（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练 拓展二：异面直线所成角直线与平面所成角二面角问题（精讲）（解析版）

拓展二：异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角问题目录题型一：异面直线所成角题型二：直线与平面所成角角度1：定义法角度2：等体积法题型三：二面角角度1：定义法角度2：三垂线法角度3：垂面法角度4：射影面积法题型一：异面直线所成角知识点归纳平移使相交具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角典型例题例题1．在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则异面直线与直线所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】连接，在平行六面体中，由与平行且相等得平行四边形，因此，∴是异面直线与直线所成角或其补角，由已知，，，由余弦定理得，，，∴．故选：B．例题2．如图，在直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，连接，则，，，因为∥，所以或其补角为异面直线与所成的角，，则异面直线与所成的角的余弦值为.故选：C．例题3．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．【答案】【详解】如图所示，设分别为和的中点，可得，，且，所以异面直线与所成角即为直线与所成的角，作的中点为，则为直角三角形，因为，在中，由余弦定理可得，所以，所以，在中，，在中，可得，又因为异面直线所成角的范围是，所以与所成的角的余弦值为.故答案为：.同类题型演练1．在正方体中，E、F分别是、的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】取中点，连接，如图，因为是中，所以与平行且相等，又与平行且相等，所以与平行且相等，从而是平行四边形，，所以异面直线AE与BF所成角是或其补角，设正方体棱长为，则，，中，．所以异面直线AE与BF所成角的余弦是．故选：A．2．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：取的中点，连接，，，，由正方体的性质可知且，所以为平行四边形，所以，所以异面直线与所成的角的平面角为，又，则，，则，所以，故选：C．3．已知长方体中，，点为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________.【答案】【详解】如图所示，在长方体中，延长，构造一个与全等的长方体，且点为棱的中点，所以，所以（或其补角）为异面直线所成角，由题意得，所以由余弦定理得，所以.故答案为：.4．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是_____________.【答案】【详解】，分别是，的中点，取的中点，连接，，则且，所以为平行四边形，,那么和所成角即为与所成角．设，，是直三棱柱，，，故答案为：．题型二：直线与平面所成角角度1：定义法知识点归纳直线与平面所成角定义：平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；具体操作方法：①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线；②连接斜足与垂足；③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角.典型例题例题1．已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据长方体性质知：面，故为与面所成的角，，所以.故选：A例题2．如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】平面，与平面所成的角为.又，，可得，而平面平面，与平面所成角的正弦值为.故应选：B.例题3．在矩形ABCD中，，点为的中点（如图1），沿将△折起到处，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正切值为___________.【答案】【详解】取的中点，连接，，∵且为的中点，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，则直线PC与平面ABCE所成角为，即，所以.故答案为：．例题4．如图，四边形中，，，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面⊥平面，则与平面所成的角的正弦值为___________.【答案】【详解】因为平面平面，，平面平面，平面，故平面.因为平面，故.因为，，故，故，又，故平面，∴为直线与平面所成的角，，,又∵平面，∴,∴,故答案为：.角度2：等体积法知识点归纳①如右图：利用等体积法求垂线段的长；②典型例题例题1．如图，在三棱台中，平面，，，，则与平面所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】将棱台补全为如下棱锥，由，，，易知：，，由平面，平面，则，，所以，，故，所以，若到面的距离为h，又，则，可得，综上，与平面所成角，则，即.故选：A例题2．如图，在四面体中，，，为的中点，为上一点.(1)求证：平面平面；(2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)证明见解析；(2)．【详解】（1）在四面体ABCD中，，E为BD的中点，则，而，平面，于是得平面，又平面，所以平面平面.（2）依题意不妨设，，则，又，则，．在中，，所，则，．由（1）得，，因，即，则．设点B到平面ACD的距离为h，则，解得，所以点B到平面ACD的距离为.设直线BF与平面ACD所成角为，所以．因为，所以，故当时，最短，此时，正弦值最大为．题型二同类题型演练1．在三棱锥A—BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，且，则直线AB与平面ACD所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又CD⊥BC，，平面ABC，平面ABC，所以CD⊥平面ABC．又平面ACD，所以面平面ABC作BE⊥AC，垂足为E.则平面ACD.所以∠BAE是直线AB与平面ACD所成的角.在直角三角形ABC中，因为，所以．故选：C2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知在阳马P-ABCD中，侧棱底面ABCD，且，则直线PD与平面PAC所成角的正弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，在正方形ABCD中，连接BD交AC于O，则，连接PO.因为平面ABCD，平面ABCD，所以，而，则平面PAC，于是是直线PD与平面PAC所成的角.因为PA=AD=1，易知PA⊥AD，所以，易得，所以，即直线PD与平面PAC所成角的正弦值为.故选：A.3．已知正方体的棱长为1，点P在线段上，且，则AP与平面ABCD所成角的正切值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】如图，连接，因为在平面ABCD上的投影为，故作于，且平面，连接，则AP与平面ABCD所成角为.因为，故，且，故.所以AP与平面ABCD所成角的正切值为故选：D4．在四棱锥中，⊥平面，，，．(1)证明：平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)（1）证明：作，在等腰梯形中，，∴，∴又平面，∴，又，平面，∴⊥平面．（2）Rt△中，，∴，Rt△中，，∴，∴△≌△；又，∴点到平面的距离，∴与平面所成角的正弦值为．5．如图，是⊙O的直径，垂直于所在的平面，C是圆周上不同于的一动点.(1)证明：是直角三角形；(2)若，且当直线与平面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)正弦值为（1）是的直径，则，又垂直于所在的平面，即平面，又平面，则，又，于是平面，又平面，则，即，故是直角三角形；（2）由题可得平面，则与平面所成角为，即，，计算易得，则，由（1）知，是直角三角形，，设到平面的距离为，由线面角的定义，于是与平面所成角的正弦值为，三棱锥的体积：，又，根据，解得，于是与平面所成角的正弦值为题型三：二面角角度1：定义法知识点归纳在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角.典型例题例题1．在正方体中，二面角的大小是___________.【答案】【详解】画出图象如下图所示，由于，所以是二面角的平面角，根据正方体的性质可知.故答案为：例题2．四棱锥中，底面是边长为的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的平面角为_____________．【答案】60°【详解】如图：E、F分别是AB,CD中点，连VE,EF，VF;则就是二面角的平面角；又所以三角形VEF为正三角形，所以例题3．过正方形之顶点作平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的度数为________．【答案】【详解】根据已知条件可将四棱锥补成正方体如图所示：连接CE，则平面CDP和平面CPE为同一个平面，由题可知平面，平面，∴，，又平面和平面，平面，平面，∴为平面和平面所成的锐二面角的平面角，大小为.故答案为：.角度2：三垂线法知识点归纳三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角：①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明）②第二垂：在平面中，过点作,垂足为③第三垂：连接（解答题需证明）典型例题例题1．如图，若平面，四边形为正方形，，则二面角的大小为______.【答案】【详解】解：平面，，又是正方形，，又，平面，是二面角的平面角.在中，，，二面角的大小为，故答案为：.例题2．已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．【答案】【详解】设，连接，PA⊥平面ABCD，则是在平面内的射影，，平面内，，所以，所以是二面角的平面角，由，，，例题3．如图,在正四棱锥中,.(1)求侧棱与底面所成角的大小;(2)求二面角的大小的余弦值【答案】(1)(2)【详解】（1）解:由题知正四棱锥,设底面正方形ABCD的中心为O,连接AO,PO,所以在正四棱锥中,平面ABCD,即点P在平面ABCD上的投影为O,故为侧棱PA与底面ABCD所成角,在中,,,故为等边三角形,设其边长为,因为平面ABCD,平面ABCD,故,在中,,,所以,即,故侧棱PA与底面ABCD所成角的大小;（2）取AB的中点为E,连接PE,OE,在正方形ABCD中,,在等边中,,故为二面角的平面角,因为平面ABCD,平面ABCD,故,在中,,,,故二面角的大小的余弦值为.角度3：垂面法知识点归纳垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.例如：过二面角内一点作于，作于，面交棱于点，则就是二面角的平面角.典型例题例题1．已知P是二面角内一点，，垂足为，，垂足为，且．求二面角的大小．【答案】【详解】，，则，同理，，平面，所以平面，设平面，连接，平面，所以，所以是二面角的平面角，在四边形中，，，所以，所以二面角的大小为．例题2．如果二面角的平面角是锐角，空间一点到平面、和棱的距离分别为、4和，则二面角的大小为_______________.【答案】或【详解】当点P在二面角的内部，如图所示：，A，C，B，P四点共面，是二面角的平面角，因为Р到平面、和棱的距离分别为、4和，所以，所以，则；当点P在二面角的外部，如图所示：，A，C，B，P四点共面，是二面角的平面角，因为Р到平面、和棱的距离分别为、4和，所以所以，所以，，则.故答案为：或角度4：射影面积法知识点归纳射影面积法（）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小.典型例题例题1．二面角的大小为，其内部有两个半径为1，一个半径为2的小球两两外切且与，均相切，则________.【答案】【详解】根据对称性可知，由三个球心、、所确定的平面一定的平面与平面的分角面．下面求的面积及在平面上的射影的面积（如图），不妨设球、、的半径分别为1、1、3．则，，，故为等腰三角形．因此，，在矩形中，由，得，在直角梯形中，,同理可得，所以为等腰三角形，即且平面与平面所成的角为，则，则即，所以，且故平面与平面所成二面角正切值为.故答案为:.例2.正方体中，为棱的中点，求平面和平面所成的二面角的余弦值。【答案】设正方体的边长为2，则；在中，，，利用余弦定理，则；则题型三同类题型演练1．长方体中，，，则二面角为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由图可知，，所以是二面角的平面角，，所以.故选：D2．在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，，则平面PAB与平面ABCD的夹角为___________【答案】【详解】分别取的中点，连接，因为侧面PAB是等边三角形，，四边形ABCD是边长为2的正方形，所以，，又，平面平面,所以是平面PAB与平面ABCD的平面角，又，所以，所以，所以平面PAB与平面ABCD的夹角为3．若一个正四棱锥的高和底面边长都为a，则它的侧面与底面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图所示，正四棱锥，取AB的中点为H，底面正方形的中心为O，连接OH，PH，因为，，所以为侧面与底面所成的角，又，，，因为为高，所以平面，所以，所以在直角三角形POH中，所以侧面与底面所成角的余弦值为故选:B.4．在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，则二面角的大小为（

）A．