直线、平面平行的判定及性质（讲）-高考数学一轮复习（新高考）解析版

专题8.4直线、平面平行的判定及性质

1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和

新课程考试要求性质定理；

2.掌握公理、判定定理和性质定理.

核心素养本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等.

（1）以几何体为载体，考查线线、线面、面面平行证明.

（2）利用平行关系及平行的性质进行适当的转化，处理综合问题.

（3）空间中的平行关系在高考命题中，主要与平面问题中的平行、简单几何体的结构

考向预测特征等问题相结合，综合直线和平面，以及简单几何体的内容于一体，经常是以简单几

何体作为载体，以解答题形式呈现是主要命题方式，通过对图形或几何体的认识，考查

线面平行、面面平行的判定与性质，考查转化思想、空间想象能力、逻辑思维能力及运

算能力.

【知识清单】

知识点1.直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

a—b-a----------

图形口n//

“〃a,au

条件aC\a=0aua,Ma,ailba//a

aC8=b

结论ab//aaOa=0a//b

知识点2.面面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

zf_//B才涉4箸/

图形

aU/3,Zxzfi,b=P,。〃£,aC\y=a,

条件an8=0a〃£,auB

alla,b//aBriy=b

结论a//a//Pa/!ba//a

知识点3.线面、面面平行的综合应用

1.平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况.

2.直线和平面平行的判定

(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；

(2)判定定理：aQa,bua、且

⑶其他判定方法：。〃£；a。=石〃?.

3.直线和平面平行的性质定理：a〃a,au£,aClB=S.

4.两个平面平行的判定

(D定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；

(2)判定定理：aua,bua,aCb=M,a〃£,b〃Bna〃B•、

(3)推论：aCb=M,a,bua,或Cb'="，或，b'u8,a/Za1,b//b'=a〃£.

5.两个平面平行的性质定理

⑴。〃万，aa=aH

(2)。〃£,/Aa=gt/n=b=>a//b.

6.与垂直相关的平行的判定

(l)a±a,a=a〃加

(2)a_La,a_L(3—>a〃B.

【考点分类剖析】

考点一：直线与平面平行的判定与性质

【典例I](2021•江苏省镇江中学高一月考)“直线/与平面。无公共点”是“直线/在平面。外”的条

件(.从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、”既不充分也不必要''中选一个合适的填空)

【答案】充分不必要

【解析】

根据线面间得位置关系及充分性和必要性得定义即可得解.

【详解】

解：因为直线/与平面。无公共点，则直线/在平面。外，所以夯分性成立，

乂因直线/在平面。外，则直线/与平面。相交或平行，即直线/与平面。有一个公共点或无公共点，所以必

要性不成立，

所以“直线/与平面a无公共点”是，直线/在平面。外”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

【典例2】(2020・临猗县临晋中学月考(文))如图，已知四棱锥P—A3CO,底面四边形A8CO为菱形,

AB=2,BD=2#),M.N分别是线段期.PC的中点.

（1）求证：〃平面ASCZ）；

（2）求异面直线MV与3（7所成角的大小.

【答案】（1）见解析；（2）60°

【解析】

（1）解・：连接HC交3D于点O，•・・"八,分别是线段P4尸C的中点,

・,・戏畿％T.

•••MVZ平面ABC。，HCu平面A8CO

SfX平面A8CO.

（2）解：由（1）知，438就是异面直线J£V

与5c所成的角或其补角.

•・•四边形ABC力为菱形，＜3=3BD=1小

•••在Rt^SOC中，BC=1,3。=/，••・心的'=就妒，

・•・异面直线SIX与BC所成的角为60°.

【规律方法】

判断或证明线面平行的常用方法：

利用线面平行的定义，一般用反证法；

利用线面平行的判定定理（M。，ka,allHl其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平

行,讦明时注意用符号语言的叙达：）

2.（2019•江西高考模拟（文））已知空间几何体A8CDE中，MCD与△COE均为边长为2的等边三角形,

A48C为腰长为JI5的等腰三角形，平面。。七_1_平面3cO,平面43C_L平面BCD.

（1）试在平面8c。内作一条直线，使直线上任意一点/与A的连线A厂均与平面CDE平行，并给出详

细证明

（2）求点3到平面AEC的距离

【答案】（1）见解析；（2）生画

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【解析】

如图所示:取BC和BD的中点H、G,连接HG,HG为所求直线,

证明如下：因为BC和BD的中点H、G,所以HG//CD,

又平面CDE平面BCD，且EO1CD:.EO平面BCD

又平面ABC1平面BCD.AHIBC,得AH±平面3cO,

所以EO//A”，即A"//平面CO£

所以平面4〃G//平面COE,所以直线HG上任意一点”与A的连线AF均与平面COE平行.

由（1）可得EO//AH,即成7/7平面ABC

所以点E到平面ABC的距离和点0到平面ABC的距离相等，记为d=-DH=—

22

三角形ABC的面积S=Lx2xJii=26

2

而三角形ACE的面积5；=1x屈速=叵

1224

用等体积法匕58C=%.ACE可得:

渣，叵、〃，力二迺

23413

【特别提醒】

解决有关线面平行的基本问题的注意事项：（1）易忽视判定定理与性质定理的条件，如易忽视线面平行的判

定定理中直线在平面外这一条件；（2）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；（3）可举反例否定结

论或用反证法判断结论是否正确.

考点二平面与平面平行的判定与性质

【典例3】（2021•长春市第二十九中学高一期中）如图所示，在三棱柱中，E,F,G,〃分别

是A8,AC,AG的中点.

(1)求证：G"〃平面ABC；

(2)求证：平面E%〃平面4CHG

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)首先根据三角形中位线性质得到G”〃8C,再利用线面平行的判定证明G”//面48c即可.

(2)首先根据题意易证“7/8C,A.E//BG,从而得到EF〃平面BCHG,AE〃平面BCHG,再利用面面

平行的判定证明平面4EFH平面BCHG即可.

【详解】

(1)在三棱柱43C-ASG中，

因为G,〃分别是A4，AC的中点，

所以GH//BC，

又因为BC7/BC,所以GH//BC.

因为G”(Z平面ABC,3Cu平面ABC,

所以G”〃面ABC；

(2)因为E,尸分别是AB,AC的中点，所以“7/5。.

又因为在三棱柱ABC-A4G中，G为A片的中点，

所以AG〃£6,AG=EB,即四边形AE3G为平行四边形.

所以AE/4G.

因为EF//BC,平面8C”G,8。＜=平面3。”6,所以E/〃平面5cHG,

因为AE。平面BCHG,或；＜=平面50/6,所以A*〃平面8CHG,

又因为石尸，AEu平面AE/7,且£尸。人卢=石，

所以平面AEFH平面I3CHG.

【典例4】(2021.江苏省镇江中学高一月考)如图，在三棱柱44C-A4G中，底面4AAe是正三角形，e-L

平面ABC,已知A8=2,侧棱长为G，。是4片的中点，E、F、G分别是AC,BC,OT的中点.

(1)求AG与8%所成角的大小；

(2)求证：平面石尸G//平面Aga

【答案】(1)30；(2)证明见解析.

【解析】

(I)连接04,证得Gf7/B。，把异面直线bG与6用所成角转化为直线。"与64所成的角，在宜角，。片8

中，即可求解；

(2)由(1)知G/〃B力，证得G广〃平面44/A,再由E是AC的中点，得到“'//AB,证得EF//平面Ag4,

结合面面平行的判定定理，即可证得平面ER7〃平面4网4.

【详解】

(1)连接因为G,尸分别是。CBC的中点，所以G///3O,

所以异面直线FG与BB,所成角即为直线DB与BB、所成的角，

在直角中，由DB[=1,BB[=6,可得tanN£)88]二石=弓■,

所以NO幽=30.

(2)由(1)知GFI/BD,3Du平面八阴4，平面ABBIAI,所以Gb〃平面A阴A,

因为七是AC的中点，所以EF//A8.

因为平面用片,且比《平面A8B|A，所以M//平面/WB0,

乂因为EFcFG=F,且EA产G二平面ER7,

所以平面EFG//平面ABB^.

【规律方法】

判定面面平行的常用方法：

(1)面面平行的定义，即判断两个平面没有公共点；

(2)面面平行的判定定理：

(3)垂直于同一条直线的两平面平行；

(4)平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行.

【变式探究】

1.（2020•安徽省太和第一中学高二开学考试）已知直线/,小，平面a,4，下列命题正确的是（）

A.Hip,Iua=a//。

B.Hip,mlip,Iua,muana/l0

C.l//m,lua,mu/3=aM。

D.U/p,mlip,Iua,ua,Im=M=>alip

【答案】D

【解析】

由题意得，对于A中，〃/,/ua=a与夕可能相交，所以A是错误的；

对于B中，〃/力，mllp,lua，mua,如果〃/m，a,夕可能相交，故a〃尸是错误的；

对于。中，〃/m,/ua,mu£=a与6可能相交，所以C错误的；对于。中，〃/,根%,/ua，

mua,=M满足面面平行的判定定理，所以夕，故D正确的，

故选：D.

2.（2020•赣州市赣县第三中学月考（文））如图,在三棱柱4BC-A3cl中，E,F,G分别为4G，A4，

A8的中点.

（1）求证：平面AGG//平面BEF；

（2）若平面AGGc3C=H,求证：〃为BC的中点.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）如图，

・・・E,F分别为qG，的中点，.・.EC〃AG，

・.・AC|U平面AGG,£尸仪平面4。。，.・.痔〃平面40。，

又F,G分别为44,A5的中点，.・.A尸=8G,

乂Af7/8G..•.四边形4G8b为平行四边形，则8f7/^G

•••AGU平面AGG,8/a平面4GG,平面AGG,

乂EFcBF=F，

平面AGG//平面BEF；

⑵・・•平面ABC//平面A/G,平面A£Gc平面AMG=CG，

平而AGG与平面人而?有公共点G,则有经过G的直线,设交RC=H,

则ACJ/G”,得GH//AC，

•.，G为AB的中点，为8C的中点.

【总结提升】

证明两个平面平行的方法有：

①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；

②用判定定理或推论（即“线线平行n面面平行”），通过线面平行来完成证明：

③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；

④借助“传递性”来完成.

面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用.

考点三线面、面面平行的综合应用

【典例5】（2020•全国高三其他（文））如图，在正方体A3CD-EFG〃中，M、N、P、。分别是尸G、

GH、A£＞、A6的中点，则下列说法：

①"P〃平面5MN；②PQ_LEG；③MQ//NP；④FQ〃平面BMN,

其中正确的命题序号是________.

【答案】①②③④

【解析】

分析:①构造平行四边形可证明线线平行，通过线线平行可证线面平行;

②利用线面垂直，证明线线垂直；

③构造平行四边形可证明线线平行；

④构造平面，通过线线平行可证线面平行.

详解：

在正方体A3CD一瓦G”中，M、N、P、。分别是尸G、GH、A。、A3的中点,

①如图，设"C中点为R,连接次，HP,MB,MN,BN,GR,

则有A/G=BR,MG//BR

••・四边形MGRB为平行四边形，

同理四边形PRHG为平行四边形，

:・BM//GR,HP//GR,

・•・BM//HP

且物仁平面8WN，3Mu平面3MN,

HP//平面BMN，

故命题①正确；

②如图，连接尸Q,BD，EG,FH,

则有EG_L平面PQ//BD,

且8Du平面80ML

:・EG工BD,

・•・PQ上EG,

故命题②正确：

③如图，连接PN,PQ，MQ,MN,FH,BD,

则有MN//FH,MN=二FH,PQ//BD,PQ=-BD,BD//FH,BD=FH，

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APQ//MN,PQ=MN,

・•・四边形PQMN是平行四边形，

・•.MQHNP,

故命题③正确:

④如图，设M中点为S连接AS，SN、DN,BD，BN,MN、BM,QF

由③得MN//BD,

•：SF=AQ,SF//AQ,

••・四边形SA。尸为平行四边形，

同理四边形SADN为平行四边形，

：.SA//FQ,SAUDN,

.・.DN//FQ,

且DNu平面BDNM,FQe平面BDNM,

・•・FQ//平面BDNM,

即回。//平面8WN,

故命题④正确.

故答案为；①②③④.

【典例61(2()19•兴仁市凤凰中学期末)如图，在正方体ABCD-A4G。中，S是片。的中点，E，

G分别是3C,DC,SC的中点.求证:

(1)直线EG//平面8。〃与；

(2)平面瓦G〃平面3。。声.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)如图，

连接S3,•.E,G分别是BC,SC的中点，.•.EG//S8.

又,,・S4u平面3。。与，EG0平面BDD】B「

所以直线EG//平面BDD]B「

(2)连接SO，•・/,G分别是QC,SC的中点，.•/G//S，

乂vSDu平面BDD1四，fuz平面BDD14,AG//平面BDD、.

又EGu平面EFG,FGu平面EFG，EGCFG=G,

・•・平面瓦G〃平面瓦儿泗.

【规律方法】

1.证明线面平行的常用方法与思路

(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体

的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.

(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.

2.判定面面平行的四种方法

(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用).

(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).

(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用).

(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用).

3.面面平行的应用

(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行.

(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行.

4.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为

判定

线线平行匚^线面平行一^面面平行

T性质性质

性质

在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于

“模式化”.

【变式探究】

1.(2021.浙江高一期末)已知阳，〃是两条不同的直线，a,»,7是三个不同的平面，()

A.若M/n,〃ua,则

B.若〃_La,mu。，n±m,则alip

C.若。，九0iy,a0=m,则mJ■7

D.若〃】