.能简算的要用运算律进行简算。【例1】(2425六上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中)下列运算中，结果最小的是（

）A．29÷2 B．311×16【答案】B【分析】本题考查了分数的乘除法运算，掌握其运算法则是解题的关键．根据分数乘法，能约分的要约分，化成最简分数后，分子乘以分子作积的分子，分母乘以分母作积的分母；除以一个数等于乘以这个数的倒数，再根据分数乘法运算计算即可，最后比较大小“分子相同，分母大的数反而小”即可求解．【详解】解：A、2B、3C、2D、5∵122∴结果最小的是311故选：B．【变式11】(2425六上·黑龙江哈尔滨美佳外国语学校·期中)把13×29=【答案】2【分析】本题考查乘除互逆关系，解题的关键是掌握：乘法是除法的逆运算．据此解答即可．【详解】解：把13×29=故答案为：227【变式12】(2425六上·黑龙江哈尔滨第三十九中学校·期中)脱式计算(1)15÷(2)3(3)24×(4)1【答案】(1)15(2)2(3)21(4)1【分析】该题主要考查了分数的混合运算，解题的关键是掌握分数的混合运算法则．（1）先将除法转化为乘法，再计算乘法即可；（2）先将除法转化为乘法，再运用计算乘法运算律解答即可；（3）根据乘法分配律计算即可；（4）先计算括号，再计算除法．【详解】（1）解：15÷=15×=15×=15（2）解：3===1×=2（3）解：24×=24×=15+14-8=21．（4）解：1====1【题型二】倒数两步判断法：①看：判断是否为0（0无倒数）、1（1的倒数是1）；②算：非0非1的数，化分数后交换分子分母，验证“乘积是否为1”【例2】(2324七上·甘肃武威第九中学·开学考)a、b均为正数，若a的倒数大于b的倒数，则aA．> B．< C．= D．无法确定【答案】B【分析】根据两个不相等的正数，哪个数越大，它的倒数就越小，由此即可得出答案．【详解】解：∵a、b均为正数，若a的倒数大于∴1∴a<b，故选：B．【点睛】本题考查了倒数的认识，熟练掌握两个不相等的正数，哪个数越大，它的倒数就越小，是解此题的关键．【变式21】(2324六上·山东济南高新区·期中)下面各选项中的两个数，互为倒数的是（）A．0.4和14 B．923和923 C．32和11【答案】D【分析】本题考查的是倒数的含义，根据乘积为1的两个数互为倒数解答即可．【详解】解：0.4×14=0.1923与923不互为倒数，则112=45×5故选：D．【变式22】34与相乘等于