2021北京重点校高一（下）期中数学试卷试题汇编：三角函数的图象与性质

1/12021北京重点校高一（下）期中数学汇编三角函数的图象与性质一、单选题1．（2021·北京八中高一期中）已知，则函数的值域是（）A． B．C． D．2．（2021·北京四中高一期中）关于函数有下述四个结论：其中所有正确结论的编号是（）①是偶函数；②在区间上单调递增；③的最大值为1；④在区间上有3个零点.A．①② B．②④ C．①④ D．①③3．（2021·北京市第五中学高一期中）设函数．若存在的最值点满足，则m的取值范围是（）A． B．C． D．4．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（）A．②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④5．（2021·北京四中高一期中）已知，对任意实数都有，且，则实数的值等于（）A． B．-3 C．-1或3 D．-3或16．（2021·北京·北大附中高一期中）已知，其中在一个周期内的图象如图所示．则（）A． B．C． D．7．（2021·北京·北大附中高一期中）已知函数，当x=时，取得最大值，则的值为（）A． B．-1 C．1 D．8．（2021·北京八中高一期中）已知，且，则（）A． B． C． D．9．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）函数的一个单调递增区间为（）A． B． C． D．二、双空题10．（2021·北京四中高一期中）已知函数，某同学描点绘制函数在区间上的草图，部分列表如下：……则______；函数的单调递增区间是_________.11．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）函数的最大值为_____________，此时_________.12．（2021·北京四中高一期中）函数在区间上的最大值为_______，最小值为_______．三、填空题13．（2021·北京四中高一期中）已知函数，其中，.若对任意恒成立，则①；②；③既不是奇函数也不是偶函数；④的单调递增区间是．以上结论正确的是________（写出所有正确结论的编号）.14．（2021·北京八中高一期中）对于函数，给出下列四个命题：①函数为奇函数；②在，使；③存在，使成立；④存在，使函数的图象关于y轴对称；其中正确的命题序号是_________．15．（2021·北京四中高一期中）已知函数，若不等式在区间上有解，则的最小值为______.16．（2021·北京·北大附中高一期中）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是_______．17．（2021·北京·101中学高一期中）已知点，是函数图象上的任意两点，角的终边经过点，且当时，的最小值为.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________.18．（2021·北京四中高一期中）已知函数在一个周期内的图象如图所示，则函数的解析式为____________.19．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知则的最大值是____________.四、解答题20．（2021·北京八中高一期中）对于定义域分别是，的函数，规定：函数（I）若函数，写出函数的解析式并求函数值域；（II）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为的函数及一个的值，使得，并予以证明．21．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为.（1）写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值；（2）写出函数的“伴随向量”为，并求；（3）已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为，①若，，求的值；②求证：向量的充要条件是.22．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）设函数.（1）求函数的最小正周期和最大值，并指出取得最大值时的值；（2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求表达式和单调递增区间.23．（2021·北京八中高一期中）已知函数，且满足___________．（I）求函数的解析式．（II）若关于x的方程在区间上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①的最大值为1，②的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，③的图象过点，这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．24．（2021·北京市第五中学高一期中）己知．（I）求的最小正周期及单调递减区间；（II）求函数在区间上的最大值和最小值．25．（2021·北京·北大附中高一期中）已知函数．从①；②．这两个条件中选择一个作为已知条件，完成问题（1）至（3）．我选择的是(填写选择的条件序号①或②)（1）求．（2）求的最小正周期．（3）求时，函数的最大值和最小值．26．（2021·北京·清华附中高一期中）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值，并求取得最值时相应的的值．27．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）如图，已知函数的图象(部分).（1）分别求出函数的最小正周期和的值；（2）直接写出函数值域；（3）直接写出函数的一个对称中心坐标和一条对称轴方程.28．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）已知函数.（1）求的值；（2）求当为何值时，函数取到最大值，最大值为多少？29．（2021·北京四中高一期中）已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数的单调递减区间.30．（2021·北京·北大附中高一期中）已知函数．（1）求函数的单调递增区间．（2）求函数的单调递增区间；（3）求函数的对称轴方程；（4）求解不等式．

参考答案1．A【分析】把转化为关于的二次函数即可求得.【详解】因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以.故函数的值域是.故选：A.【点睛】三角函数的值域有以下几类：（1）标准正弦、余弦函数的值域，直接求解；（2）正弦型、余弦型函数利用换元法，转化为求标准正弦、余弦函数；（3）含sinx或cosx的复合函数型的直接求外函数的值域.2．A【分析】先化简函数解析式再结合三角函数性质进行求解．【详解】由函数解析式易得的定义域，且对任意，有，为偶函数，故①正确；当，易得，，当时，，易知此时单调递增，故②正确；由函数解析式易得函数在，上的最大值为2，故③错误；当，函数，有无数解，故④错误．故选：．3．B【分析】根据为函数的最值点，得出，，，再将存在性条件转化为求的最小值，最后解不等式即可.【详解】因为为函数的最值点，所以，，，.有，若存在的最值点满足，则，，解得或.故实数的取值范围为.故选：B.4．C【分析】根据三角函数的解析式，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．【详解】∵=，∴==；图象是将=在轴下方的图像对称翻折到轴上方得到，所以周期为，由周期公式知，为，为，故选：C.5．D【分析】根据得出函数的对称轴即函数取得最值的值，结合求出的值．【详解】对任意实数都有，所以函数的对称轴是，此时函数取得最值，又，所以，解得或．故选：．6．B【分析】根据图象最值，可求得A值，根据图象的周期性，结合公式，即可求得值，根据五点作图法，代入数据，即可得值，即可得答案.【详解】观察可得图象最大值为2，最小值为-2，所以A=2，因为，所以，解得，根据五点作图法可得：，解得，所以.故选：B7．C【分析】由题设，结合辅助角公式有且，利用正弦函数的性质有求，即可知的值.【详解】由题设，且，∵x=时，取得最大值，∴，即，故，，∴.故选：C8．D【分析】先利用诱导公式变形为全是余弦的式子，再利用余弦函数的单调性可求得答案【详解】解：由，得，因为，所以，故选：D9．C【分析】由题意，即求的减区间，结合正弦函数的单调性，得出结论．【详解】函数的增区间，即的减区间，为，，．结合，，可得的减区间为，，故选：．10．；【分析】根据表格可求得函数的解析式，从而可求的值；然后再利用整体代入法求函数的单调递增区间.【详解】因为，，所以，又时，；时，，所以，所以，所以；由，得，所以函数的单调递增区间是.故答案为：；.11．3【分析】利用函数的单调性，结合的范围求解最大值即可．【详解】函数是增函数，所以时，函数取得最大值：3．故答案为：3；．12．2【分析】利用余弦函数的性质，即可求得函数的最值．【详解】，时，函数取得最大值2；时，函数取得最小值故答案为：2，；13．①③【分析】根据辅助角公式对函数进行化简；然后利用已知条件中的不等式恒成立，得到，从而求的值；再通过整体思想研究函数的性质即可.【详解】，其中，因为对任意恒成立，所以，即，所以，所以，所以，故①正确；，，所以，故②错误；，易知当时，函数为偶函数，当时，函数为奇函数，而我们求出，所以既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；因为，所以当为偶数时，，所以当为奇数时，，所以的值不同函数在某个区间上的单调性不同，故④错误.故答案为：①③.14．②④【分析】先用辅助角公式将函数化简，然后结合三角函数的图像和性质即可判断.【详解】，①错误；，则，所以，，②正确；若，则，因为，所以周期，③错误；，显然时，，关于y轴对称，④正确.故答案为：②④15．【分析】由题意,当时，≥1能成立，故有，由此求得m的范围.【详解】∵函数，若不等式在区间上有解，∴≥1在区间上有解，即当时，≥1能成立∵，∴，∴则m的最小值为.故答案为:.16．【分析】利用正弦函数的单调减区间，确定函数的单调减区间，根据函数在区间，上单调递减，建立不等式，即可求取值范围．【详解】解：令，则，函数在区间，上单调递减，所以，解得，又因，所以，即，所以，可得的取值范围是．故答案为：．17．【分析】由的终边上的点可求出的值，再由题可得，即可求出，可得解析式；根据可得的范围，不等式化为，求出的最大值即可.【详解】（1）角的终边经过点，所以，又，所以，因为当时，的最小值为，所以，即，所以，可得，当时，，，所以，所以，于是即为，由，，，所以，得的最大值为，所以实数的取值范围是.故答案为：.18．【分析】根据最值求，根据周期求，最后找点代入求.【详解】由图象知：，所以，又因为，所以，所以，又，所以，即，又因为，所以，所以.故答案为：.19．【分析】用分离参数法转化为，利用正弦函数的有界性即可求出的最大值.【详解】由，可得：因为，所以，所以，所以即的最大值是-2.故答案为：-220．（I），值域为，（II），，证明见解析.【分析】（I）先根据题意分和讨论来求函数的解析式，进而再求每一段值域，最后取并集即可得分段函数的值域；（II）构造函数，，求出，进而可证明.【详解】（I）若函数，则，，当时，；当时，；所以当时，，，此时，当时，；所以函数值域为，（II）令，，则，所以【点睛】关键点点睛：本题需要有较强的阅读能力，猜想和创新能力，要采用逆推的方法即即可想到所构造的.21．（1）；最大值为；（2）,；（3）①；②证明见解析.【分析】（1）根据伴随函数的定义写出函数结合辅助角公式化简整理，即可求出最值；（2）结合两角和的余弦公式可化简得，进而表示出向量，即可求出模长；（3）①结合平面向量的线性坐标运算和辅助角公式即可求出结果；②由两角和的正弦公式，可推出，充分性：找出时，满足的条件，可得证；必要性：当时，,带入的解析式中，即可知.【详解】（1）,因为，所以最大值为.（2）所以所以（3）设，①设，根据定义得出，其中，由知.②充分性：，等号成立当且仅当存在使得，其中，所以，，即得.必要性：当时，，，当且仅当时，取得最大值.22．（1），，；（2），.【分析】(1)将函数化为的形式，再求函数的最小正周期和最大值，及此时取得最大值时的值即可；(2)根据图象变换求出的解析式，再求其单调递增区间即可.【详解】(1)所以周期；当，即时，.(2)由题意知，，由，得，所以函数的单调增区间为.23．（I）；（II）.【分析】（I）利用余弦的二倍角公式诱导公式化简即可求解；（II）选①利用最大值求出的值，可得的解析式，数形结合即可求解；选②根据题意可得是的最小值，求出的值，可得的解析式，数形结合即可求解；选择③将点代入求出的值，可得的解析式，数形结合即可求解；【详解】（I）选①:的最大值为1，则，即，所以，选②:的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，由题意可得：直线的两个相邻交点的距离为一个最小正周期，所以是的最小值，即，可得，所以，选③：的图象过点，则，解得：，所以，（II）由题意可得即在区间上有两个不同解，当时，，所以，可得：，所以实数m的取值范围.24．（1），；（2）最大值为，最小值为.【分析】（I）结合降幂公式以及辅助角公式化简函数的解析式，从而可以求出最小正周期与单调递减区间；（II）先求出，结合的图象与性质求得，进而可以求出结果.【详解】（I）所以最小正周期;因为在上单调递减，所以，即，所以单调递减区间为；（II）因为，所以，故，因此，所以，因此函数在区间上的最大值为，最小值为.25．若选择①，（1）2.（2）.（3）最大值为，最小值为0；若选择②，（1）2.（2）.（3）最大值为，最小值为1.【分析】若选择①：利用降幂公式，辅助角公式，化简可得的解析式.（1）代入数据，可求得的值，（2）根据最小正周期公式，即可求得答案；（3）根据x的范围，求得的范围，根据正弦型三角函数的性质，即可求得最值.若选择②：根据同角三角函数的关系，整理可得关于的一元二次函数.（1）代入数据，可求得的值；（2）根据的最小正周期，即可得的最小正周期；（3）根据x的范围，可得的范围，结合二次函数的性质，即可求得答案.【详解】若选择①，则，（1）；（2），所以的最小正周期为；（3）因为，所以，所以当时，的最大值为1，所以的最大值为；当时，的最小值为，所以的最小值为0.若选择②，则，（1）；（2）因为，且的最小正周期为，所以的最小正周期为；（3）因为，所以，所以当时，的最大值为，当时，的最小值为126．（1）；（2）当时，最小值为；当时，最大值为．【分析】（1）首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期；（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步确定函数的最大和最小值．【详解】（1）函数．故函数的最小正周期为．（2）由于，所以，故．故即当时，函数的最小值为，当时，函数的最大值为．27．（1）；（2）[