第三章代数式（举一反三讲义）数学人教版2024七年级上册

第三章代数式（举一反三讲义）全章题型归纳 【人教版2024】TOC\o"13"\h\u【培优篇】 2【题型1代数式的定义、书写规范】 2【题型2代数式的意义】 4【题型3列代数式】 6【题型4正/反比例关系】 8【题型5代数式求值】 10【拔尖篇】 12【题型6程序框图中求代数式的值】 12【题型7几何图形中求代数式的值】 14【题型8数式规律探究】 18知识点1用含字母的式子表示数用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，为我们今后的学习和研究带来了极大的方便．用含字母的式子表示数的书写规则：（1）字母与字母相乘时，“×”号通常省略不写或写成“⋅”；（2）字母与数相乘时，数通常写在字母的前面；（3）带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数；（4）字母与字母相除时，要写成分数的形式．（5）当式子为几个数的和或差的形式，且结果带单位时，式子整体加括号．知识点2代数式的概念用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式．单独的一个数或字母也是代数式．例如：0，a都是代数式．知识点3代数式的意义根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来，就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义．知识点4列代数式把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式．例如：用代数式表示：a与a减去b的差的商，其中运算词“差”表示的数量关系是a减去b，列成式子为ab；运算词“商”表示的数量关系是a除以“差”，即aa−b知识点5正比例关系和反比例关系1.正比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定,，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系．如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值（k是一个确定的值，且k≠0），正比例关系可以用yx=k来表示，其中2.反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用xy=k或y=k知识点6代数式的值的概念用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值．这个过程叫作求代数式的值．例如：当x=−5时，代数式(x+2)2=(−5+2)2=(−3)2知识点7求代数式的值的步骤求代数式的值有代入和计算两步．第一步：用数值代替代数式里的字母，简称“代入”．代入时，将相应的字母换成已给定的或已算出来的数值，其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变．第二步：按照代数式中给出的运算，计算出结果，简称“计算”．代入的值不同，最后计算出的结果也可能不同．【培优篇】【题型1代数式的定义、书写规范】【例1】在式子n﹣3、a2b、m+s≤2、x、﹣ah、s＝ab中代数式的个数有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】C【分析】代数式即用运算符号把数与字母连起来的式子，依据此意义求解．【详解】因为代数式即用运算符号把数与字母连起来的式子，所以n﹣3、a2b、x、﹣ah都是代数式，所以代数式的个数有4个．故选C．【点睛】考核知识点：代数式．理解代数式的意义是关键．【变式11】（2425七年级上·吉林·期中）下列书写∶①−1a；②223a2b；③5a2b3【答案】③【分析】本题考查代数式书写规范，根据数字与字母之间乘号省略不写，数字在前字母在后，分数写成假分数，多项式与单位之间要加括号逐个判断即可得到答案；【详解】解：−1a应写成−a，不符合题意，223a5ab23应写成2024×a×b应写成2024ab，不符合题意，a+3千克应写成(a+3)千克，不符合题意，故答案为：③．【变式12】下列各式中，不是代数式的是（）A．3a B．0 C．2x＝1 D．a【答案】C【分析】根据代数式的定义逐项判断．【详解】A、3a是代数式，不符合题意；B、0是代数式，不符合题意；C、2x＝1是方程，不是代数式，符合题意；D、a2故选：C．【点睛】本题主要考查了代数式的定义，正确把握代数式的定义是解题关键．【变式13】下列各式：3a，123a，b5，a×3，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据代数式的书写要求判断各个代数式即可．【详解】解：3a，b5，123aa×3应书写为32a÷b所以符合书写要求的共3个，故选：C．【点评】本题主要考查了代数式的书写，代数式的书写要求：1在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；2数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；3在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．【题型2代数式的意义】【例2】（2425七年级上·福建漳州·期中）商店对商品尾货进行亏本促销活动，促销的方法是将成本为x元的商品提价50%后标价，再以0.9x−30元的促销价出售，则下列说法中，①标价减去30元后再打9折；②标价打9折后再减去30元；③标价减去50元后再打6折；④标价打6折后再减去30元．能正确表达该商店促销方法的是【答案】③④/④③【分析】此题主要考查了代数式，成本为x元的商品提价50%后标价为1+50【详解】解：成本为x元的商品提价50%后标价为1+50①标价减去30元后再打9折，则促销价为：1.5x−30×0.9=1.35x−27≠0.9x−30故①不符合；②标价打9折后再减去30元，则促销价为：0.9×1.5x−30=1.35x−30≠0.9x−30，故②不符合；③标价减去50元后再打6折，则促销价为：1.5x−50×0.6=0.9x−30故③符合；④标价打6折后再减去30元，则促销价为：0.6×1.5x−30=0.9x−30，故④符合；综上，能正确表达该商店促销方法的是③④．故答案为：③④．【变式21】（2425七年级上·湖南常德·期末）小明根据方程5x+10x−5=400编写了一道应用题，请你把空缺的部分补充完整．甲、乙两名工人生产零件，已知甲工人每天比乙工人多生产5个零件，，请问甲工人每天生产多少个零件？（设甲工人每天生产【答案】甲工人工作5天，乙工人工作10天，共生产了400个零件【分析】本题考查了一元一次方程的应用．判断出相应的等量关系代表的实际意义是解决问题的关键．分析方程各项的意义，即可解答．【详解】解：因为设甲工人每天生产x个零件，则乙工人每天生产x−5个零件，所以方程中5x表示甲工人5天共生产零件的数量，10x−5故5x+10x−5故答案为：甲工人工作5天，乙工人工作10天，共生产了400个零件【变式22】（2425七年级上·河北石家庄·期中）甲、乙同学关于“代数式2x+y”的意义叙述，判断正确的是（

甲：x的2倍与y的和；乙：苹果每千克x元，香蕉每千克y元，苹果和香蕉各买2千克的总花费A．只有甲的正确 B．只有乙的正确C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确【答案】B【分析】本题考查了代数式的意义，根据甲、乙同学的叙述列出代数式，再进行判断即可求解，理解代数式的意义是解题的关键．【详解】解：x的2倍与y的和是2x+y，所以甲同学叙述错误；苹果每千克x元，香蕉每千克y元，苹果和香蕉各买2千克的总花费为2x+y故选：B．【变式23】（2425七年级上·山东菏泽·期中）关于代数式8x−3y表示的意义，下列说法正确的是（

）A．若x表示一支铅笔的价格，y表示一块橡皮的价格，则代数式8x−3y表示买3支铅笔和8块橡皮共花了多少钱B．若长方形的长为x，宽为8，正方形的边长为y，则代数式8x−3y表示一个长方形的面积与3个正方形的面积差C．汽车每小时行驶x千米，火车每小时行驶y千米，则代数式8x−3y表示火车行驶3小时比汽车行驶8小时少行驶的路程数D．小米每千克x元，大米每千克y元，则代数式8x−3y表示买8千克大米比买3千克小米少花的钱数【答案】C【分析】本题考查代数式的意义，理解代数式的意义是解题关键．根据代数式表示实际意义的方法逐项判断即可．【详解】解：A、若x表示一支铅笔的价格，y表示一块橡皮的价格，则代数式8x−3y表示8只铅笔比3块橡皮多花了多少钱，故本选项错误；B、若x表示长方形的长，8表示长方形的宽，y表示正方形的边长，则代数式8x−3y表示一个长方形的面积与1个正方形的三边长的差，故本选项错误；C、汽车每小时行驶x千米，火车每小时行驶y千米，则代数式8x−3y表示火车行驶3小时比汽车行驶8小时少行驶的路程数，故本选项正确；D、小米每千克x元，大米每千克y元，则代数式8x−3y表示为买8千克小米比买3千克大米多花的钱数，故本选项错误．故选：C．【题型3列代数式】【例3】（2425七年级上·福建龙岩·阶段练习）世界杯排球赛的积分规则为：比赛中以3−0（胜3局负0局）或者3−1取胜的球队积3分，负队积0分；比赛中以3−2取胜的球队积2分，负队积1分．若某球队以3−1胜了a场，以3−2胜了b场，以2−3负了c场，则这支球队的积分用多项式可以表示为．【答案】3a+2b+c【分析】本题主要考查了列代数式，根据积分规则列式即可．【详解】∵某球队以3−1胜了a场，以3−2胜了b场，以2−3负了c场，∴这支球队的积分用多项式可以表示为3a+2b+c．故答案为：3a+2b+c．【变式31】（2425七年级上·上海·期中）用代数式表示“x的213减去y的差”是【答案】7【分析】此题考查了列代数式，以及代数式的书写规范；根据题意先求倍数后求差，列出代数式，将带分数写成假分数的形式即可求解．【详解】解：用代数式表示“x的213减去y的差”是故答案为：73【变式32】（2025·陕西咸阳·模拟预测）九连环作为一种中国传统民间玩具，是由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成，其俯视图可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环，如图所示，若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为a，一个圆环的直径为b，则整个九连环的宽度可以表示为．（用含a，b的代数式表示）【答案】9b−8a【分析】本题考查图形规律类，熟练掌握重叠后长度，重叠部分长度，并排长度的关系是解题的关键．用九个圆环的长度减去重叠的部分的长度即可．【详解】解：整个九连环的宽度可以表示为9b−8a．故答案为：9b−8a．【变式33】（2425七年级下·全国·假期作业）学校报告厅第一排有a个座位，第二排有a+2个座位，第三排有a+4个座位，后面每一排比前面一排多2个座位．第n排有（）个座位．A．a+2n B．a+2n−1 C．2n D．a+2n+2【答案】B【分析】依题意，电影院第一排有a个座位，第n排与第一排相差n−1排，又后面每排比前排多2个座位，所以第n排比第一排多的座位为：2(n−1)，即可作答；本题考查规律的使用，关键在规律的总结和巧妙使用，此处重在归纳总结；【详解】解：由题知，电影院第一排有a个座位；又后面每排比前排多2个座位；第n排与第一排相差：n−1排，∴第n排比第一排多的座位为：2(n−1)；∴第n排的座位为：a+2(n−1)；故选：B【题型4正/反比例关系】【例4】（2425七年级上·广东肇庆·期中）下列说法不正确的是（）A．工作效率一定，工作总量与工作时间成反比例关系B．圆柱的体积一定，它的底面积与高成反比例关系C．速度一定，路程与时间成正比例关系D．单价一定，总价与数量成正比例关系【答案】A【分析】本题考查了正比例和反比例，两个量比值一定成正比例，乘积一定成反比例，据此判断即可求解，理解定义是解题的关键．【详解】解：A、工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例关系，该选项说法错误，符合题意；B、圆柱的体积一定，它的底面积与高成反比例关系，该选项说正确，不合题意；C、速度一定，路程与时间成正比例关系，该选项说正确，不合题意；D、单价一定，总价与数量成正比例关系，该选项说正确，不合题意；故选：A．【变式41】（2425七年级上·吉林·期末）复兴号动车在吉长城际铁路运行，在吉龙段（吉林到龙嘉）和龙长段（龙嘉到长春）的预定速度分别是158km/h，130(1)动车在吉龙段行驶t h的路程是________km(2)随着技术创新，动车的速度不断被刷新，当动车在龙长段行驶的速度提升到v km/h时，用含v(3)吉长城际铁路总里程约为111km，一动车11:00从吉林站出发，按照预定速度到达龙嘉站停留1分钟时，接到通知，需在11:45【答案】(1)158t，正(2)32v(3)7【分析】本题主要考查列代数式，代数式求值以及判断比例关系，有理数的四则混合运算的应用，能根据题意列出代数式是解答本题的关键．（1）根据路程=速度×时间进行求解，再判断动车在吉龙段行驶的路程与时间成正比例关系．；（2）根据时间=路程÷速度进行求解，再判断动车在龙长段行驶的时间与动车的速度成反比例关系；（3）先求出动车到达龙嘉站所用的时间，再用龙长段的路程除以它的行驶时间得出它的速度，最后再减去原来的速度即可求出答案．【详解】（1）解：动车在吉龙段的速度是158km动车在吉龙段行驶t h的路程是158t∴动车在吉龙段行驶的路程与时间成正比例关系．（2）解：动车在龙长段行驶的速度提升到v km则行驶时间为32v∴动车在龙长段行驶的时间与动车的速度成反比例关系．（3）解：动车到达龙嘉站所用时间为111−32158在龙长段行驶的速度提升了32则该车在龙长段行驶的速度提升了7km【变式42】（2425七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）判断反比例关系：下列各组的两个变量间成反比例关系的是（填序号）．①销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系；②等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长；③三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高；④圆的周长与它的半径．【答案】③【分析】本题考查反比例关系，解题的关键是掌握两个变量的乘积一定时，这两个变量成反比例关系；根据成反比关系的定义逐项判断即可．【详解】解：销售单价一定时，销售总价与销售数量成正比例关系，故①不符合题意;等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长不成反比例关系，故②不符合题意；三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高成反比例关系，故③符合题意；圆的周长与它的半径成正比例关系，故④不符合题意；故答案为：③.【变式43】（2425七年级上·青海西宁·期中）某电路的电源电压U（单位：V），电阻R（单位：Ω），电流I（单位：A）三者之间的关系为U=IR，且电源电压U恒定不变，则电阻R和电流I两个量成关系（填“正比例”或“反比例”，根据下表，“△”处应填．R（单位：Ω）100110△I（单位：A）2.222.5【答案】反比例88【分析】本题考查反比例关系的应用，掌握知识点是解题的关键：（1）根据反比例关系的定义判断即可；（2）利用R=100,I=2.2，求出U的值，可得R，I的关系，再将I=2.5代入，即可解得．【详解】解：由U=IR得R=U∴当电源电压U恒定不变，则电阻R和电流I两个量成反比例关系．将R=100,I=2.2代入R=U100=解得U=220，∴R=220当I=2.5时，R=220故答案为：反比例，88．【题型5代数式求值】【例5】如果代数式−2a2+3b+8的值为1，那么代数式4A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．先根据题意得到2a2−3b=7【详解】解：∵−2a∴2a4a将2a2−3b=7故选：B．【变式51】（2526七年级上·全国·周测）小明在计算41−N时，误将“−”看成“+”，结果得13，则41−N的值为（

）A．−28 B．32 C．69 D．−54【答案】C【分析】本题主要考查了代数式求值，根据错误算法求出N的值是解题的关键．先根据错误算法求出N的值，然后再代入进行正确计算．【详解】解：小明误将“−”看成“+”，得到错误等式：41+N=13解得：N=13−41=−28∴41−N=41−故选：C．【变式52】（2425七年级上·广东东莞·期末）若3−m2+n+2=0，则A．17 B．−17 C．1 D．−1【答案】C【分析】本题考查代数式的求值、平方和绝对值的非负性，会利用非负数的性质求解是解答的关键．根据平方和绝对值的非负性求得m、n的值，再代值求解即可．【详解】解：∵3−m2+n+2=0，∴3−m=0，n+2=0，解得m=3，n=−2，∴m2故选：C．【变式53】（2425七年级上·河北邯郸·期末）数学家欧拉最先用fx来表示关于x的多项式．如对于fx=x+1：当x=−2时，则f−2=−2+1，当x=a时，则fa=a+1．若规定fx=x+3，下列结论中：①f−1=2；②A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】本题考查代数式求值，①将x=−1代入fx=x+3，可求解；②根据题意得到方程x+3=4，解方程即可求解；③将x=−3【详解】解：∵fx∴①f−1②若fx=4时，即整理得x=1∴x=±1，故②正确；③当x=−3时，7−f综上，①②③都正确，不正确的有0个．故选：A．【拔尖篇】【题型6程序框图中求代数式的值】【例6】（2425七年级上·福建福州·期中）远古时期，人们通过绳子打结的方式来记录数量，如图1为一队互相合作打猎的猎人在从右往左依次排列的绳子上打结，满五进一，记录了他们一天之内所打的猎物数量．若把这个量的十进制数输入如图2的程序计算，则最后输出的结果是．【答案】21【分析】本题考查有理数的乘方运算以及代数式求值，先根据图1，得出x=2×5【详解】解：依题意，x=2×∴51−10=41>3041−10=31>3031−10=21<30输出21故答案为：21．【变式61】（2425六年级下·山东泰安·期末）如图，关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为2，则最后输出因变量y的值为A．3 B．8 C．63 D．64【答案】C【分析】本题考查按照程序流程图与代数式求值．根据程序流程图，按照要求，当开始输入的x值为2时，代入y=x+1x−1=【详解】解：由题意可得，当x=2时，y=x+1当x=3时，y=x+1当x=8时，y=x+1∴输出y=63，故选：C．【变式62】（2425七年级上·四川达州·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2025次输出的结果是（

）A．8 B．4 C．2 D．5【答案】B【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题目所给运算程序，先计算出前几次输出结果，得出一般规律：从第3次开始，输出结果每3次按照4，2，1的顺序循环，即可解答．【详解】解：根据题意可得：第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，第4次输出的结果是12第5次输出的结果是12第6次输出的结果是3×1+1=4，第7次输出的结果是2，第8次输出的结果是1，第9次输出的结果是4，……，从第3次开始，输出结果每3次按照4，2，1的顺序循环，2025−2÷3=674…1∴第2025次输出的结果是第675次循环中的第1个数，∴第2025次输出的结果为4，故选：B．【变式63】（2025·四川达州·二模）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为5，则输出y值为．【答案】13【分析】本题考查了代数式求值，读懂运算程序图是解题关键．根据5>4和运算程序图，将x=5代入y=2x+3计算即可得．【详解】解：∵5>4，∴若开始输入x的值为5，则输出y值为2×5+3=13，故答案为：13．【题型7几何图形中求代数式的值】【例7】（2425七年级上·贵州遵义·期中）下列四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（

）A．ab−(a−2)(b−3) B．2b+3(a−2)C．2(b−3)+3(a−2)+6 D．3a+2(b−2)【答案】D【分析】本题考查了正方形和长方形面积、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．结合题意，根据正方形和长方形面积、代数式的性质计算，即可得到答案．【详解】解：如图，阴影部分的面积可以看作是长a，宽为b的长方形的面积减去长a−2，宽为b−3的长方形的面积，即ab−a−2阴影部分的面积可以看作是长2，宽为b−3的长方形的面积加上长3，宽为2的长方形的面积加上长a−2，宽为3的长方形的面积，即2(b−3)+3(a−2)+6，故C选项正确，不符合题意；阴影部分的面积可以看作是长b，宽为2的长方形的面积加上长a−2，宽为3的长方形的面积，即2b+3(a−2)，故B选项正确，不符合题意；阴影部分的面积可以看作是长2，宽为b−3的长方形的面积加上长a，宽为3的长方形的面积，即3a+2(b−3)，故D选项错误，符合题意；故选：D【变式71】（2425七年级上·河北邯郸·期末）如图所示是一个长方形．（1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S=；（2）若x=4，求S的值．【答案】18+3x30【分析】本题考查了代数式表示，求代数式的值．（1）根据图形的面积分割法，列出代数式表示阴影的面积即可．（2）根据字母的值，求代数式的值即可．【详解】（1）解：S=1故答案为：18+3x；（2）解：当x=4时，S=18+3×4=30，故答案为：30．【变式72】（2425七年级上·全国·期末）如图，7个完全相同的小长方形刚好拼成一个大长方形，若小长方形的宽为a，则大长方形的周长是．【答案】38【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算的应用，根据小长方形的宽为a，则小长方形的长为43a，结合大长方形的拼组方式，可用含a的代数式表示出大长方形的长与宽，即可得出结论．根据各数量之间的关系，用含【详解】解：∵小长方形的宽为a，则小长方形的长为43∴大长方形的长为4a，大长方形的宽为：43∴24a+∴大长方形的周长是383故答案为：383【变式73】（2425七年级下·河南郑州·期中）如图是L形钢材的截面，5个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（

）①ac−b−cc；②a−cc+bc；③a−cc+A．①②③ B．②③⑤ C．③④⑤ D．①②③④⑤【答案】B【分析】本题主要考查了列代数式，分解析图中五种情况，分别列式求出L的面积即可得到答案．【详解】解：①如图，L的面积=左边竖着的长方形的面积+下面横着的长方形的面积=ac+b−cc，故②如图，L的面积=上边竖着的长方形的面积+下面横着的长方形的面积=a−cc+bc，故③如图，L的面积=两个长方形的面积+小正方形面积=a−cc+b−c④如图，L的面积=竖着的长方形的面积+横着的长方形的面积−重叠部分的正方形的面积=ac+bc−c2，故⑤如图，L的面积=长方形的面积−由辅助线构成的小长方形的面积=ab−a−cb−c，故综上可得：②③⑤正确，故选：B．【题型8数式规律探究】【例8】（2425七年级上·贵州·期末）下列图案是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为（

）．A．2n+1 B．2n+2 C．3n+1 D．3n+2【答案】D【分析】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．观察图形可知第一个图案为3+2=5个窗花；第二个图案为2×3+2=8个窗花；第三个图案为3×3+2=11个窗花；……由此得到：第n个图案所贴窗花数，即可求解．【详解