（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练8.6.2直线与平面垂直的性质定理 （第2课时） （精讲）（解析版）

8.6.2直线与平面垂直的性质定理（第2课时）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:利用直线与平面垂直证明线线平行题型2：利用直线与平面垂直证明线线垂直题型3：直线与平面垂直的性质定理的综合运用题型3：空间中的距离问题角度1：点面距角度2：线面距角度3：面面距题型4：直线与平面所成角探索性问题三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：直线与平面垂直的性质定理(定义)（1）定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线.（2）符合语言：，.（3）图形语言：（4）定理应用：线面垂直线线垂直.知识点2：直线与平面垂直的性质定理（1）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.（2）符合语言：，（3）图形语言：（4）定理应用：垂直与平行的转换①线面垂直线线平行②作平行线知识点3：点面距、线面距、面面距（1）点到平面的距离过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.①图形语言：如图，线段的长度就是点到平面的距离.②点面距的范围：.③常用方法：等体积法（2）直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.①图形语言：线段的长度就是直线到平面的距离.②当直线与平面相交或时，直线到平面的距离为0.（3）平面到平面的距离如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.①图形语言：线段的长度就是平面到平面的距离(2)当平与平相交时，平面到平面的距离是0.二、重点题型分类研究题型1:利用直线与平面垂直证明线线平行典型例题例题1．若直线平面，直线平面，则直线与直线的位置关系为（

）A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或异面【答案】C【详解】由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线平面，直线平面时，直线与直线平行.故选：C.例题2．（多选）已知，，是三条直线，是一个平面，下列命题不正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】BC【详解】对A，根据直线平行的传递性，故A正确；对B，垂直于同一直线的两个直线可以相交、平行、异面，故B错误；对C，平行同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故C错误；对D，垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确.故选：BC例题3．如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：【详解】证明：在中，，所以，，在中，，，，由余弦定理得，所以，所以，同理可得，在中，，且，在中，，所以，因为，，平面，所以平面，在中，，在中，，则，因为，平面，所以平面，所以.例题4．已知空间几何体中，，是全等的正三角形，平面平面，平面平面.(1)若，求证：；(2)证明：.(1)因为、是全等的正三角形，所以，又因为，所以，故，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以；(2)分别取，中点，，连接，，，因为是等边三角形，所以，，因为平面平面，平面，所以平面，同理平面，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又，所以．同类题型演练1．设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线．给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，则．其中正确的命题是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】D【详解】如图，长方体中，对于①，令平面为平面，直线分别为直线m，n，显然有，，而直线m，n相交，①不正确；对于②，令平面，平面分别为平面，，直线为直线m，显然有，，而平面与相交，②不正确；对于③，因，，则，又，因此，③正确；对于④，因，，则，又，因此，④正确，所以正确命题的序号是③④.故选：D2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.【详解】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.3．在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．【详解】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC．因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因为l⊥平面PCD，所以l∥AE．4．如图，已知，于点A，于点B，，，求证：．【答案】见解析【详解】证明：因为，，所以，又因为，，所以，又，平面，所以平面，因为，，所以，又，，所以平面，所以.题型2：利用直线与平面垂直证明线线垂直典型例题例题1．如题图，正方体中，为棱上一点．(1)试过点在平面上作直线，写出作法，并说明理由；(2)若为棱中点，是棱中点，求异面直线与所成角的大小．【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）连接，在平面上过点P作交AD于Q，如图所示平面，则，又，，则平面，而平面，所以.（2）连接，如图所示：由P、Q分别是和AD中点，得，则是异面直线PQ与所成角（或其补角），连接，在中，，则，所以异面直线PQ与所成角的大小为．例题2．如图，在三棱柱中，，且，底面，为中点．(1)求证：；(2)求证：平面【详解】（1）底面且平面，，又且，平面，平面，又平面，（2）取的中点，连接，因为分别为的中点可知，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，又因为，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面例题3．如图所示，已知平面，，分别是，的中点，．(1)求证：平面；(2)求证：；【详解】（1），分别是，的中点，，平面，且平面，平面；（2）平面，，分别是，的中点，，，平面，平面，平面，.例题4．已知空间几何体中，与均为等边三角形，平面平面平面．求证：.【详解】证明：取的中点，连接，因为与均为等边三角形，所以，又，所以平面，平面，所以.例题5．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，点在棱上，平面平面.(1)证明：；(2)若平面，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，，平面．平面，平面，；（2）解：连接交于点，连接，因为平面，平面平面，平面，所以，因为为的中点，则为的中点，因为，底面为平行四边形，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，因为，，所以，又，所以，则，所以，所以，所以.同类题型演练1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，，，F是PD的中点，点在棱CD．(1)求四棱锥P－ABCD的表面积；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）解：已知平面，平面，，而底面ABCD是矩形，则，又，平面，，∴平面，平面ABP，∴，∴，同理可得，∴.（2）证明：∵平面，平面，∴，又四边形是矩形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴，又∵，点F是的中点，∴，而，∴平面，∵平面，∴．2．如图，四棱锥E-ABCD中，EA=EB，AB//CD，AB⊥BC，AB=2CD．(1)求证：AB⊥ED；(2)线段EA上是否存在点F，使DF//平面BCE？若存在，求出；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，.（1）在四棱锥E-ABCD中，取AB中点O，连接EO，DO，如图，因EA=EB，则EO⊥AB，而AB//CD，AB=2CD，则有BO//CD，BO=CD，即四边形OBCD是平行四边形，又AB⊥BC，则四边形OBCD为矩形，即有AB⊥DO，而，平面，因此AB⊥平面EOD，又平面，所以AB⊥ED．（2）点F满足，即F为EA中点时，有DF//平面BCE，取EB中点G，连接CG，FG，因F为EA中点，则FG//AB，，又AB//CD，，于是得FG//CD，FG=CD，即四边形CDFG是平行四边形，有DF//CG，又平面BCE，平面BCE，因此DF//平面BCE，所以存在点F使DF//平面BCE，.3．在四棱锥中，底面，，,，．证明：.【详解】证明：在四边形中，作，，垂足分别为、，因为，，，所以四边形为等腰梯形，在等腰梯形中，，，则，又因为，则四边形为矩形，则，因为，，，所以，，则，故，，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，、平面，所以平面，又因为平面，所以.4．如图，是边长为的等边三角形，、分别是、的中点，是的重心，将沿折起，使得点到达点的位置，点在平面的射影为点．证明：.【详解】证明：连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，所以在上，且，又点在平面的射影为点，即平面，因为平面，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以．5．如图，三棱柱中，是底面边长为2的正三棱锥．（1）求证：；（2）若异面直线与所成的角为，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）取的中点，连，交于，连、，因为是正三棱锥，所以三角形为正三角形，所以为三角形的中心，所以平面，所以，因为，且，所以平面，所以，又，所以.（2）因为，异面直线与所成的角为，所以，又是底面边长为2的正三棱锥．所以为正三角形，所以，连，则，所以，所以，所以.题型3：直线与平面垂直的性质定理的综合运用典型例题例题1．如图，在棱长都等于1的三棱锥中，是上的一点，过作平行于棱和棱的截面，分别交，，于，，．(1)证明截面是矩形；(2)在的什么位置时，截面面积最大，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)是的中点时，截面面积最大【详解】（1）平面，平面平面，平面，，同理，，同理，四边形是平行四边形，取中点，连接，，，是中点，，同理，又，平面，平面，平面，，又，，，即四边形是矩形.（2）设，，由（1）知，又，，则，当时，最大，即是的中点时，截面面积最大.例题2．在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点.(1)证明：；(2)若，求点到平面的距离.【答案】(1)见解析；(2).【详解】（1）分别连接，，为中点，为等边三角形，点在底面上的投影为点，平面，平面，，又平面平面，面，面，.（2）设点到平面的距离为,点到面的距离为，，为在底面上的投影,为与面所成角，，垂直平分，，为正三角形，，Rt中，易得，，，到的距离为，，又，由，，，，点到平面的距离为例题3．如图，三棱台中，，，四边形为等腰梯形，，平面平面.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：延长AD、BE、CF交于点P，∵四边形ACFD为等腰梯形，∠ACF＝45°，∴∠APC＝90°，即CP⊥AP，∵平面ABED⊥平面ACFD，平面平面ACFD＝AP，平面ACFD，∴CP⊥平面ABED，∵平面ABED，∴CP⊥AB.（2）由AC＝2AB＝2DF，可知D为PA的中点，设AB＝DF＝a，则，，由（1）知，CP⊥AB，∵∠ABC＝90°，即AB⊥BC，，CP、平面PBC，∴AB⊥平面PBC，∴AB⊥PB，∴，，过点P作PM⊥BC于点M，∵AB⊥平面PBC，平面PBC，∴AB⊥PM，又，AB、平面ABC，∴PM⊥平面ABC，∴PM⊥BC，由（1）知，CP⊥平面ABED，∴CP⊥PB，∴，即，∴，∵D为PA的中点，∴D到平面ABC的距离，∴直线BD与平面ABC所成角的正弦值为.例题4．在三棱锥中，，，、分别是棱、的中点.(1)证明：；(2)线段上是否存在点，使得平面?若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，当上的点满足.【详解】（1）取的中点，连接，，如图，因，，则，，而平面，平面，，于是得平面，又平面，所以.（2）当上的点满足时，平面连接交于，连接，、分别是、的中点，则是△的重心，有，即有，因此，而平面，平面，所以平面．同类题型演练1．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)；(2)平面ABE．（1）在四棱锥中，∵底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴，∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴平面PAC．而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．（2）由AB＝BC，，得，又PA＝AB＝BC，所以AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE．2．如图，在三棱锥A­BCD中，且AD⊥DC，AC⊥CB，面ABD⊥面BCD，AD＝CD＝BC，E为AC的中点，H为BD的中点.(1)求证：AD⊥BC；(2)在直线CH上确定一点F，使得AF∥面BDE，求AF与面BCD所成角的度数.【答案】(1)证明见解析(2)45°（1）证明:，为中点，所以，又面面，且面面，所以面，则，又,,,所以面，所以.（2）在CH延长线上取点F，使FH＝HC，且为中点，则四边形BCDF为平行四边形，又EH∥AF，EH⊂面BDE，AF⊄面BDE，∴AF∥面BDE，又AD⊥面BCD，∴∠AFD即为AF与面BCD所成的角，又DF＝BC＝AD，∴∠AFD＝45°，即AF与面BCD所成的角为45°3．如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，.(1)求证：；(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点为棱的中点【详解】（1）因为平面底面，平面底面，平面，所以平面.又因为平面，所以.（2）解：存在，点为棱的中点.连接，交于点，连接，如图所示：因为底面为平行四边形，所以点为的中点.在中，因为点分别为的中点.所以，且.又因为平面平面，所以平面.4．如图，四棱锥的底面是矩形，E为侧棱的中点，侧面是正三角形，且侧面底面．(1)求证：平面；(2)当为何值时，使得？【答案】(1)证明见解析；(2)（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又侧面是正三角形，E为侧棱的中点，所以，因为，，，所以平面；（2）设的中点为，连接，则，又平面平面，平面平面，所以平面，所以是在平面上的射影，要使得，只需要，在矩形中，设，由，可知，又，所以，所以，所以，即，所以，所以，所以当为何值时，使得题型3：空间中的距离问题角度1：点面距典型例题例题1．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于是的中点，所以到平面的距离等于到平面的距离，设这个距离为，由题可知，所以，由于，所以，所以.故选：A例题2．如图，棱长为2的正方体中，点是的中点，是侧面的中心，则到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：连接，因为是侧面的中心，所以，因为，由正方体的性质知，所以，是平行四边形，所以，因为平面，平面所以平面，所以，到平面的距离与到平面的距离相等，设到平面的距离为中，，，因为，所以，，解得所以，到平面的距离为故选：A例题3．在正四棱柱中，，，则点到平面的距离为_____.【答案】【详解】设点A到平面的距离为d，由，即可得故答案为：例题4．已知三棱锥的高为分别为的中点，若平面，平面，平面相交于点，则到平面的距离为___________.【答案】【详解】如图所示，平面ABD与平面BCE交于BQ，平面ABD与平面ACF交于AP，所以O为AP与BQ的交点.因为D，E，F分别为VC，VA，VB的中点，所以P，Q分别为，的重心，所以，连接DO并延长交AB于H，连接PQ，设PQ与DO交于S，则，，易得，所以，，所以，设三棱锥的高为，三棱锥的高为，所以，所以，故.例题5．在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面，．为的中点，则点到平面的距离为______．【答案】【详解】因为平面ABC，平面ABC，所以，依题意可知平面，所以平面，由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，即到平面的距离是.,，所以，由于，所以，，设到平面的距离为，则，即.故答案为：角度2：线面距典型例题例题1．若正四棱柱的底面边长为1，与底面所成角的大小为60°，则到底面的距离为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【详解】由题意，B1B⊥平面ABCD，所以∠B1AB是AB1与底面ABCD所成的角，则∠B1AB＝60°，因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面边长为1，所以B1B＝AB×tan60°＝，即正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱长为.又因为A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，所以A1C1到底面ABCD的距离为A1A＝.故选：D.例题2．如图，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则到平面的距离是________．【答案】【详解】因为，且面，所以，面，则A1B1到平面D1EF的距离为到面的距离，且明显可见，面，对于三棱锥，有，设到面的距离为，由题意得，，，，在中，得到，，所以，，化简得，进而可得，故答案为：例题3．在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为___________.【答案】.【详解】如图，在棱长为2的正方体中，取的中点E，连接，则，且，又平面，平面，所以，而，所以平面，易知平面，则C1到平面的距离即为直线B1C1到平面的距离，所以直线B1C1到平面的距离为.故答案为：.例题4．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，的中点为.(1)求证：平面；(2)求直线到面的距离.【答案】(1)证明见解析(2).【详解】（1）连接BD交AC于O，连接FO，∵F为AD的中点，O为BD的中点，则，∵平面ACF，平面ACF，∴平面ACF.（2）因为平面平面ABCD，平面平面，，平面，所以平面ABCD.由于平面ACF，则PB到平面ACF的距离，即P到平面ACF的距离.又因为F为PD的中点，点P到平面ACF的距离与点D到平面ACF的距离相等.取AD的中点E，连接EF，CE，则，因为平面ABCD，所以平面ABCD，因为平面，所以，因为菱形且，，所以，，则，，，，设点D到平面ACF的距离为，由得即直线PB到平面ACF的距离为.例题5．在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设；（1）求的值；（2）求直线到平面的距离.【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1）∵，∴就是异面直线与所成的角，即，又连接，∵，则，∴为等边三角形，∵，，∴，∴，∴；（2）易知平面，此时有直线上的任意一点到平面的距离等于点到平面的距离，设其为，连接，又∵，，∴平面，并且，∵的面积，并且的面积，∵，∴，∴，∴直线到平面的距离为．角度3：面面距典型例题例题1．用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意知：正六面体是棱长为的正方体，，，，，平面平面，连接，，，，平面，又平面，，同理可证得：，又平面，，平面，平面，设垂足分别为，则平面与平面间的距离为.正方体的体对角线长为.在三棱锥中，由等体积法求得：，∴平面与平面间的距离为：.故选：.例题2．如图，在棱长为的正方体中，、分别是与的中点.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面之间的距离.【答案】(1)证明见解析；(2).（1）若为中点，连接，又F是CC1的中点，所以，，故为平行四边形，所以，又E是AA1的中点，易知：，所以，正方体中，而，面，由面，则面，同理面，又，面，故平面EB1D1平面FBD；（2）由（1）知：平面EB1D1与平面FBD之间的距离等于到面的距离，而，而，，故△中BD的高为，所以，而，到面的距离，所以，可得，故平面EB1D1与平面FBD之间的距离为.例题3．在棱长为的正方体中，、、、分别为、、、的中点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面之间的距离．【答案】(1)证明见解析(2)（1）证明：因为、分别为、的中点，则．又因为平面，平面，所以平面．因为，，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，所以，平面．又因为，所以平面平面．（2）解：连接分别交、于点、，则为的中点，且，因为平面，平面，，又因为，，平面，因为平面平面，所以，平面，所以线段的长度等于平面与平面之间的距离，因为、分别为、的中点，则且，且有，则，因为正方体的棱长为，所以，即平面与平面之间的距离为．例题4．如图，正方体中，.（1）求证：平面平面；（2）求两平面与之间的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】(1)正方体中，且不在平面内，所以平面同理可得，平面又平面平面；（2）如图，设，连接，，平面，，又正方体中，平面，，又，平面，根据（1），平面平面平面，图中线段EF为两平面的公垂线段，线段EF的长即为两平面间的距离，平行四边形中，分别是的中点，是线段的三等分点，，两平面与之间的距离为.题型3同类题型演练1．若四棱柱的所有棱长均为2，且，则到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，设与交于点，连接，，，，，又为的中点，，四边形为菱形，，又，平面，在平面中，过作，垂足为，则，又，平面，即到平面的距离为，由已知：，为等边三角形，，.和均为等边三角形，，，在中，由余弦定理，，，，在中，.故选：C.2．如图，在三棱柱中，，，，侧棱的长为1，则该三棱柱的高等于________【答案】##0.5【详解】过作平面、直线的垂线，交点分别为O，D，E，连接OD、OC、OE，则即为三棱柱的高，由平面，平面，可得，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，又，所以四边形为矩形，在直角三角形和中，，，侧棱的长为1，则，，所以，所以，即三棱柱的高等于.故答案为：.3．如图，正四棱柱的底面边长为2，，E为的中点，则到平面EAC的距离为________．【答案】【详解】连接，因为∥，平面，平面，所以∥平面EAC，所以到平面EAC的距离等于到平面EAC的距离，设到平面EAC的距离为，因为正四棱柱的底面边长为2，，所以，因为E为的中点，所以，所以，所以，,因为，所以,所以，解得，故答案为：.4．某中学开展劳动实习，对棱长为3的正方体木块进行加工.如图，学生需要分别过顶点A和对角线BD对正方体木块进行平面切割，两个切割面与棱，，，分别交于点M，F，E，N，要求两次切割所得到的截面平行，且，则两个截面间的距离为_____________.【答案】2【详解】连接，分别交EF，MN于点H，Q，连接AQ.连接AC交BD于点G，连接HG.因为平面平面，是分别是平面、平面与平面的交线，所以，因为平面平面，平面、平面，分别与平面交于直线、，与平面交于直线、，所以，，则四边形为平行四边形，.又因为，所以点M，F，E，N分别为棱，，，的中点在中，，由平面平面得，又，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，所以平面AMN与平面EFBD间的距离即为Q到平面BDE的距离，即为Q到GH的距离，设为h，在平行四边形AGHQ中，，则，即两个截面间的距离为2.故答案为：2．5．如图，在边长为的正方体中，为底面正方形的中心.(1)求证：直线平面；(2)求直线与平面之间的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接交于点，连接，，，四边形为平行四边形，，，四边形，为平行四边形，分别为中点，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面.（2）由（1）知：平面，则直线与平面之间的距离即为点到平面的距离，，为边长为的等边三角形，；又，，设点到平面的距离为，则，解得：，直线与平面之间的距离为.题型4：直线与平面所成角探索性问题典型例题例题1．已知正三棱柱中，，是的中点.(1)求证：平面；(2)点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)（1）证明：连接交于点，连接，因为四边形为平行四边形，，则为的中点，因为为的中点，则，平面，平面，故平面.（2）解：因为平面，与平面所成的角为，因为是边长为的等边三角形，则，平面，平面，，则，所以，，平面，，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，因为为的中点，则，则.例题2．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)，在线段上靠近点的处.（1）因为点在底面上的射影是与的交点，所以平面.因为平面,所以.因为四边形为菱形，所以.因为平面,所以平面.因为平面，所以.（2）由题意可得、与都是边长为2的等边三角形，所以,.所以.因为,所以.设点到平面的距离为，由得，即，解得.故点到平面的距离为.（3）设直线与平面所成的角为，平面，∴到平面的距离即为到平面的距离.过作垂线平面交于点，则，此时,要使最大，则需使最小，此时.经计算得，，，则，此时在线段上靠近点的处.例题3．如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形．(1)求证：；(2)在棱上是否存在一点，使与面所成角为？若存在，求的长；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，.（1）证明：如图1所示，取中点，连接，因为，所以，又因为，所以又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解：存在．如图1所示，作于点，由（1）知，因为，且平面，所以平面，设，则，，因为无解，即点在延长线上，如图2所示，所以，解得，即，所以，所以垂足与构成一个正方形，过作交于，连接,因此平面，所以平面，所以，记，则，，所以，解得，即存在满足条件．同类题型演练1．如图，三棱锥中，，，．(1)AB上是否存在点Q，使得．若存在，求出点Q的位置并证明，若不存在，说明理由；(2)若，求直线AB与平面PAC所成角的正弦值．【答案】(1)存在Q，且Q是AB中点时，，证明见解析(2)【详解】（1）存在Q，且Q是AB中点时，；证明如下：如图，取AC中点M，连结PM，QM，，，∴，又∵PA＝PC，∴，，∴平面PMQ，平面PMQ，即：；（2）如图，过点B作AC的平行线交MQ的延长线于点D，由（1）知：平面PMQ，∴平面PMD，平面PMD，，∠BDP＝90°，，，，，中，，DM＝BC＝1，，，由于平面PMQ，平面PAC，∴平面平面PAC，在中，，,点Q到平面PAC的距离，，因此AQ与平面PAC所成角的正弦值，即：直线AB与平面PAC所成角的正弦值为．2．如图，在三棱锥中，，，，为的中点.(1)证明：平面ABC；(2)若E是棱AC上的动点，当的面积最小时，求SC与平面SDE所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，又D为BC的中点，所以，且，连接，，所以为等腰直角三角形，且，，由，可知，由，，，平面，可知平面.（2）解：因为，平面，所以，，所以，当的面积最小时，取