“考研”数学二真题中二重积分相关问题研究

绪论二重积分是高等数学课程的重要内容之一，是“考研”数学二真题中常考的内容，有时是以填空题或选择题形式出现在真题中，有时是以综合类的大题出现在真题中。考研中关于二重积分的题目主要考察二重积分的定义，二重积分的性质，二重积分的计算，偶尔会考察二重积分的应用。本文将围绕历年考研数学二考试大纲中的二重积分问题对二重积分真题进行解答和分析，针对不同的二重积分题型，总结出不同的解法。随着近年来全国考研人数的增加，考研的竞争力越来愈大，抓住考研题的每一分都是能否考上研究生的关键，二重积分问题在考研数学二中属于中等难度题目，所以对于考研题中出现的二重积分问题尽量不使自己出错。而通过对考研数学二中的二重积分的相关问题的分析和总结，能够使学生更加清晰明了的理解二重积分问题，使学生用合理的方法解决不同的二重积分问题，对做二重积分相关问题有着巨大的帮助，同时能够提高学生的逻辑思维能力。2011年，青岛理工大学琴岛学院的孙卫卫、杜美华在科技信息发表了《二重积分的计算方法》，主要概括了如何将二重积分化为二次积分，并对一些特殊类型的二重积分的解题技巧进行了总结，见文献[1]；2011年，赵赫在衡水学院学报上发表了《几种特殊类型二重积分的计算技巧》,见文献[2]；2011年，曹毅在江苏技术师范学院学报上发表了《简化二重积分的方法》,见文献[3]；2012年，袁荣在数学学习与研究发表了《利用极坐标计算二重积分的方法和技巧》,见文献[4]；2015年，潘伟等人在牡丹江师范学院学报上发表了《二重积分计算技巧研究》主要以研究生考试试题为例，总结并拓展二重积分的计算技巧，为进一步学习奠定基础，见文献[5]；2015年，张辉等人在商丘职业技术学院学报上发表了《谈二重积分的计算方法》，见文献[6]；2016年，来阿龙在农村经济与科技上发表了《二重积分的几种计算方式》，本文主要是利用二重积分某些特殊性质及定理总结出几条比较简单的方法，使一些题目在求解的过程中更加简单明了，见文献[7]；2016年，马艳丽等人在玉溪师范学院学报上发表了《关于二重积分计算法的补充》,见文献[8]；2017年，黄治文在数学学习与研究上发表了《二重积分的计算与应用》，见文献[9]；2018年，白亚旭等人在佳木斯大学学报上发表了《二重积分简便运算的证明》，见文献[10]；2018年，刘红梅在普洱学院学报上发表了《二重积分计算巧用对称性简化求解》，通过系列的证明以及推导指出二重积分在区域对称以及函数奇偶下具有简化二重积分的性质，并通过具体的实例进行求解进一步证明，巧妙利用二重积分的对称性质能极大地简化二重积分问题，提高求解效率，见文献[11]；2019年，郑剑平在赤峰学院学报上发表了《计算二重积分的几种简便方法》，在二重积分的计算中，常用的方法是利用直角坐标或极坐标把二重积分化成二次积分计算，但对于某些二重积分可以利用二重积分的对称性、两个定积分相乘、二重积分的分布积分公式等简便方法计算，详见文献[12]；2019年雍龙泉在湖北工程学院学报上发表了《直角坐标系下二重积分的计算方法研究》，见文献[13]。本文主要基于二重积分的理论知识，对“考研”数学二真题中二重积分的定义，二重积分的性质，二重积分的计算问题进行梳理并归类解析。通过对历年真题中有关于二重积分问题的解答和分析，对二重积分相关真题的考察方式做出总结，希望对于理工生在研究生入学考试中在二重积分的问题上不丢分，考取满意的分数，迈进理想的学校。第二章二重积分的定义与性质相关真题解析2.1预备知识定义2.1设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域∆σ1,∆σ2,···,∆在每个∆σi上任取一点(ξi,ηi)，作乘积(f(ξi,ηi)∆σii=1,2,···,n)，并作和i=1nf(ξ性质2.1设α与β为常数，则D性质2.2若闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分之和.性质2.3若在D上，f(x,y)=1，S为D的面积，则S=性质2.4若在D上，f(x,y)≤D特别地，又由于−故D性质2.5设M和m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则有mσ2.2真题解析例2.1（2010年考研数学二第(6)题）limn→∞AC分析：二重积分的定义是由计算曲顶柱体的体积引入的，采用了“划分、取近似、求和、取极限”的经典四大步来完成的。本题主要考察利用二重积分的定义求极限。要求学生在理解二重积分构造步骤的基础上采用逆向的思维，仔细观察题目也不难发现，就是将本题化成一个二次积分，与定积分求和式极限的方法完全一样。解：考虑将原极限写成二重积分.令∆σij=i−1n,in×[j−1n,jn由于i=1n故原极限==应选D.例2.2（2013年考研数学二第(6)题）设Dk是圆域D={x,y|x2(A)I1>0.BI2分析：本题主要考察了二重积分的性质.若被积函数在积分区域上连续非负且恒不等于零，则相应的二重积分大于零。解：由于在第一象限内x>0,y>0,第二象限内x<0,y>0,第三象限内x<0,y<0,第四象限内x>0,y<0,故被积函数y−x在第二象限内恒大于零，从而D例2.3（2019年考研数学二第(5)题）已知平面区域D={(x,y)|x+|y|≤π2}，I1AC分析：本题主要考察了二重积分的比较大小.本题中所给二重积分的积分区域相同，所以要比较它们的大小，可以比较相应的被积函数的大小。解：区域D由四条直线围成:x±y=π2,x±y=−π2.该区域包含于圆心在原点，半径为π2的圆盘区域{(x,y)|令u=x2+y2.由于在0,π考虑1−cosu和sinu的大小关系.令fu=sinu+cosu−1,则f'u=cosu−sinu.当0<u<π4时,f'u>0,f(u)单调增加;当π4<u<π2时,f'u<0,因此，对区域D内的点，均有Dsinx综上所述，I3<I小结：二重积分的定义和性质是“考研”数学二真题中出题频率相对来说不是特别高的一种题型，一般是隔几年考察一次，考察的形式主要是选择题。只要熟练掌握二重积分的定义和性质，并且能够做到灵活运用，解决这类问题还是非常容易的。第三章二重积分的计算相关真题解析3.1预备知识1.在直角坐标系下计算二重积分(1)将二重积分化为先对y，再对x的二次积分设积分区域D可以用不等式φ来表示，其中函数φ1x,φ2x在区间[a,b]上连续，我们将这种类型的区域为X型区域.这种区域的边界可以用x=a,x=b以及此时D或者也可以写成D(2)将二重积分化为先对x，再对y的二次积分设积分区域D可以用不等式ψ来表示，其中函数ψ1y,ψ2y在区间[c,d]上连续，我们将这种类型的区域为Y型区域.这种区域的边界可以用y=c,y=d以及此时D或者也可以写成D2.在极坐标系下计算二重积分点M在直角坐标(x,y)与极坐标(r,θ)的关系为x=rcosθ,若在极坐标系下计算二重积分，则有公式D其中rdrdθ为极坐标系中的面积元素，有时也采用ρdρdθ这种记号.3.2真题解析例3.1（2010年考研数学二第(20)题）计算二重积分I=其中D=分析：本题主要考察了二重积分的计算以及极坐标系与直角坐标系的转化.本题中的二重积分是在极坐标系下给出的，但稍做分析就会发现它的直角坐标系下的区域表示比较简单，被积函数的表达式也比较简单，所以应该选择在直角坐标系下进行计算.解：在极坐标系下，积分区域D=r,θ由0≤r≤secθ得，0≤rcosθ≤1.又由于0≤θ≤π4，故可知在直角坐标系下，D为由x=1,y=x以及x轴围成的三角形区域.将D写成D=由x=rcosθ,y=rsinθ.可将rr因此，I===例3.2（2013年考研数学二第(17)题）设平面区域D由直线x=3y,y=3x及x+y=8围成，计算D分析：本题主要考察的是二重积分的计算，本题中的二重积分，既可以考虑在直角坐标系下计算，也可以考虑在极坐标系下计算，所以本题中给出了两种方法。解：（法一）在直角坐标系下计算.可以分别求处y=3x与x+y=8的交点，以及x=3y与x+y=8的交点.y=3x,于是直线x=2将区域D分为两个部分DDD=（法二）在极坐标系下计算.三条直线的方程分别为θ=arctan13,θD=D==例3.3(2017年考研数学二第(20)题)已知平面区域D={(x,y)|x分析：本题主要考察了二重积分的计算，在本题中的积分区域关于y轴对称，因此在计算的过程中，应该注意利用对称性来简化计算。解：积分区域D是圆心在点0,1，半径为1的圆盘，关于y轴对称，面积为π.令D'为D展开被积函数(x+1)2,得(x+1)2=x2+2x+1.由于xD在极坐标系下计算D'D'因此，D例3.4(2018年考研数学二第(17)题)设平面区域D由曲线x=t−sint,y=1−cost,0≤t≤2π与x分析：本题中的区域D由摆线的一拱与x轴围成，而摆线方程以参数方程的形式给出，所以在计算二重积分的时候，应该注意积分区域的写法和参数方程的利用.解：把区域D看成X型区域，t=0对应的点为0,0,t=π对应的点为π,2,t=2πD=分别计算D2ydxdyD=32×下面来计算DD=由于(s+sins)(1+cos−π所以，D例3.5(2019年考研数学二第(18)题)已知平面区域D={(x,y)|x≤y,分析：本题中的区域D关于y轴对称，所以可以利用对称性将所求的二重积分化简，根据被积函数的特点，应该选择在极坐标系下计算二重积分.解:区域D由直线y=x,y=−x,以及曲线(x2+y2)3≤y4围成.由区域D的表达式可知，区域由于fx,y=x为关于x的奇函数，gx,yD在极坐标系下计算D写出区域D1边界曲线y=x的极坐标表示为θ=π4，y轴的极坐标表示为θ=π2，(xDD==−==原积分=2小结：二重积分的计算是是“考研”数学二中的重点，每年的考试中必定会出现关于二重积分计算的题目，一般都是在解答题中出现，满分11分，占比比较重。在二重积分的计算题目中，大部分都是对直角坐标系下给出的二重积分作极坐标变化来化简计算，但是有时候给出的题目中，直接在极坐标系下计算二重积分比较困难，然而在直角坐标系下计算比较简单。这就提醒我们，在解题的过程中，切忌养成“思维定势”，要学会针对具体问题具体分析。总之，只要掌握好在直角坐标系下和在极坐标系下计算二重积分这两种方法，那么在二重积分的计算中拿到满分还是很简单的。最后二重积分的计算有以下四个方面需要注意：=1\*GB3①对称性的利用、=2\*GB3②坐标系的选区、=3\*GB3③改变积分次序、=4\*GB3④区域分块.第四章结论与展望本文主要研究了“考研”数学二真题中二重积分相关问题,首先给出了二重积分的定义和性质、二重积分的计算方法，解决考研真题中出现的有关于二重积分的问题，对考研真题中的典型题型进行了解答和分析，并对此类型问题的解决方法进行了总结，通过解决考研真题中有关二重积分的问题，对此类问题进行了解析，最后给出了有关二重积分的定义和性质，二重积分的计算相关问题解析。对历年的真题整理发现，2010年第6题，2013年第6题，2019年第5题考察了二重积分的概念与性质；2015年第6题，2017年第13题，2018年第6题考察了二次积分与交换积分次序；2010年第20题，2011年第13题，2011年第21题，2012年第6题，2012年第18题，2013年第17题，2014年第17题，2015年第18题，2016年第18题，2017年第20题，2018年第17题，2019年第18题考察了二重积分的计算；2013年第21题考察了二重积分的应用。由此可见，对于二重积分相关题目，二重积分的计算是重中之重，所以一定要在二重积分的计算上下功夫，多做题，多总结，保证在二重积分这里不丢分。希望本文梳理的结果能对理工科考研的学生提供借鉴。事实上“考研”数学一、数学三真题中二重积分相关问题还有很多，今后可对“考研”数学一、数学二、数学三真题中二重积分问题做通盘对比梳理和思考。参考文献[1]孙卫卫,杜美华.二重积分的计算方法[J].科技信息,2011(21):142-143.[2]赵赫.几种特殊类型二重积分的计算技巧[J].衡水学院学报,2011,13(04):10-12.[3]曹毅.简化二重积分的方法[J].江苏技术师范学院学报,2011,17(10):58-61.[4]袁荣.利用极坐标计算二重积分的方法和技巧[J].数学学习与研究,2012(01):60-61.[5]潘伟,赵立阳,张笑笑,许晓蕾,薛博,孙楚怡.二重积分计算技巧研究[J].牡丹江师范学院学报(自然科学版),2015(01):8-10.[6]张辉,李应岐,敬斌,吴聪伟.谈二重积分的计算方法[J].商丘职业技术学院学报,2015,14(02):5-7.[7]来阿龙.二重积分的几种计算方式[J].农村经济与科技,2016,27(04):128-129.[8]马艳丽,丁健,李海霞.关于二重积分计算法的补充[J].玉溪师范学院学报,2016,32(04):16-20.[9]黄冶文.二