指数函数（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（人教A版必修第一册）解析版

第15讲指数函数

【人教A版2019】

内首航

「模块一：指数函数的概念

夯基•基础知识梳理〔模块二：指数函数的图象与性质

「题型1指数函数的判定

一题型2杈据函数是指数函数求参数

一题型3求指数函数的解析式

•题型4比较指数幕的大小

提升•必考题型归纳」

一题型5解指数不等式

-题型6指数函数图象的识别与应用

J题型7指数型复合函数及其应用

L题型8指数函数的实际应用

课后作业（19题）

思维导图

定义：•般地.函数尸"（a>0.IL*l）叫做指数函数.

其中指数x是一一一.定义域是R

指数函数的—指数函数的定义（结为特征：①系数为1；②底数a是大于0目不等于1的常数

概念

指

图象分两种情况：①0<小1；@a>l

数

指数函数的图象性质：①定义域：R；②值域：（0,+x）；③过定点：图象过定点（0.D；④单

函一与频调性；⑤函数值的变化范围

数底数对指数函数（1）底大图高；（2）左右比较；（3）上下比较

”图象的影响

指数函数的分三种情况：（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；

图象与性质（2）底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断;

一二匕较指数鬲的大（3）底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量

小的方法

、指数方程（不等指数方程（不等式的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解

:式）的求解思..路一….

模块一指数函数的概念

知识梳理

1.指数函数的定义

⑴一般地，函数尸〃'3>0,且应1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是&

⑵指数函数产"（。>0,且存1）解析式的结构特征：

①a，的系数为1；

②底数a是大于0且不等于1的常数.

吩题型归纳

【题型1指数函数的判定】

[例I]（24-25高-上•全国•课后作业）下列函数是指数函数的是（）

A.y=2*+1B.y=2X+1C.y=2~xD.y=-2X

【解题思路】由指数函数的定义即可判断.

【解答过程】由指数函数的定义可知，y=2、+1带有常数项，A错误；

>=2"1=2乂2'与〉=一2”的系数都不为1,B错误，D错误：

y=2一"=g），符合题意，C正确.

故选：C.

【变式1.1]（24-25高一上•广东广州•期中）下列是指数函数的是（）

A.y=-3XB.y=2x2-1C.y=ax+1D.y=

【解题思路】运用指数函数的概念判断即可.

【解答过程】根据指数函数的特征：系数为1,底数满足a>0且awl,自变量在指数位置可知，A,B,

C不满足，D满足.故选D.

故选：D.

【变式1.2]（2025高一.江苏.专题练习）给出下列函数：①y=-34；②y=3"L③y=3、④y=厂3；

⑤y=（_2尸.其中，指数函数的个数是（）

A.0B.1C.2D.4

【解题思路】利用指数函数的定义，对所给函数逐一判断即可.

【解答过程】①中，3%的系数是一1,故①不是指数函数；

②中，y=3"】的指数是工+1,不是自变量x,故②不是指数函数；

③中，3、的系数是I,塞的指数是自变量x,且只有3、一项，故③是指数函数；

④中，y=%-3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.

⑤中，底数一2V0,不是指数函数.

综上，指数函数的个数为1,

故选：B.

【变式1.3]（24-25高一上•河北邢台•阶段练习）下列判断正确的是（）

A.y=2/是幕函数，且y=42x是指数函数

B.y=2/是幕函数，且y=42x不是指数函数

C.y=2/不是吊函数，且y=42x是指数函数

D.y=2/不是吊函数，且y=42x不是指数函数

【解题思路】根据已知条件，结合辱函数、指数函数的定义，即可求解.

【解答过程】解：由暴函数的定义可知，y=2-不是弃函数，

因为42*=（42尸=16匕所以y=42%是指数函数.

故选：C.

【题型2根据函数是指数函数求参数】

1J[例2]（24-25高一上.全国.课后作业）若函数/•（£）=（2k+1尸（工是自变量）为指数函数，则实数

k的取值范围是（）

A.（-p0）U（0,+oo）B.（0；）U版+8）

C.（-oo,0）U（0,1）D.（-oo,-0u（0,0

【解题思路】根据条件，利用指数函数的定义，即可求解..

【解答过程】由f（x）=（2〃+1尸为指数函数，得2〃+1>0且2左+1*1,解得〃£（*,0）u（0,+8）,

故选：A.

【变式2』】（24-25高一上•天津河西・期末）若函数/（%）=（2a2-3a+2）-谈是指数函数，则a的值为（）

A.2B.IC.I或gD.1

【解题思路】由指数函数的定义可得2a2-3Q+2=1且a>0,aH1,解方程验证可得.

【解答过程】解：因为函数y=（2a2-3a+2）M是指数函数，

•••2a2-3a+2=1且a>0,a学1,

由2a2—3a+2=1解得a=1或a=

i

a=-2,

故选：D.

【变式2.2]（24-25高一上•吉林长春・期末）若函数y=（m?-2m-2）•是指数函数，则zn等于（）

A.-1或3B.-1C.3D.1

*5

【解题思路】利用指数函数的定义求底数，再计算函数值即可.

【解答过程】由题意可知/'(2)=a2=9=>a=3J(x)=3匕

所以/'(—l)=g.

故选：C.

【变式3.3](2025高一•全国•专题练习)若指数函数/(%)的图象过点(3,8),则/(幻的解析式为()

A./(x)=%3B./(x)=X3C./'(%)=(J'D./(x)=2X

【解题思路】设出解析式，将点(3,8)代入，求出解析式.

【解答过程】设/'(%)=a'(a>0且aH1),则凉=8,

解得a=2,故/•(x)=2{

故选：D.

模块二\指数函数的獭与性质组|

》知识梳理

1.指数函数的图象与性质

0<a<\a>\

y=a*\y

段1y=l(什，1)

图象一

0~o\IX

定义域R

值域(0,+8)

过定点图象过定点皿，即当下0时，3=1

性

单调性在(-8,+8)上是减函数在(-00,+8)上是增函数

质

当XV。时，y>\当x<0时，0<><1

函数值的

当x=0时，尸1当户0时，尸1

变化范围

当x>0时，()<产1当.00时，y>\

2.底数对指数函数图象的影响

指数函数产"(“>0,且存1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.

⑴无论是公>1还是在第一象限内，自下而.匕图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图

画'•

底

数

逐

渐

增

大

d）.

>c>

，°义

1时

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1时，

0«/<

），轴；

越靠近

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越大

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，

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）=1

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：在

右比较

（2）左

丁轴.

.

数越大

数的底

指数函

对应的

越大，

纵坐标

交点的

点，

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直线

象与

较图

：比

下比较

（3）上

法

的方

大小

塞的

较指数

3.比

：

况）

三种情

法（分

的方

大小

累的

指数

比较

判断；

调性来

数的单

指数函

：利用

不同

指数

同，

数相

（1）底

断；

律来判

变化规

的图象

数函数

同的指

底数不

：利用

相同

指数

同，

数不

（2）底

1”.

量“

中间

引入

，一般

来比较

中间量

：通过

不同

指数

同，

数不

（3）底