专题01推理与证明（期中复习讲义）八年级数学上学期青岛版2024

专题01推理与证明（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律定义与命题准确区分定义、命题、定理和证明的不同。基础必考点，常出现在填空题。证明能够掌握证明的基本步骤和格式，能够运用反证法进行数学证明。反证法不是常考类型，但反证的思维方式在很多题目和思考解题思路中广泛应用。几何证明能够运用已知定理解决几何问题。常考题型，解答题中包括压轴题中都应用几何证明。知识点01定义与命题1）定义：能够说明一个概念含义的语句叫作这个概念的定义。2）定义的作用：定义可以帮助人们认识和理解这个概念区别于其他概念的本质特征。定义既可以作为性质使用，又可以提供判定依据。3）命题：对某件事情作出判断的语句叫作命题。4）命题的组成：命题通常由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。............形式是“如果......,那么......”。6）真命题：当条件成立时，结论一定成立的命题叫作真命题。7）假命题：当条件成立时，结论不一定成立的命题叫作假命题。8）反例：满足命题条件，而结论却与命题结论不同的例子叫作命题的反例。只要能举出一个反例，就可以说明这个命题是假命题。知识点02证明1）基本事实：人们在长期是实践中，经过分析总结后，把那些公认的真命题作为基本事实，以基本事实为依据来证实其他命题。2）等量代换：一个量可以用它的等量来替换，即等量代换。3）在代数中，可以依据定义、运算法则、运算律、公式、等式（不等式）的基本性质等进行运算和推理。4）我们学过的基本事实：(1)两点确定一条直线;(2)两点之间线段最短;(3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;(5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。5）证明：基本事实通常作为论证的起点和依据。从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作证明。6）定理：我们把推理证实的真命题叫作定理。定理和基本事实一样，也可以作为证明的依据。知识点03几何证明在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题。逆定理：如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题叫作原定理的逆定理。3）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度。4）三角形内角和定理推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。5）辅助线：为了证明的需要，在原来图形上添加的线叫作辅助线，辅助线通常画作虚线。6）直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。7）直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。8）反证法：先提出与命题的结论相反的假设，再从假设出发推出矛盾，从而证明命题成立的方法叫作反证法。9）用反证法证明命题的步骤:①否定结论假设命题的结论不成立;②推出矛盾从假设出发，根据已知条件，经过推理，得出一个与命题的条件、定义、基本事实、定理等相矛盾的结果;③肯定结论由矛盾判定假设不成立，从而证明命题成立。10）平行线的性质定理：性质定理1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。性质定理2.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。性质定理3.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。11）平行线的判定定理：判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线平行。题型一同角（等角）的余角（补角）相等答｜题｜模｜板(2)除（1）中的一对角和的角外，还有哪些相等的角？请说明理由．(2)是，理由见解析（2）解：是，理由如下：(3)【答案】(1)证明见解析【分析】本题考查的是同角的余角相等，邻补角的性质；（2）利用邻补角的性质求解即可.题型二写出命题并证明答｜题｜模｜板条件：_______，结论：_______．（填序号）证明：当条件是①③，结论是②时：当条件是②③，结论是①时：

(1)请写出所有的真命题；(2)请选择其中一个命题加以证明．【详解】（1）解：命题1：由①②得到③；命题2：由①③得到②；命题3：由②③得到①；（2）命题1证明如下：命题2证明如下：命题3证明如下：【变式1】求证：等腰三角形两底角的角平分线相等．已知：求证：证明：题型三反证法的应用答｜题｜模｜板证明：假设，都不大于零，因为两个非正数相加还是非正数，所以假设不成立．所以，中至少有一个大于零．又因为：在一个三角形中，三个内角和为180度，∴不可能有两个内角和大于或等于180度∴假设矛盾∴假设不成立【变式2】用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整．证明：假设______．∴与假设相矛盾．∴假设不成立．题型四外角相关证明题答｜题｜模｜板(2)试猜想与的数量关系，并证明你的猜想；【答案】(1)90(3)如图，连接，【变式1】利用三角形的内角和定理我们可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【答案】（1）见解析；（2）（3）解：如图1，（4）解：如图，期中基础通关练（测试时间：10分钟）一、单选题A． B． C． D．【答案】A故选：A．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D故②正确故③正确故④正确综上所述，是直角三角形的是①②③④共4个．故选：D．3．（山东省德州市夏津县20242025学年八上学期期中数学）下列命题中，属于真命题的是（

）A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B．点到直线的垂线段叫作点到直线的距离C．同位角相等D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】D【详解】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项不符合题意；B、点到直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，故选项不符合题意；C、两直线平行，同位角相等，故选项不符合题意；D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，故选项符合题意；故选：D．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】A故选：A．二、填空题5．（山东省威海市温泉中学20232024学年八上期中数学）把命题“全等三角形的面积相等”改写成“如果……那么……”的形式：．【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等【详解】解：把命题“全等三角形的面积相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等．【答案】故答案为：．三、解答题(1)写出此命题的条件和结论；(2)写出此命题的逆命题；(3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．(3)假命题，反例不唯一（3）此命题的逆命题是假命题，当为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等，8．写出下列命题的求证，并完成证明过程．求证：．证明：期中重难突破练（测试时间：10分钟）一、单选题1．（山东省青岛市第三十九中学20242025学年八上期中数学）下列命题中，真命题的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【详解】解：①在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故该命题是假命题，不符合题意；②两边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故该命题是假命题，不符合题意；④定理的逆命题不一定正确，那么这样的逆命题就不一定成为定理，故该命题是假命题，不符合题意；⑤平移和旋转都是全等变化，不改变图形的形状和大小，故该命题是真命题，符合题意；故选：A．2．（山东省泰安市泰山区20242025学年八上学期期中考试数）下列语句中，是真命题是（

）A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．对顶角是相等的角C．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等D．同角的余角互余【答案】B【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，不符合题意；B、对顶角是相等的角，原命题是真命题，符合题意；C、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，原命题是假命题，不符合题意，理由如下：分两种情况讨论：当，的两边相互平行，如图所示当，的两边相互平行，如图所示综上所述：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补；D、同角的余角相等，原命题是假命题，不符合题意；故选：B．A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【答案】C∵不一定是，故②不正确；综上：正确的有①④；故选：C．二、填空题【答案】2……故答案为：2．【答案】①③④故答案为：①③④．三、解答题【答案】(1)(2)

(1)填空：与的数量关系：_____；理由是_____；②存在，8．【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放．【拓展探究】【答案】（1）∠ACE=∠BCD，理由见解析；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析．期中综合拓展练（测试时间：15分钟）一、单选题A． B． C． D．【答案】D【详解】解：设和交于点F，故选：D．2．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（

）A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角【答案】D【详解】解：∵至少有两个”的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的否定．∴应假设：三角形三个外角中至多有一个钝角．故选：D．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C∴三角形最大内角是，故选：C．A． B． C． D．【答案】D故选：D二、填空题6．已知命题：“同旁内角互补”，则它的逆命题为．【答案】如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角【详解】解：根据题意，同旁内角互补中的题设是同旁内角，结论是互补，故其逆命题为：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角，故答案为：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角．【答案】/84度故答案为：．【答案】三、解答题9．如图，五角星中，，，，的和是多少度？请证明你的结论．(1)直接写出CE与AB的位置关系；【答案】(1)CE⊥AB，理由见解析(2)一致，理由见解析(3)【详解】（1）如图，延长CE交AB于H，∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴∠ADC=∠