专题31概率的进一步认识（全知识梳理题型精析练习）基础知识专项突破讲练（原卷版）

专题3.1概率的进一步认识（全知识梳理+题型精析+同步练习） 目录TOC\o"12"\h\u一.知识梳理与题型精析 1知识点（一）列举法求概率 1【题型1】列举法求概率 1知识点（二）用树状图或列表法求概率 2【题型2】用树状图或列举法求概率 2知识点（三）游戏的公平性 3【题型2】用树状图或列举法求概率 3【题型3】用树状图或列举法求概率判断游戏的公平性 4知识点（四）几何概率 4【题型4】求几何概率 4知识点（五）用频率估计概率 5【题型5】求某事件的频率 6【题型6】用频率估计概率 6【题型7】用频率估计概率的一些综合应用 7二．同步练习​ 81.基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 82.能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 11一.知识梳理与题型精析知识点（一）列举法求概率解题步骤：1.

明确试验与事件：确定具体的试验，定义所求概率的事件A；2.

列举所有的等可能结果：用适合的方法列出全部结果，确定无重复、无遗漏；3.

筛选所有等可能结果；4.

代入公式计算.【题型1】列举法求概率【例题1】（2526九年级上·广东深圳·阶段练习）随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（

）A．1 B． C． D．【变式1】（2526九年级上·全国·课后作业）如图，从一副扑克牌中取出两组牌，分别是方块1，2，3和红桃1，2，3（A看成1），将它们的背面朝上分别重新洗牌后，再从两组牌中各摸出一张．（1）用列举法列举出所有可能出现的结果．（2）求摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的概率．知识点（二）用树状图或列表法求概率解题步骤：1、明确试验与事件确定试验类型，定义所求概率的事件，判断试验是否为“等可能结果”；2、选择方法并列举所有结果两步试验选树状图或表格，三步及以上优先树状图，确保结果不重不漏，记总结果数为；3、筛选事件的符合结果从所有结果中找出满足事件的结果，统计其个数为；4、代入公式计算概率根据概率定义：P（A）=mn【题型2】用树状图或列举法求概率【例题2】（2425九年级上·甘肃武威·期末）如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1、2、3，那么从每组牌中各摸出一张牌．（1）摸出两张牌的数字之和为4的概率为多少？（2）摸出两张牌的数字相等的概率为多少？【变式1】（2025·河北沧州·模拟预测）在一个不透明的箱子中放有2个白球和2个黑球，小球除颜色不同外其余都相同．（1）从该箱子中随机摸出一个球，摸出白球和摸出黑球的概率是否相同？______（填“是”或“否”）；（2）嘉嘉说：从该箱子中摸出一个球后不放回，摇匀后再从中摸出一个球，摸出一白一黑的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同．淇淇说：从该箱子中摸出一个球记下颜色后放回，摇匀后再从中摸出一个球，摸出一白一黑的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同．请选择其中一人的说法，判断其说法是否正确并说明理由．【变式2】（2526九年级上·江苏苏州·阶段练习）目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____；（2）该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）；（3）将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率．【归纳小结】1.用画树状图或列表的方法求概率：列表法可以不重复、不遗漏地列出所有可能性的结果，适合于两步完成的事件；2.树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题时还要要点提醒题目是放回事件还是不放回事件．知识点（三）游戏的公平性【题型2】用树状图或列举法求概率1.若某游戏不计得分情况，当双方获胜的概率相同，则游戏公平；当双方获胜的概率不相同，则游戏不公平．2．判断游戏公平的方法有：（1）在得分相同的情况下，判断游戏公平性看双方获胜的概率是否相等．（2）在得分不同的情况下，要用各自获胜概率与得分乘积作为判断获胜的标准．【题型3】用树状图或列举法求概率判断游戏的公平性【例题3】（2025·河南·模拟预测）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（）B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜；C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜；D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜．【变式1】（2425七年级下·广东揭阳·期中）小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？（填公平或不公平）获胜的概率大，概率是．【变式2】（2526九年级上·云南·阶段练习）在全市中学生足球联赛半决赛中，红星中学队与阳光中学队争夺决赛名额．为决定优先发球权，裁判设计规则如下：准备两个不透明箱子，箱中放标有数字，，的三张卡片，箱中放标有数字，的两张卡片．红星中学队从箱中随机抽取一张卡片，记抽到卡片上的数字为；阳光中学队从箱中随机抽取一张卡片，记抽到卡片上的数字为．若与的和为奇数，则红星中学队获得优先发球权；否则由阳光中学队获得优先发球权．（2）请问裁判设计的规则公平吗？请通过计算说明理由．知识点（四）几何概率几何概率一般包括：几何角度概率计算；几何面积概率计算；线段长度的概率计算；【题型4】求几何概率A． B． C． D．【变式2】（2425七年级下·辽宁朝阳·期末）如图是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）．（1）这个图形（填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有条对称轴，并在图中画出所有的对称轴；（2）一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率．（3）请你设计一个与问题2概率相同的游戏．知识点（五）用频率估计概率频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数，频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个时间发生的可能性大小的数值。必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；不确定事件发生的概率在0与1之间。频率与概率的含义把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率。【题型5】求某事件的频率【例题5】（2324八年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是．【变式2】（2425七年级下·陕西咸阳·期末）现有两根长度分别为5，8的木棒，小亮想通过转盘游戏来获取第三根木棒．他准备了一个均匀的转盘，被平均分成6等份，分别标有木棒的长度：2，3，5，8，10，12．小亮转动转盘一次，停止后，指针指向的数字即为第三根木棒的长度（若指针指向分界线，则重新转动）．（1）若小亮转动转盘60次，发现转出的木棒长度小于5的结果出现了19次，求转出的木棒长度小于5的频率；（2）求小亮获取的第三根木棒和现有的两根木棒能组成三角形的概率．【题型6】用频率估计概率【例题6】（2526九年级上·甘肃天水·期中）一个布袋里装有只有颜色不同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是．（1）求布袋中红球的个数．（2）若从布袋中一次性摸出2个球，则都是红球的概率是多少？【变式1】（2021七年级下·江苏南通·期末）为了估计一个鱼池中鱼的条数，采用了如下方法：先从鱼池的不同地方捞出40条鱼，给这些鱼做上记号后放回鱼池，过一段时间后，在同样的地方捞出200条鱼，其中有记号的鱼有8条．请你估计鱼池中鱼的条数约为条．A．10个 B．20个 C．30个 D．40个【题型7】用频率估计概率的一些综合应用【例题7】（2526九年级上·全国·课后作业）投针试验试验次数n255075100125150175200225250…相交次数m…相交频率…【变式1】（2023·湖南长沙·二模）在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（

）A．80个 B．75个 C．70个 D．60个二．同步练习​1.基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题）一、单选题A． B． C． D．2．（2526九年级上·陕西西安·阶段练习）最美的长安都写在唐诗里．将分别标有“最”、“美”、“长”、“安”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，则两次摸出的球上的汉字组成“长安”的概率是（

）A． B． C． D．3．（2425八年级上·陕西咸阳·开学考试）如图所示，转盘被等分成4个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、5，若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是（

）A． B． C． D．4．（2425九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（

）A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利C．对小明有利 D．游戏公平5．（2024·湖南长沙·模拟预测）“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（

）A． B． C． D．6．（2526九年级上·陕西渭南·期中）一个不透明的布袋中装有若干个白球和5个黑球，它们除颜色不同外其他都相同，将布袋中的小球搅匀后，从中随机摸出一球，记下其颜色，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了次，其中有次摸到了黑球，估计口袋中白球的个数为（

）A．10 B．15 C．20 D．257．（2526九年级上·四川成都·阶段练习）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（

）次数1002003004005006007008009001000频率0.600.450.550.470.480.520.510.490.500.50A．不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球B．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2”C．掷一枚一元的硬币，正面朝上D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5二、填空题8．（2526九年级上·广东佛山·阶段练习）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，先后摸出两个小球（每次只摸出一个球，第一次摸出后放回），摸出的两球上金额的和为50元的概率是．9．（2526九年级上·重庆·期中）某中学运动会设置了跑步、跳远和跳绳三个参赛项目，学生可随机选择其中一个项目报名参加．现甲、乙两名同学分别从这三个项目中随机选取一个报名参加，他们同时选中跑步项目的概率是．11．（2526九年级上·陕西西安·阶段练习）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据，估计任意抛掷一枚图钉：钉尖朝上的概率约为．（结果精确到0.1）重复试验次数1050100500100020005000钉尖朝上次数51536200403801200112．（2024·山西·模拟预测）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，四个扇形的面积都相等，且分别标有，，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止．明明和亮亮两人用如图所示的转盘做游戏，两人各转动转盘一次，转盘停止后记下指针指向的数字．如果两人转得的数字之和为奇数，则明明胜；如果两人转得的数字之和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（填“公平”、“对明明有利”或“对亮亮有利”）．三、解答题13．（2025·江苏南京·一模）从一副扑克牌中选取7张牌，分成左右两堆．左边四张牌的牌面数字分别是3，4，5，6，右边三张牌的牌面数字分别是3，4，5，将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上．（1）从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是；（2）从两堆牌中各随机抽取一张牌，求抽出的两张牌数字相同的概率．14．（2526九年级上·全国·单元测试）（1）一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，求最终停在阴影方砖上的概率；15．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．（1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；（2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．16．（2526九年级上·河南濮阳·阶段练习）某校在新冠疫情期间，开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种，为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取人调查学习参与度，数据整理结果如下表（数据分组包含左端值不包含右端值）．录播7直播6（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由．（2）从选择直播的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在及以上的概率是多少？能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）一、单选题1．（2025·湖北武汉·模拟预测）的大正方形图案由9个全等的小正方形拼图组成，从中随机取出两块，剩余部分组成的图形是轴对称图形的概率是（

）A． B． C． D．2．（2526九年级上·辽宁朝阳·阶段练习）质地均匀的一个红球和一个白球随机放入三个不同的盒子中，则恰好有一个盒子为空的概率为（

）A． B． C． D．A． B． C． D．A． B． C． D．5．（2425九年级下·全国·期末）李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（

）A．转动转盘后，出现比5小的数B．转动转盘后，出现奇数C．转动转盘后，出现能被3整除的数D．转动转盘后，出现能被5整除的数6．（2425九年级上·山西长治·期末）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（）A． B． C． D．二、填空题7．（2526九年级上·重庆·阶段练习）有五双大小均不相同的手套分别按照左右放在甲、乙两个口袋里面，甲口袋里面全部是左手套，乙口袋里面全部都是右手套，小明从甲、乙两个口袋里面分别任意抽取一只手套，恰好配成大小相同一套的概率是．8．（2223九年级下·山东·自主招生）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567）等．在某次数学趣味活动中，小明需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，则抽取的“三位递增数”不能