（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练8.6.3平面与平面垂直（第1课时 平面与平面垂直的判定定理）（精练）（解析版）

8.6.3平面与平面垂直（第1课时平面与平面垂直的判定定理）（精练）一、单选题1．设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由，，可得；由，，可得，或则“”是“”的充分不必要条件故选：A2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（

）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n【答案】B【详解】对于A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又因为n∥β，由面面垂直判定定理得α⊥β，故B正确；对于C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故C错误；对于D.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，故D错误．故选：B．3．如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】连接，交点为，如图所示：，且是公共边，，，易得，，即，又，，，平面，平面，又平面，平面平面.过点作平面，垂足为，连接，，，平面，，，由是公共边，，即有，三点在以为直径的圆周上，，，，，，.故选：C4．在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E是PD中点，下列叙述正确的是（）A．CE∥平面PAB B．CE⊥平面PADC．平面PBC⊥平面PAB D．平面PBD⊥平面PAC【答案】D【详解】对于A，∵四边形ABCD是菱形，则CD∥AB，∵CD平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD∥平面PAB，若CE∥平面PAB，∵CE∩CD＝C，则平面PCD∥平面PAB，事实上平面PCD与平面PAB相交，假设不成立，故A错误；对于B，过点C在平面ABCD内作CF⊥AD，垂足为点F，∵PA⊥平面ABCD，CF⊂平面ABCD，∴CF⊥PA，∵CF⊥AD，PA∩AD＝A，∴CF⊥平面PAD，∵过C作平面PAD的垂线有且只有一条，∴CE与平面PAD不垂直，故B错误；对于C，过点C在平面ABCD内作CM⊥AB，垂足为点M，∵PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，则CM⊥PA，∵CM⊥AB，PA∩AB＝A，则CM⊥平面PAB，若平面PBC⊥平面PAB，过点C在平面PBC内作CN⊥PB，垂足为点N，∵平面PBC⊥平面PAB，平面PAB∩平面PAB＝PB，CN⊂平面PBC，∴CN⊥平面PAB，∵过点C作平面PAB的垂线有且只有一条，∴CM，CN重合，∴平面ABCD∩平面PBC＝BC，∴CM，CN，CB重合，BC⊥AB，∵四边形ABCD是菱形，BC与AB不一定垂直，故C错误；对于D，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC，故D正确．故选：D．5．如图所示，在三棱锥中，，，且是锐角三角形，那么必有（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】C【详解】，，，平面，平面，平面，平面，平面平面BCD故选：C.6．如图所示，在平行四边形中，，沿将折起，使平面平面，连接，则在四面体的四个面中，互相垂直的平面的对数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】平面平面，平面平面，，平面，故平面，平面，故平面平面；，平面，故平面，平面，故平面平面；综上所述：平面平面；平面平面；平面平面；故选：C7．如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中错误的是（

）A． B．是等边三角形C．平面平面 D．二面角的正切值为【答案】C【详解】设等腰直角三角形的腰为，则斜边，为的中点，，又平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，，故A正确；由A知，平面，平面，，又，由勾股定理得：，又，是等边三角形，故B正确；为等腰直角三角形，取斜边的中点，则，又为等边三角形，连接，则,为平面与平面的二面角的平面角，由平面可知，为直角，因此不是直角，故平面与平面不垂直，故C错误；由题意知，平面，过点作于点，连接，则，为二面角的平面角，设为，则，故D正确;故选：C.8．如图一，矩形中，，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（）A． B．平面

C．平面 D．平面平面【答案】D【详解】解：翻折前，，，翻折后，，，平面，则平面，平面，平面平面，故D正确；由上述可知二面角的平面角为，在翻折的过程中，会发生变化，故与不一定垂直，与平面不一定垂直，故B错误；设，在图一中，，，解得，，，，，，在图二中，过点在平面内作，交于点，连接，则，故，则，，不为的中点，，，则，若，，平面，则平面，平面，则，，平面，且，，为的中点，则为的中点，与已知矛盾，故A错误；由选项A知，，平面，平面，平面；若平面，则，平面，则平面平面，平面平面，平面平面，则，为的中点，则为的中点，与已知条件矛盾，故C错误．故选：D．二、多选题9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以下四个选项正确的是（）A．D1C∥平面A1ABB1 B．A1D1与平面BCD1相交C．AD⊥平面D1DB D．平面BCD1⊥平面A1ABB1【答案】AD【详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面D1CD∥平面A1ABB1，所以D1C∥平面A1ABB1，所以A选项正确；A1D1在平面BCD1内，所以B选项错误；∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C选项错误；因为BC⊥平面A1ABB1，BC包含于平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，所以D选项正确.故选：AD10．如图，在菱形中，为的中点，将沿直线翻折到的位置，连接和为的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确的是（

）A．面面B．线段长度的取值范围为C．直线和所成的角始终为D．当三棱锥的体积最大时，点在三棱锥外接球的外部【答案】AC【详解】A选项：连接，由题意在菱形中，，为的中点，所以，又，由余弦定理，故，，所以，同理，又，平面，故平面，又面，故面面，故A选项正确；B选项：如图所示，取中点，连接，，所以，且，又因为为的中点，所以，且.又由A选项得，，所以且，所以，，在中，由余弦定理得：，即，故B选项错误；C选项：由B选项得，所以直线和所成角即为与所成角，又，故，故C选项正确；D选项：当三棱锥的体积最大时，平面，由四边形为菱形，且，，故，，故在的外接圆内，又的外接圆在三棱锥外接球的内部，故点在三棱锥外接球的内部，故D选项错误；故选：AC三、填空题11．如图，点P在正方体的面对角线上运动，有以下4个结论：①三棱锥的体积不变

②平面③

④平面平面则所有正确结论的序号是______________.【答案】①②④【详解】对于①，由题意知，从而平面，故BC上任意一点到平面的距离均相等，所以以P为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故正确；对于②，连接，，，由于知：，所以面，从而由面面平行的性质可得，平面，故正确；对于③，由于平面，所以，若，则平面DCP，，则P为中点，与P为动点矛盾，故错误；对于④，连接，由且，可得面，从而由面面垂直的判定知，平面平面，故正确．故答案为：①②④12．如图，在梯形ABCD中，，，，，将沿对角线BD折起，设折起后点的位置为，并且平面平面BCD.则下面四个命题中正确的是______.（把正确命题的序号都填上）①；②三棱锥的体积为；③；④平面平面.【答案】③④【详解】若，由已知平面平面BCD，且平面与平面交线为.如图过作的垂线，垂足为,易知平面，又因为平面，所以，，与平面，可得：平面，又因为平面，所以与已知矛盾，故不成立.所以①错误.三棱锥的体积，故②错误.在中，，所以，同理在中，，又因为，在中满足，故，所以③正确.，，平面，平面，所以平面，平面，所以，平面平面.所以④正确.故答案为：③④四、解答题13．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，，平面，且，分别为，的中点，点为棱PC上一动点，证明：平面平面【详解】连接，因为底面为菱形，，所以三角形为等边三角形，因为为的中点，所以又，所以.因为平面，平面，所以因为，所以平面.又平面，故平面平面14．如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,为的中点.(1)求证:面；(2)求证:平面平面.【答案】（1）要证明线面平行，则可以根据线面平行的判定定理来证明．（2）对于面面垂直的证明，要根据已知中的菱形的对角线垂直，以及面来加以证明．【详解】试题分析：（1）由题意得只需在平面AEC内找一条直线与直线PD平行即可．设，连接EO，由三角形中位线可得即得；（2）连接PO，由题意得PO⊥AC，又底面为菱形，则AC⊥BD，由面面垂直的判定定理即得．试题解析：（1）证明：设，连接EO，因为O，E分别是BD，PB的中点，所以而，所以面（2）连接PO，因为，所以，又四边形是菱形，所以而面，面，，所以面又面，所以面面15．如图，在四棱锥中，，，底面为矩形.(1)证明：平面平面；(2)若，，求异面直线与所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)60°.【详解】（1）证明：因为，，且，平面，所以平面，因为平面，所以，又底面为矩形，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因为，所以异面直线与所成的角即（或其补角）.由（1）知，平面，因为，所以平面，因为平面，所以，从而，因为平面，所以，所以.故，从而异面直线与所成的角为60°.16．如图，矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置，.(1)证明：平面平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：因为，所以，所以，因为平面，所以平面因为平面，所以平面平面.（2）由（1）得平面，因为在中，,即所以，根据题意可做长方体如图因为由图知，所以异面直线与所成角等于直线与所成角，连接,因为,所以，设直线与所成角为，所以在中，所以异面直线与所成角的余弦值为.B能力提升17．在边长为2的正方形外作等边（如图1），将沿折起到的位置，使得（如图2）.(1)求证：平面平面；(2)若F，M分别为线段的中点，求点P到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由于，所以，由于四边形是正方形，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）连接，由于三角形是等边三角形，所以，由于平面平面且交线为，平面，所以平面.由于是的中点，所以到平面的距离是，且到平面的距离等于到平面的距离，设这个距离为.由于平面，所以，所以，，在三角形中，由余弦定理得，所以，，在三角形中，，则为锐角，，所以，，由得，解得，所以点P到平面的距离为.18．如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在侧棱上.(1)求证：平面平面；(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴.∵四边形ABCD是直角梯形，，，，∴，取AB中点为F,连接，∵四边形ABCD是直角梯形，，，，∴，，，，∴四边形ADCF为矩形，，∴.∴⊥，又，平面，∴平面PBC.∵平面EAC，∴平面平面PBC.（2）由（1）知平面PBC，又∵平面PBC，∴⊥，由（1）知，所以是二面角的平面角.由图知平面PAC与平面ACE的夹角即为二面角，∵平面PAC与平面ACE的夹角的余弦值为，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴.在中，由，得：，∴，∴，，∵∠CPB与∠CBP互余，∠PCE与∠ECB互余，∴，，∴；C综合素养19．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．(1)求二面角的大小；(2)在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置并证明，若不存在请说明理由．【答案】(1)(2)存在；设是的中点，为线段的中点；证明见解析.【详解】（1）如图，设分别是和的中点，连接，，,则,∵，是的中点,∴;又在正方形中有,∴为二面角的平面角,∵，，是的中点,∴,同理可得，又,∴是等边三角形，故,∴二面角为.（2）存在点，使平面平面，此时为线段的中点．证明如下:设，，分别为，和的中点，连接，，，,由（1）知是等边三角形，故,为的中点，故，又∵，平面,∴平面,平面，故,又,平面,∴平面,∵，分别为和的中点∴,又为线段的中点,∴，故四边形为平行四边形,∴,∴平面,又平面,∴平面平面.20．如图，在正四棱锥中，，点O为底面的中心，点P在棱上，且的面积为1．(1)若点P是的中点，求证：平面平面；(2)在棱上是否存在一点P使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明强由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，P为棱SD靠近端点S的三等分点.【详解】（1）在四棱锥S-ABCD中，正方形ABCD的边长是，则AC=2，因点S在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点O，即SO⊥底面ABCD，而AC底面ABCD，则SO⊥AC，又△SAC的面积为1，即，解得，于是得，则，因点