2021北京重点校高一（上）期中数学汇编：单调性2

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单调性2一、单选题1．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是A． B． C． D．2．（2021·北京·清华附中高一期中）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A． B．C． D．3．（2021·北京·人大附中高一期中）若是偶函数，且、都有，若，则不等式的解集为（）A．或 B．或C．或 D．4．（2021·北京·人大附中高一期中）函数，则下列结论中错误的是（）A．的图象关于点对称B．在其定义域上单调递增C．的值域为D．函数有且只有一个零点5．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．6．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）下列函数中在上单调递增的是（）A． B． C． D．7．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A． B． C． D．8．（2021·北京市第十三中学高一期中）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A． B．C． D．9．（2021·北京市第十三中学高一期中）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数二、填空题10．（2021·北京市第十三中学高一期中）已知函数在上单调递增，若，则满足的实数的取值范围是______三、解答题11．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.12．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函数.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；（3）在（2）成立的条件下，解不等式.

参考答案1．C【分析】先根据偶函数的定义域关于原点对称求出，再根据偶函数的对称性和题设给的的增减性解题即可【详解】是定义在上的偶函数，，解得，的定义域为又，当时，在单调递减，再由偶函数的对称性可知，解得答案选C【点睛】本题考查偶函数的基本性质、利用偶函数的性质解不等式，易错点为解题过程中忽略所有括号中的取值都必须在定义域内2．D【分析】题目考察奇偶性和单调性的结合，观察四个选项可以发现，只要比较的大小即可，其中不在区间内，要用偶函数的性质转化为，然后根据单调性比较大小【详解】因为函数是偶函数，所以，因为在上是增函数，且，所以，即故选：D3．D【分析】分析出偶函数在上为增函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集.【详解】、都有，不妨设，则，故函数在上为增函数，因为函数为偶函数，故，由可得，可得，解得.因此，不等式的解集为.故选：D.4．A【分析】根据的图象上的点关于对称的点不在的图象上，可知A不正确；利用的奇偶性以及在上的单调性，可知在其定义域上单调递增，故B正确；求出函数的值域，可知C正确；求出函数的零点，可知D正确.【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数，的图象关于原点对称，在的图象上取点，它关于对称的点不在的图象上，故A不正确；当时，为增函数，又为奇函数，且，所以在其定义域上单调递增，故B正确；当时，，又为奇函数，所以当时，，又，所以的值域为，故C正确；令，得，得，所以函数有且只有一个零点，故D正确.故选：A5．A【分析】由题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】由于函数是上的减函数，则函数在上为减函数，所以，对称轴，解得.且有，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.6．B【分析】由函数的单调性逐一判断即可求解【详解】对于A：在上单调递减，故A错误；对于B：在上单调递增，故B正确；对于C：在上单调递增，故C错误；对于D：在上单调递减，故D错误；故选：B7．D【分析】根据函数解析式直接判断函数的奇偶性和单调性可得解.【详解】函数不是奇函数，故A不正确；函数是奇函数，但不是增函数，故B不正确；函数是奇函数，但不是增函数，故C不正确；的图象如图：所以函数是奇函数且是增函数.故选：D8．A【分析】根据图形可得，再根据偶函数可判断.【详解】由图可得当时，单调递减，，是定义在上的偶函数，，.故选：A.9．C【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，等价于对于任意两个不相等的实数，总有.所以函数一定是增函数.故选：C10．【分析】由题意可得，再根据单调性去掉，解不等式即可.【详解】因为，所以，因为函数在上单调递增，所以，可得，所以满足的实数的取值范围是，故答案为：.11．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用函数奇函数的性质求的值；（2）利用函数是奇函数，求的解析式，即得函数的解析式；（3）利用函数是奇函数，变形为，再利用函数的单调性，解抽象不等式，利用不等式恒成立，求参数的取值范围.【详解】解：（1）因为定义域为的函数是奇函数，所以.（2）因为当时，，所以，又因为函数是奇函数，所以，所以，综上，（3）由，得，因为是奇函数，所以，又在上是减函数，所以，即对任意恒成立，令，则，由，解得，故实数的取值范围为.12．（1）奇函数，证明见解析；（2）单调增函数，证明见解析；（3）.【分析】（1）先求函数的定义域，再判断与的关系，即可得到答案；（2）任取，作差判断与的大小关系；（3）利