（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练6.2.3 向量的数乘运算（精练）（解析版）

6.2.3向量的数乘运算（精练）A夯实基础一、单选题1．如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】在中由向量加法的三角形法则得：，又因为是的中点，所以,所以.在中由向量加法的三角形法则得：又因为E，F分别是矩形ABCD的边CD，BC的中点，所以所以.故选：B.2．已知，则（

）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线【答案】C【详解】对于A:不存在实数，使得，故三点不共线；对于B:不存在实数，使得，故三点不共线；对于C:,故，所以三点共线；对于D:不存在实数，使得，故三点不共线；故选：C3．点在线段上，且，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】不妨设，则，因为点在线段上，则，故选：D4．已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由可得，即点P在线段BC上，且则与的面积之比等于故选：B5．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【详解】由题意可得，因为是平行四边形，所以，所以，所以，因为，所以，则．故选:D6．已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（

）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【答案】D【详解】因为，所以.以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD交AB于点O.如图所示:则，所以，CO是AB边上的中线，所以G点是△ABC的重心.故选：D7．在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由于三点共线，所以，所以，当且仅当.故选：C8．已知，是其内心，内角所对的边分别，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】延长，分别交于.内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形和三角形中，由正弦定理得：，由于，所以，，同理可得，，.所以，则.故选：C二、多选题9．在中，，记，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】解：因为，，所以，所以，.故选：AC.10．如图所示，在中，点D在边BC上，且，点E在AD上，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】∵，点E在AD上，，∴，∴．故选：ABD．三、填空题11．古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若，则______．【答案】##【详解】如图，连接，则，不妨设，则，即，∴，则，故.故答案为：.12．已知点O在直线AB外，则：①若.则点C在直线AB上；②若，则点C在直线AB外；③若，且，则点C在线段AB上；④若，且，则点C在射线AB上，⑤若，且，则点C在射线BA上：其中真命题的是___________.（填序号）【答案】【详解】①若，则，有，所以三点共线，故①为真命题；②假设点在直线上，则，又，所以，得，与条件中矛盾，故假设不成立，即点不在直线上，故②为真命题；③若，则，有，当时，由可知三点共线且在之间（或与、重合），所以点在线段上，故③为真命题；④若，则，有，当时，由可知三点共线且在之间，所以点在射线上，故④为真命题；⑤若，则，有，当时，由可知三点共线且在之间，所以点在射线上，故⑤为真命题；故答案为：①②③④⑤四、解答题13．（1）已知，是两个不共线的向量，若，，，求证：，，三点共线．（2）已知，，三点共线，为直线外任意一点，若，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】（1），又，所以，共线因为与有交点，所以，，三点共线．（2）因为，，三点共线，为直线外任意一点，所以设，所以，所以，因为，所以，，所以.14．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.(1)用表示；(2)求证：B，E，F三点共线．【答案】(1)，，，，(2)证明见解析【详解】（1）解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，则，故，，，；（2）证明：因为，，所以，所以，又因有公共点，所以B，E，F三点共线．B能力提升15．用向量运算刻画三角形的重心．(1)已知，求一点G满足．(2)求证：满足条件的点G是的重心．（提示：说明点G同时在的三条中线上．）(1)设点D、F分别是AB、BC的中点，连接CD、AF交于点G，则G为的重心，延长CD到点E，使得DE=GD，连接AE、BE、BG，如图，由向量加法的平行四边形法则，得，因为G为的重心，所以，故，所以，所以的重心G满足题意；(2)因为，所以，以GA、GB为邻边作，连接GE，由向量加法的平行四边形法则，，所以，设AB与GE交于点D，由平行四边形的性质可知点D为AB和GE的中点，所以，即G在中线CD上，且CG=2GD，同理可证G也在其它两边的中线上，即G是三角形三条中线的交点，所以G为的重心.16．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设，将用，，表示；(2)设，，证明：是定值．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】(1)解＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝＝×(＋)＝＋.②而，不共线，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．C综合素养17．已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，.（1）求；（2）求证：.（3）求的取值范围.【答案】（1