浙江省杭州市2025-2026学年高三上学期教学质量检测数学试题 含解析

学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷考生须知：本试卷分试题卷和答题卷两部分满分分，考试时间分钟.答无效!考试结束，只需上交答题卡.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算即可得到答案.【详解】.故选：B.2.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，再根据交集运算求解.【详解】，因为，所以.第1页/共18页故选:B.3.设向量.若，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】【分析】由向量的坐标表示出，然后解方程即可.【详解】，∴，解得故选：A.4.《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.､羊､13倍多于猪､､羊､猪的总头数至少为（）A.12B.15C.18D.21【答案】B【解析】【分析】根据题意列出不等式组，解出即可.【详解】设牛、羊、猪分别为头，则根据题意有，则，则，则，则.故选：B.5.已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（）A.B.第2页/共18页C.D.【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的定义依次验证选项即可.【详解】是等差数列，则需要满足，对于A，取等差数列，则,，,则，故A不正确；对于B，取等差数列，则,,，则，故B不正确；对于C，取等差数列，则,,,则，故C不正确；对于D,,,所以，，由于为等差数列，则，所以，故D正确；故选：D6.设样本数据.当取得最小值时，（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令，将整理成二次函数的形式，然后根据二次函数的性质来求得正确答案.【详解】令，第3页/共18页是一个开口向上的关于的二次函数，故函数在对称轴处取得最小值，即.故选：A.7.若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设圆的方程为：，结合条件列出方程组，求出半径即可求解.【详解】设圆的方程为：，所以，解得：，所以圆的面积为；故选：B8.设函数，若，则（）A.2B.1C.-1D.-2【答案】D【解析】【分析】由题可得，令，得在上为单调递增的奇函数，由于，，利用对称性求解即可.【详解】因为，所以，即，第4页/共18页令，，所以在上为单调递增的奇函数，由于，，所以，则，故选：D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在）A.常数项为20B.含的项的系数为80C.各项系数的和为32D.各项系数中的最大值为80【答案】BD【解析】【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解ABC公式为：，利用求解即可判断D。【详解】2x和只有分得的次数相同才能得到常数项，5次方无法均分，因此没有常数项，故A不正确；含x的项为，故x的系数是80，所以B正确；各项系数的和是令时得到，即，故C错误．的展开式的通项公式为：，设第项的系数最大，系数为，则，解得：或，此时系数为，故D正确；故选：BD．10.设函数，则（）第5页/共18页A.B.的最小正周期是C.的值域是D.在区间上单调递增【答案】ABC【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数，由三角函数的性质逐个判断各个选项即可.【详解】，，∴，故A正确；函数的最小正周期，故B正确；因，则函数的值域是，故C正确；当时，，此时函数单调递减，则函数也单调递减，故D错误.故选：ABC.已知函数的函数值等于的正因数的个数.例如.则下列选项正确的是（）A.BC.第6页/共18页D.设，则【答案】ACD【解析】【分析】运用的概念，结合质因数概念和裂项相消法计算判断即可.【详解】对于A，6的正因数为共4个，所以，故A正确；对于B，，它的因数形如，其中，所以不同的因数有个，即，故B不正确.对于C，因为，所以，所以，故C正确；对于D，，则，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共分.12.已知随机变量服从正态分布.若，则=__________.【答案】0.28第7页/共18页【解析】【分析】根据正态分布的对称性求解即可【详解】由题可得：;故答案为：13.函数在上的最小值为__________.【答案】2【解析】在上的单调性即可求出其最小值.【详解】由题可得：，解得：，所以，则，令,解得：，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，所以故答案为：14.过点的直线与圆相切于点交于点R.若的中点为，则__________.【答案】【解析】第8页/共18页为绕原点逆时针旋转到几何关系即可求解.【详解】设为上的点，将点绕原点逆时针旋转到，则，由于，则，化简可得：，则点的轨迹为等轴双曲线，其焦点为，，且；所以曲线也是等轴双曲线，其焦点为，，故点到焦点距离之差为常数.即，如图所示.因为点分别是和的中点，故，而，由于，所以.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知等差数列满足.（1）求的通项公式；第9页/共18页（2）设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】1）由等差数列通项公式建立方程组，解得首项和公差，即可写出数列通项公式；（2数列通项公式，利用等比数列和等差数列前项和公式即可求得数列的前项和.【小问1详解】设等差数列的公差为，则解得，所以的通项公式为.【小问2详解】设等比数列的公比是，由，得，解得，所以的通项公式为，此时，，满足，故.结合（1）知，所以数列的前项和.16.设内角的对边分别为，已知.（1）若.（i）求；（ii）求；第10页/共18页（2）求的最大值.【答案】（1i）3ii）（2）【解析】1i）由和差角公式化简等式，代入即可求得；（ii）由同角三角函数的关系求得，由和差角公式求得，然后由正弦定理求得边；（2）由正切的和差角公式和（i）中的关系化简，然后由基本不等式求得最大值.【小问1详解】（i），展开化简得：所以；（ii）由，而为三角形内角，故，所以，由正弦定理，得.【小问2详解】由（1）可得，故均为锐角，所以，当且仅当时，取到最大值.17.已知函数，为的导数，其中为自然对数的底数.（1）求；第11页/共18页（2）证明：当时，；（3）设，对任意的，若，求证：.【答案】（1）1（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】1）求导数，代入即可求得结果；（2由基本不等式得到在上单调，从而得到最值，即可得证；（3）由（2）得到，然后得到的不等式，从而可求得不等式左边的范围，从而得证.【小问1详解】，所以；【小问2详解】设，，所以在上单调递增，当时，，所以，当时，成立.小问3详解】因为，则，第12页/共18页由（2）知，即，∴所以.原式18.已知是椭圆作直线交椭圆于在轴上方.当轴时，.（1）求椭圆的标准方程；（2）设，（i）求证：；（ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于平分，且，求的值.【答案】（1）（2iii）.【解析】1）根据即可求解椭圆标准方程；（2i）设与的斜率分别为，将问题转化为证明即可；（ii满足和直线的交点为点都在以都在以为直第13页/共18页是形面积公式化简即可求解.【小问1详解】由题知，，又，解得.故椭圆的方程为.【小问2详解】（i）记，由题意知.设直线的方程为，代入椭圆得：.则有，①设与的斜率分别为，则所以.（ii）设满足，则②第14页/共18页将代入②，并化简得，③将（2）中①代入③得：，即.又因为直线和直线的交点为.故满足的点都在以为直径的圆上.因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线.则，所以，即.所以，解得，所以.第15页/共18页19..一颗质地均匀的正标号.的坐标为.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子次，用表示第次投掷后棋子的位置（其中向量为前次投掷过程中，掷得偶数的总次数.（1）求点所有可能的坐标；（2）求投掷骰子8次后棋子在原点的概率；（3）投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为的概率为，求的表达式，并指出当为何值时，取得最大值.【答案】（1）；（2）；（3），时，取得最大值.【解析】1）根据即可求所有可能的坐标；（2）令向量，则当时，；当时，；当时，其中，且.要保证为原点，则在8次投掷过程中，第16页/共18页掷得奇数的次数应为，用列举法即可求解（3）当不是3的倍数时，显然有.当是3的倍数时，不妨设，则掷得偶数的次数为次.记进行加向量为操作，加向量为操作，加向量为操作，不做任何操作记为操作.定义操作小结：，其中可以为0，则其中，根据隔板法即可求解.【小问1详解】由题意，点可能的坐标为.【小问2详解】令向量，则当时，；当时，；当时，其中，且.要保证为原点，则在8次投掷过程中，掷得奇数的次数应为.①若，即8次投掷全部为偶数，共1种情况：偶偶偶偶偶偶偶偶；②若，即8次投掷过程中有5次偶数，3次奇数，则共8种情况：奇偶奇偶奇偶偶偶，奇偶奇偶偶偶偶奇，奇偶偶奇偶偶奇偶，奇偶偶偶偶奇偶奇，偶奇偶奇偶奇偶偶，偶奇偶偶奇偶偶奇，偶偶奇偶奇偶奇偶，偶偶偶奇偶奇偶奇；③若，即6次奇数，仅有1种情况：奇奇偶奇奇偶奇奇.故为坐标原点的概率.【小问3详解】当