中考数学二轮复习：圆

专题13圆复习考点攻略

一、考点归纲与例题讲解

考点一圆的有关概念

i.与圆有关的概念和性质

（1）圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.

（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最

长的弦.

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优

弧.

（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

（5）圆周角：顶点在期上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.

（6）弦心距：圆心到弦的距离.

【注意】

（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；

（2）3点确定一个圆，经过I点或2点的圆有无数个.

（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.

【例1】把地球看成•个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧•圈钢丝，然后把钢丝加长，

使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm,那么钢丝大约需要加长（）

A.102cmB.104cmC.106cmD.108cm

【答案】A

【解析】设地球半径为：rem,则地球的周长为：2mxm,

假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm,故

此时钢丝围成的圆形的周长变为：2n（r+16）cm,

，钢丝大约需要加长：2n（r+16）-2nr=100（cm）=102（cm）.故选A.

考点二垂径定理及其推论

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作

弦的垂线，构造直角三角形.

2.推论：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

【例2】在OO中，直径AB=15,弦DEJ_AB于点C.若OC：OB=3：5,则DE的长为

（）

A.6B.9C.12D.15

【答案】C

【解析】解：如图所示：:直径48=15,.*.80=7.5,V0C：08=3：5,.\CO=4.5,

考点三圆心角、弧、弦的关系

1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.圆心角、弧和弦

之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.

2.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一-组量相等，那么它们

所对应的其余各组量都分别相等.

【例3】如图，在。。中/O=50。，则NA的度数为

B

A.50°B.20°C.30°D.25°

【答案】D

【解析】Zz4=-ZBOC=-x50°=25°.

22

故选D.

考点四圆周角定理及其推论

1.定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

2.推论：

(I)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

(2)直径所对的圆周甬是直角.

【注意】圆内接四边形的对角互补.在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转

化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角

形，通过两锐角互余进行转化等.

【例4】如图，已知是。。的直径，半径。点。在劣弧AC上(不与点A,点C

重合)，BD与OA交于点、E.设NAEO=a,/4。。=仇则()

A.3a+p=18O°B.2a+p=180°C.3a-p=90°D.2a-0=90°

【答案】D

【解析】解：'：OALBC,：.ZAOB=ZAOC=90°,

:.N。8c=90°-ZBEO=90°-ZAED=90°-a,：.ZCOD=2ZDBC=180°-2a,

VZ40D+ZCOD=900,J0+180°-2a=90°,A2a-P=90°,故选：D.

考点五与圆有关的位置关系

1.点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为乩

⑴次r0点在。O内；

(2)"=r=点在。O上；

(3)">r=点在。。外.

(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

(3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

3.切线判定常用的证明方法:

①知道直线和圆有公关点时，连半径，证垂直;

②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.

【例6】如图1,在四边形A3CO中，AD//BC,/.DAB=90°,A8是。。的直径，CO平分

乙BCD.

(1)求证：直线CO与。。相切：

(2)如图2,记(1)中的切点为P为优弧卷上一点，AD=1,8c=2.求tan乙4PE的值.

【答案】(1)见解析；(2)立

2

【解析】(1)证明：作OELCD于E,如图1所示:

则乙OEC=90°,

vAD//BC,Z.DAB=90°.

:.Z.OBC=1800-Z.DAB=90。，

Z.OEC=Z.OBC,

•••CO平分々BCD,

Z.OCE=乙OCB,

(Z.0EC=Z.OBC

在AOCE和△OCB中，\z.OCE=Z-OCB,

(0C=0C

OCE^^OCB(AAS),

OE—OB,

又•••OE1CD,

二直线CD与。。相切；

(2)解：作。FJLBC于凡连接8E,如图所示:

则四边形A8斤。是矩形，

•••AB=DF,BF=AD=1,

CF=BC-BF=2-1=1,

•:AD"BC,/.DAB=90°.

•••AD1AB,BC1AB,

AD.AC是O。的切线，

由（1）得：是。0的切线，

.-.ED=AD=1,EC=BC=2,

:.CD=ED4-EC=3>

•••DF=y/CD2-CF2=V32-l2=272,

...AB=DF=2V2,

:.OB=\[2,

vCO平分，BCD,

:.CO1BE,

，Z.BCH+ACBH=ACBH+z.ABE=90°,

:.4ABE=乙BCH,

,:Z.APE=4ABE,

•••乙APE=乙BCH,

tanz/lPF=tan乙BCH

BC2

考点七与圆有关的计算公式

1.弧长和扇形面积的计算

2.圆锥与侧面展开图

（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的

底面周长.

（2）若圆锥的底面半径为「，母线长为/,则这个扇形的半径为/,扇形的弧长为2叮，

圆锥的表面积：S圆锥表二S圆悔则+S圆锥底="/+"?=”•（/+/•）.

在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则

图形的公式求解.

c五

A.y/2B.1D.

22

【答案】D

考点八三角形与圆

1.三角形的外接圆相关概念

（I）经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这

个三角形叫做圆的内接三角形.

（2）外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.

2.三角形的内切圆

（1）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心,

这个三角形叫做圆的外切三角形.

（2）内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等.

【例8】如图，RtZSABC中，ZC=90°,AB=5,AC=3,点E在中线4。上，以石为圆心

的。E分别与A3、相切，则OE的半径为

【答案】B

【解析】作于凡EF工BC于F,EGtAB于G,连接£8,EC,设。E的半径为，,

如图,

・••以E为圆心的。E分别与AB、8C相切，：.EG=EF=r,：.HC=r,AH=3-r,

•:EH〃BC,•••△AE〃s&WC,

*.*SwUt/S^BCE+SdACF^S2ABC，

考点九正多边形的有关概念

正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半役.

正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角.

正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

【例9】如图，圆内接正六边形的边长为4,以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面

积为（）

【答案】A

二、眼踪拓展训券题

第一部分选择题

一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）

1.如图，已知0。的周长等于8ncm,则圆内接正六边形48CDEF的边心距OM的长为（）

A.2cmB.2y/3cm

C.4cmD.4Gcm

【答案】B

【解析】如图，连接OC,OD,

BO

•・•正六边形A8C0EF是圆的内接多边形，:.乙COD=60\

VOC=OD,OMLCD,AZ=30°,丁。0的周长等于8Tlem,.\OC=4cm,

.,.OM=4cos300=2V3(cm),故选B.

2.如图，48是。。的直径，△AC。内接于。。，延长A8,C。相交于点E,若NCAO=35。,

NCOA=40。，则NE的度数是()

A.20°C.30°D.35°

【答案】B

【解析】如图，连接8。,

〈AB是。。的直径，・•・2408=90。,

由三角形内角和定理得，ZACD=180°-ZCAD-ZCDX=105°,

・•・乙钻。=1800-NACD=75°,

，ZBAD=900-ZABD=15°,

・•・ZE=ZCDA-ZDAB=25°,故选B.

c

A.10°B.20°c.30°D.40,

【答案】C

【解析】连接OD、OE,先求出NCOD=40°,ZBOC=1005,设NBOE=x,则/COE=100:x,

NDOE=10CTx+40。；然后运用等腰三角形的性质分别求得/OED和/COE,最后根据线段的

和差即可解答.

4.如图，。。以AB为直径，PB切。。于8,近接AP,交。。于C,若NPBU50。，ZABC=

（）

【答案】B

【解析】・・・。。以人8为直径，PB切00于B,

JZPBA=90°t

,?ZPBC=50°f

•••NA8U40。.

故选B.

5.如图，相是。。的直径，C是。。上一点（A、8除外），NAOD=136。，贝IJNC的发数

是（）

C

【答案】B

【解析】VZ/l0D=136°,/.ZBOD=44°,AZC=22°,故选B.

6.如图，半径为5的。A中，弦BC,E。所对的圆心角分别是N8AC,ZEAD,己知。£:6,

NB4C+NE4Z>180。，贝!弦BC的长等于（）

A.VJTD.6

7.如图，AB是圆锥的母线，8c为底面半径，已知8c=6cm,圆锥的侧面积为1571cm一则

sinNABC的值为（）

5

D.

3

【答案】C

【解析】设圆锥的母线长为月，由题意得15n-m3x/?,解得R-S,

4

J圆锥的高为4,sinZx^BC=-故选c.

5

8.如图，从一块直径为2帆的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90。的扇形.则此扇形的面积为

【答案】A

9.如图所示，矩形纸片力比‘〃中，AD=6cm,把它分割成正方形纸片力/第.和矩形纸片MW

后，分别裁出扇形力断和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则/区的长为

【答案】B

【解析】本题考杳了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之

间的关系是解决本题的关诞，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的

弧长.

设:AB=xcm,则%T=（6r）cm,根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即

可.

根据题意，得却（6-x）,

180

解得x=4.

10.如图，八8为。。的直径，BC、CO是。。的切线，切点分别为点仄。，点E为线段08

上的一个动点，连接。。，CE,DE,已知48=2代，BC=2,当CE+DE的值最小时，则

容勺值为（）

【答案】4

【解析】解：延长CB到F使得BC=CF,则C与F关于08对称，连接。尸与。8相交于

点、E,此时CE+OE=OF值最小，

连接OCRD.两线相交干点G,过。作于凡

D

则0coOC=y/OB2+BC2=V5T4=3,

•••CB1OB,乙COB=乙BOG

ACOR〜ABOG

.OB_BG

"OC-BC

OB-BC=OC-BG,

•••BG=三通,

:.BD=2BG=三通,

vOD2-OH2=DH2=BD2-BH?,

•••5-(V5-BH)2=(1^5)2-BH2,

BH=三遍,

DH=y]BD2-BH2=g,

vDH//BF,

.EF_BF_2_9

EDDH号10

:.C一E=一9,

DE10

故选：A.

第二部分填空题

二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）

11.如图，A、B、C、。都在。。上，ZB=130°,则/AOC的度数是

A

B

【答案】100°

【解析】•・・NB=130。，AZ£>=180o-l3()o=50o,工NA002/。=100°.故答案为100°・

12.如图，半圆。的直径是A8,弦AC与弦8。交于点E,且。。J_AC,若NDEF=6b，则

tanNABD=.

【答案】—

3

【解析】ZODIAC,ZDEF=60°,

：.ZD=30°,

•：OD=OB,

：.NA8D=ND=30。，

(anZABD=^-,

3

故答案为：巫.

3

13.如图，正六边形八8C0EF的边长为1,以点A为圆心，48的长为半径，作扇形八8F,则

图中阴影部分的面积为(结果保留根号和71).

【解析】正六边形的中心为点0,如图，连接。。、。£,作0HJ_DE于从

【答案】6兀

【解析】由图可得,

15.如图，在平面直角坐标系中，已知C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切.点A、B在x

轴上，且。4=0B.点。为OC上的动点，Z.APB=90°,则A3长度的最大值为

【答案】16

【解析】解：连接。。并延长，交OC上一点P，以。为圆心，以。。为半径作O。，交x

轴于A、B,此时AB的长度最大，

vC(3,4),

:.OC=V32+42=5,

•.•以点。为圆心的圆与y轴相切.

.••0C的半径为3,

•••OP=OA=OB=8,

•••Z.APB=90°,

•••是直径，

•••AB长度的最大值为16,

故答案为16.

16.如图，在。。的内接四边形A4C。中，AB=3,AD=5,NB4O=60。，点。为前的中

点，则AC的长是.

A

0

'D

【答案】随

3

【解析】解：如图，过点。分别作交AB的延长线于点E,CF1AD于点F,

则4E=Z,CFD=Z.CFA=90°,

•••点C为前的中点，.•.筋=/，MzF/lC=Z.DAC,

vZ.BAC=ZD71C,ZE=LAFC=90°,AC=AC,

AEC=LAFC,

•.CE=CF.-A,B,C,。四点共圆，

乙D=乙CBE.

在ACBE和△CDF中，

ZCBE=Z.D,

Z.E=Z.CFD,CBE=LCDF,ABE=DF.

CE=CF,

LE=/.AFC,

在4AFC^,vLEAC=Z-FAC,.*.△AEC^^AFC,

AC=AC,

AE=AF,设BE=OF=x,TAB=3,•••?!£=//=%+3,又A。=5,

/.5=x4-3+%,解得x=l,则力E=4.

•••/-BAD=60°,乙EAC=30°,

AC=2",又心=CE2+AE2f

・•.AC=苧.

3

第三部分解答题

二、解答题(本题有7小题，共56分)

17.如图，正方形A8CD的外接圆为O。，点P在劣弧CD上(不与C点重合).

(1)求N8PC的度数；

(2)若。。的半径为8,求正方形48CD的边长.

BO.

fP

【答案】(1)45°；(2)8&

【解析】⑴连接。8,0C,

•・•四边形48CD为正方形，・•・/800=90°,

P=—ZDOC=45°；

2

(2)过点。作0E_LBC于点£,

*：0B=0C,ZBOC=90°,••・NO8E=45°,：,0E=BE,

18.如图，四边形A8CD内接于。0,AB=AC,ACLBD,垂足为E,点尸在8D的延长线上,

JiDF=DC,连接A厂、CF.

(1)求证：ZB/1C=2ZC4D；

(2)若AF=10,BC=4后,求tan/BAO的值.

【答案】⑴见解析：

【解析】(1)-：AB=ACt

AZABC=ZADB,ZABC=^(180°ZBAC)=900《N/MC,

VBD±AC,

・•・NAO8=90°/C4ZZ

：.-ZBAC=ZCAD,

2

：.ZBAC=2ZCAD.

(2)，：DF=DC,

・•・ZDFC=ZDCF,

•••NBDC=2NDFC,

11

，/BFC=-NBDC二一NBAC=/FBC,

22

：,CB=CF,

又BDLAC,

，AC是线段B尸的中垂线,AB=AF=\O,AC=10.

又BC=4后,

设CE=\Ox,

由A82A得100x2=80(10x)2,

解得x=6,

：.AE=6,4E=8,C£=4,

：.BD=BE+DE=3+^=\\,

如图，作。〃_LAB,垂足为从

1I

,：-ARDH=—RDAE,

22

19.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。O分别与BC,AC交于点D,，过点D

作。/J_AC,垂足为点E

(1)求证：直线。尸是。。的切线；

(2)求证：BC^CFACx

(3)若。。的半径为4,ZCDF=\50,求阴影部分的面积.

o

E

~c

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）443

【解析】（1）如图所示，连接。。，

'：AB=AC,AZABC=^C,而。8=。。，：,ZODB=ZABC=ZC,

'：DFA_AC,.*.ZCDF+ZC=90°,・'・NCOF+N008=90°,

AZODF=90°,••・直线DF是。。的切线.

(2)连接4D,贝IJ/W_L8C,则A8=4C,

VZCDF+ZC=90°,ZC+ZDAC=90°,：,^CDF=^DCA,

而NOFC=N/WC=90°,：./\CFD^^CDA,

：.CD2=CF-AC,即BC2=4CFAC.

(3)连接OE,

VZCDF=15°,ZC=75°,：.ZOAE=30°=ZOEAf

:.N4OE=120。，

S^OAE=^AE-OE•sin/。加;x2xO£xcosNgxO£sin/O）=4G，

20.如图，人七为OO的直理，。是弧8C的中点4c与人。，0。分别交于点E,F.

【答案】见解析。

【解析】（1）证明：•"为弧比’的中点，如为。。的半径

又•・"）为O的直径

（2）证明：•・•〃为弧欧的中点

21.四边形A3C。是。。的圆内接四边形，线段A8是。。的直径，连结AC8D.点〃是线

段上的一点，连结AH、CH,且NAC〃=NC8O,AD=CH,84的延长线与CQ的延长

线相交与点p.

(1)求证：四边形AOCH是平行四边形；

(2)若AC=8C,PB=^PD,AB+CD=2(的+1)

①求证：△O〃C为等腰直角三角形；

②求C，的长度.

【答案】(1)见解析：(2)见解析

【解析】本题是圆的综合题，考杳了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，相似三角形

的判定和性质等知识，求⑶的长度是本题的关键.

(1)由圆周角的定理可得况可证力〃〃。/,由一组对边平行且相等的

是四边形是平行四边形可证四边形力加方是平行四边形；

(2)①由平行线的性质可证N/1ZW=NO仞=90°,由N06=N418=45°,可证△%/

为等腰直角三角形；

②通过证明△/!如s△乙卯，可得坦迪，可得型二匕,通过证明△OMs/us,可得

BCPBBCV5

—=CH=可得力6=4反刀，可求⑦=2,由等腰直角三角形的性质可求。/的长度.

ABBCA/5

证明：(1)VADBC=ZDAC,/ACH=/CBD

:.ZDAC=ZACH,:.AD//CH,且AD=CH

・•・四边形力〃O/是平行四边形

(2)①・・・力8是直径

力=90°=/ADB,且AC=BC

:・/CAB=/ABC=45°,：./O)B=/CAB=45°

'：AD//CH

：.AADH=ZCHD=W,且/CDB=450

：.4CDB=0=蜴°、：、CH=DH,旦NCHD=90°

为等腰直角三角形;

②•••四边形/出切是。。的圆内接四边形,

A/\DP=APBC,豆匕P=4P,：,XADPs/\CBP

ADJD,且加=加做

BC^PB

AD1

,AD=CH,J'H二匕

BCW5BC炳

/CDB=/CAB=45°,Z67Z9=Z/I6^=90°:.△CHMXACB

CD£H1.AR=^rn

AI^CD=2(次+1),：,y/l(-7^C/)=2(造+1)

5=2,且△"%'为等腰直角三角形，・・・。7/=加

22.如图，△ABC中,AB=AC,。。是△人8C的外接圆，80的延长交边4c于点D

(1)求证：NB4L2NAB。；

(2)当△BCD是等腰三角形时，求N8CD的大小;

(3)当4。=2,CD=3时,求边8c的长.

【解析】解：⑴连接04如下图1所示:

\'AB=ACf・・・AB=AC，•••04~L8C,：,ZBA0=ZCA0.

V04=06,/.ZABD=ZB/^0,：.ZBAC=2ZABD.

(2)如图2中，延长40交BC于H.①若8D=CB,贝lj/C=/8DC=/A8O+NBAC=3/A8D.

,

：AB=ACfZABC=ZC,：.ZDBC=2ZABD.

VZDBC+ZC+ZBDC=130c,.二8/480=180°，ZC=3Z4eO=67.5°.

②若CO=C8,贝IJNC8O=NCO8=3NA8。，：.ZC=^ZABD.

VZDBC+ZC+ZCDB=180\.二10/480=180°,：.ZBCD=4ZABD=72°.

③若D8=DC,则。与2重合，这种情形不存在.综上所述：NC的值为67.5。或72。.

⑶如图3中，过4点作AF〃8c交B。的延长线于£

AE