专题17整式的乘法（原卷版）

专题17整式的乘法（重难点题型专训）【知识考点整式的乘法】【解题知识必备】1.单项式与单项式相乘（1）法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）注意：①系数：积的系数等于系数的积；②相同字母：相同字母的幂相乘；③单独字母：连同它的指数作为积的一个因式．2.单项式与多项式相乘（1）法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.（2）用式子表示：p(a+b+c)=pa+pb+pc（3）注意：①依据是乘法分配律；②积的项数与多项式的项数相同；③在做乘法运算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要乘错。3.多项式与多项式相乘（1）法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.（2）用式子表示：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn（3）注意：①不要漏乘；②符号问题；③最后结果应化成最简形式(是同类项的要合并).4.同底数幂的除法（1）法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．（2）用式子表示：am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n都是正整数，m＞n）．（3）同底数幂的除法性质的推广：三个及以上的的同底数幂相除，即am÷an÷ap＝amnp（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m＞n+p）．（4）同底数幂除法性质的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整数）．（5）注意：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．5.零指数幂的意义（1）性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即：a0=1(a≠0).（2）注意：①只有当底数不为零时，它的零次幂才等于1.②底数a可是单项式，也可以是多项式，但不能为0.6.单项式除以单项式（1）法则：单项式相除,把系数与同底数的幂分别相除作为商的因式；对于在被除式里含有的字母，则连它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除以单项式分为三个步骤：①把系数相除，所得结果做为商的系数；②把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式；③把只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式.7.多项式除以单项式（1）法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．（2）用式子表示：(am+an)÷m=am÷m+bm÷n=a+b．（3）注意：①应用法则就是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式．②计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.③计算时不要漏项，多项式除以单项式的结果是一个多项式，其项数与被除式的项数相同．【重难点常考题型梳理】【题型01】单项式乘以单项式的有关运算【题型02】单项式乘以多项式的有关运算【题型03】多项式乘以多项式的有关运算【题型04】同底数幂除法的有关运算及逆用【题型05】零指数幂法则的有关运算【题型06】单项式除以单项式的有关运算【题型07】多项式除以单项式的有关运算【题型08】多项式乘积中不含某项的求值问题【题型09】整式乘法中的规律问题【题型10】整式乘法中的化简求值【题型11】整式乘法的实际应用【题型12】整式的混合运算【特训13】综合强化提升【特训14】直通中考真题【题型01】单项式乘以单项式的有关运算【例1】（20252026八年级上·全国·课后作业）计算：A．12 B．9 C．6 D．3【变式13】（20242025八年级上·湖北宜昌·阶段练习）计算：-2a【题型02】单项式乘以多项式的有关运算A．3 B．2 C．1 D．0【变式22】（20242025七年级下·四川成都·期末）若规定符号abcd的意义是：abcd=ad-bc【变式23】（20242025八年级·黑龙江绥化·期中）计算：【题型03】多项式乘以多项式的有关运算【变式31】（20242025八年级上·河南周口·期末）若122x+1x+4=x【变式32】（20242025七年级下·四川成都·期末）小明在数学综合实践课后，设计了以下运算xymn=xn-ym,‖x,y‖=3(x-y)．若M=a-2b  2a-ba+2b  -a-2b【变式33】（20252026八年级上·全国·随堂练习）计算：【题型04】同底数幂除法的有关运算及逆用A． B． C． D．【变式42】（20242025七年级下·江苏南京·阶段练习）已知10x=50,10y=12，则x-y【变式43】（20242025八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知3a=4，3b(1)求3a+b(2)求32a【题型05】零指数幂法则的有关运算A．0 B．1 C．－1 D．不能计算【变式53】（20242025八年级上·江苏南京·阶段练习）计算：【题型06】单项式除以单项式的有关运算【例6】（20242025八年级上·青海海北·期末）已知-5am+1b2n-1÷a3A．m=3，n=-1 B．m=1，n=4C．m=3，n=8 D．m=3，n=2【变式61】（20242025八年级上·河南周口·阶段练习）已知2m3na2【变式63】（20242025八年级上·广东东莞·期末）某科技馆中“数理世界”展厅的WiFi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是．账号：shulishijie密码：前四位：SLSJ后四位：？xxx【题型07】多项式除以单项式的有关运算【例7】（20252026八年级上·全国·课前预习）计算：【变式71】（20242025七年级下·河南郑州·阶段练习）已知xn+a+xn+b÷xn+1=A．-1 B．0 C．1 D．-1或1【变式73】（20242025八年级上·吉林通化·阶段练习）【题型08】多项式乘积中不含某项的求值问题【题型09】整式乘法中的规律问题(2)根据你的猜想，计算：【变式92】（20252026八年级上·山西长治·阶段练习）综合与实践数学活动探究日历中的数学规律．．．．．．(1)分别写出等比数列1，2，4，8的“2级等比数列”和“3级等比数列”；(2)若等比数列：，，，，．①求该等比数列的所有数之和．【题型10】整式乘法中的化简求值【例10】（20242025八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）先化简再求值：(x+2y)(2x+y)-(3x-y)(x+2y)，其中【变式101】（20242025七年级下·湖南娄底·期末）若a2+7a=5，则2a+1a+3-A．17 B．-1 C．5 D．11【题型11】整式乘法的实际应用【例11】（20242025八年级上·四川绵阳·期末）如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的．(1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积；(2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积．【变式111】（20242025七年级下·浙江衢州·期末）如图，将边长分别为2，3，5的正方形GBIR，AFNE，CJQH放置在长方形ABCD内，阴影部分的面积分别为S1，S2，若【变式112】（20242025七年级下·河北石家庄·期末）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为3a+2b米，宽为2a+b米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路．(1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式）(2)若a=4,b=2，求这两条小路的总面积．的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．【题型12】整式的混合运算【例12】（20242025八年级上·江苏南通·阶段练习）计算：【变式121】（20242025七年级下·辽宁沈阳·期中）计算：(1)1(2)4a【变式122】（20242025七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知A，B均为整式，A=xy+1xy-1-2x2y2-xy+1小马在计算(1)求A÷B的正确结果；(2)当xy=2时，求A÷B的值．【变式123】（20252026八年级上·全国·课后作业）计算：(1)-3(2)-4a(3)x-(4)-4a【特训13】综合强化提升1.（20242025七年级下·陕西西安·期中）若2x-3ymx-ny=9y2-4A．-25 B．-1 C．1 D．252.（20242025七年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形ABCD和长方形EFGH的面积相等，点E，F分别在边AB，BC上，FG过点D，连接DH，△DGH的面积为1．若记AE长为x，CF长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（

）A．x+y B．xy C．x2+3.（20242025七年级下·重庆·期中）若a2-3a-2=0，则a4.（20242025七年级下·江苏苏州·期中）聪聪计算一道整式乘法的题：x+m5x-4，由于聪聪将第一个多项式中的“+m”抄成“-m”，得到的结果为5x25.（20242025七年级下·河南郑州·期中）小郑用6个长为m，宽为n的小长方形按如图方式不重叠放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，其面积分别表示为S1，S2，且S=S1-S26.（20242025七年级下·江苏苏州·期中）若等式x-s3x+t=3x2+mx-n恒成立，无论t7.（20242025七年级下·四川成都·期中）已知代数式mx2+2x与x2+3nx+2积是一个关于x的三次多项式，且化简后含8.（20242025八年级·全国·假期作业）已知单项式-2x3m-1y2n-3和7x(1)求的值．12.（20242025七年级下·山东菏泽·期末）已知关于x的代数式x+2mx2-x+1(1)求m，(2)求代数式m202513.（20242025八年级上·甘肃平凉·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：x+a2x+b，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2-7x+3(1)求-2a+b(2)请计算这道题的正确结果．14.（20242025七年级下·辽宁本溪·期末）已知x-2x2+mx+1(1)求m的值；(2)在（1）的条件下，求m+1m(3)计算100-110015．（20242025七年级下·江苏无锡·阶段练习）先阅读材料，再解答问题：例：已知x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，试比较解：设123456788=a，则x=(a+1)(a-2)=a∵x-问题：已知x=20242024×20242028-20242025×20242027，16.（20242025七年级·湖南长沙·期中）【概念学习】我们规定两数a、b之间的一种运算，记作a,b：如果ac=b，那么a,b=c；例如2【初步探究】（1）根据以上规定求出：4,64=；2024,1=【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有ax例如24（2）小明发现5,3+设：5,3=x,5,4因为5x⋅5y=根据以上证明，请计算2024,6+（3）猜想4,14-17．（20242025八年级上·福建泉州·期末）某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释．(2)小组成员发现可利用（1）的结论解答下列问题：18.（20242025八年级上·吉林·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和．事实上，这个三角形给出了(a+b)n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2=(1)计算：(a+b)0=(2)若(a+b)4=a4+m