（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 精讲（解析版）

7.2.1复数的加、减运算及其几何意义(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:复数加、减法的代数运算题型2：复数的加、减法几何意义题型3：根据复数加、减运算结果求参数题型4：与复数的模的几何意义有关的应用三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：复数代数形式的加法运算及其几何意义（1）复数的加法法则设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数（2）复数加法满足的运算律对任意，有交换律：结合律：（3）复数加法的几何意义如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.知识点2：复数代数形式的减法运算及其几何意义（1）复数的减法法则类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作注意：①两个复数的差是一个确定的复数；②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.（2）复数减法的几何意义复数 向量知识点3：()的几何意义在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.二、重点题型分类研究题型1:复数加、减法的代数运算典型例题例题1．在复平面内，复数，，，则复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】因为z＝z1＋z2＝＋＝－2＋i，所以实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限，故选:B例题2．已知、，且，（其中为虚数单位），则____________．【答案】##【详解】.故答案为：.例题3．若复数在复平面上所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是_______．【答案】【详解】解：，因为复数在复平面上所对应的点在第二象限，所以，解不等式组得，故答案为：例题4．化简下列复数（1）（2）【答案】（1）；（2）.【详解】（1）.（2）.同类题型演练1．若(，是虚数单位)，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，即，所以，所以.故选：B.2．在平行四边形中,对角线与相交于,若向量,对应的复数分别是,,则对应的复数是()A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意可得，在平行四边形中，则，所以对应的复数为，故选D．3．______．【答案】【详解】.故答案为：题型2：复数的加、减法几何意义典型例题例题1．在复平面内，为原点，四边形是复平面内的平行四边形，且，，三点对应的复数分别为，，，若，则=（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为，所以由复数加法的几何意义可得，.故选：C.例题2．复平面上有、、三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为______．【答案】【详解】因为对应的复数是，对应的复数为，又，所以对应的复数为，又，所以点对应的复数为，所以点的坐标为．故答案为：．例题3．设向量及在复平面内分别与复数及复数对应，试计算，并在复平面内表示出来【答案】z1－z2＝1＋2i，作图见解析.【详解】解:z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i，，则即为z1－z2所对应的向量，如图所示，根据复数减法的几何意义：复数z1－z2是连接向量,的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.例题4．已知平行四边形中，与对应的复数分别是与，两对角线与相交于点.（1）求对应的复数；（2）求对应的复数；（3）求的面积.【答案】（1）－2＋2i；（2）5；（3）.【详解】由题意，画出平行四边形如下图示（1）在平行四边形ABCD中，有∴有=(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i即对应的复数是－2＋2i（2）∵=(3＋2i)－(－2＋2i)＝5即对应的复数是5（3）∵∴，而，，即∴cos∠APB＝，故sin∠APB＝，故即的面积为同类题型演练1．在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为______．【答案】5【详解】依题意得对应的复数为，所以A，C两点间的距离为．故答案为：5．2．在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是______________.【答案】【详解】因为向量，对应的复数分别是，，所以故答案为：3．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：（1）向量对应的复数；（2）向量对应的复数；（3）向量对应的复数．【答案】（1）－3－2i；（2）5－2i；（3）1＋6i．【详解】（1）因为，所以向量对应的复数为－3－2i；（2）因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i；（3）因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i．4．在复平面内，分别对应复数，以AB,AC为邻边作一个平行四边形，求点对应的复数及的长.【答案】z4＝7＋3i，【详解】如图所示：对应复数z3－z1，对应复数z2－z1，对应复数z4－z1.由复数加减运算的几何意义，得，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1).∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.∴AD的长为＝.题型3：根据复数加、减运算结果求参数典型例题例题1．设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，则，则，所以，，解得，因此，.故选：C.例题2．若，则=（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设复数z=x+yi(x，y∈R)，依题意有+x+yi=3+i，因此解得故z=+i.故选：C.例题3．（多选）若，则可能为（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】设，则，由题意可得解得或所以或．故选：AC例题4．已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为______．【答案】【详解】由题意可得，即，根据两个复数相等的充要条件可得，解得，故答案为：.同类题型演练1．若，则的实部可能是（

）A．3 B．1 C． D．【答案】A【详解】设，因为，所以，得，所以，所以，则的实部，故选：A2．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】设，则．由得，则，所以，，所以．故选：B.3．已知复数z满足，则z的虚部是（

）A． B．1 C． D．i【答案】A【详解】设，因为，可得，则，可得，所以复数的虚部是.故选：A4．，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，则，故，故，故.故选：.题型4：与复数的模的几何意义有关的应用典型例题例题1．非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（

）A．、、三点共线 B．是直角三角形C．是等边三角形 D．以上都不对【答案】B【详解】解：设，则，故，因为，所以，所以，所以或，故或，当时，，当时，，所以，所以是直角三角形，故、、三点不共线且不是等边三角形.故选：B.例题2．根据复数加法的几何意义，证明：．【详解】设复数所对应的向量是,复数所对应的向量是,若复数，有一个为0，或者均为0，不等式显然成立；若向量，不是零向量且共线时，显然成立，不等式左侧在两向量共线反向时等号成立，不等式右侧在两向量共线同向时等号成立；若向量，不是零向量且不共线时，如图：由三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得成立.综上：.同类题型演练1．（多选）已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则（

）A．当时，B．当时，C．若，则存在实数，使得D．若，则【答案】AC【解答】对A，即，两边平方可得，A对；对，取，则，当，B错；对，即，两边平方可得，故，故，因此存在实数，使得，C对；对，取，但，D错.故选：AC2．（多选）设非零复数、所对应的向量分别为，，则下列选项能推出的是（

）A． B．C．D．【答案】AD【详解】A：等价于将绕原点逆时针旋转得到，即，符合；B：等价于，即共线，不符合；C：等价于，但不一定有，不符合；D：等价于，两边平方并应用数量积的运算律可得，即，符合.故选：AD三、高考（模拟）题体验1．当时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】由题意得，，，，复数在复平面内对应的点位于第四象限．故选：．2．在复平面内，复数对应的点在第二象限，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：依题意设，且，，所以，因为，所以，解得或（舍去）；所以；故选：A3．设，则（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【详解】解：因为，所以，所以；故选：C4．复数满足：，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，，，解得：，.故选：D.5．设，则复数对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】设，则，所以，，故，