重难点培优01集合常用逻辑用语中的参数及新定义问题

重难点培优01集合、常用逻辑用语中的参数及新定义问题目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"12"\h\u01知识重构・重难梳理固根基 102题型精研・技巧通法提能力 2题型一集合与元素的关系（★★） 2题型二集合的包含关系（★★★） 7题型三集合的交并补运算及容斥原理（★★★★） 10题型四集合的新定义（★★★★★） 13题型五常用逻辑用语中的参数问题（★★★★） 2103实战检测・分层突破验成效 24检测Ⅰ组重难知识巩固 24检测Ⅱ组创新能力提升 34一、集合常用结论2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．5、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论：二、集合中的新定义问题1、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．2、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．3、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．4、集合新定义问题处理步骤①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么②看：看所求是什么？③代：将已知条件代入新定义的要素④解：结合数学知识进行解答三、从集合的角度理解充分必要性若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，（1）若AB，则p是q的充分不必要条件；（2）若A⊇B，则p是q的必要条件；（3）若AB，则p是q的必要不充分条件；（4）若A＝B，则p是q的充要条件；（5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；题型一集合与元素的关系【技巧通法·提分快招】与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧（1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合.（2）理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性.（3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数.（4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件.【答案】C【分析】利用的取值，反例判断是否成立即可．故选：CA．7 B．9 C．11 D．13【答案】C满足条件的元素分别为：故选：CA．5 B．3 C．2 D．1【答案】A故选：A.【答案】BC【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B.故选：.考虑80的分解方式，

【答案】4由集合的互异性，可知3需舍去；故答案为：4

题型二集合的包含关系【技巧通法·提分快招】根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性.②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点值能否取到【答案】D故选：D.【答案】A故选：A【答案】A故选：A．

【答案】所以的最小值为2，的最大值为.故答案为：2；题型三集合的交并补运算及容斥原理【技巧通法·提分快招】利用集合的运算求参数的方法（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.注：在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）.【答案】B故选：.【答案】C【分析】对A，由题可得是的真子集，可判断；对B，根据集合和集合的意义判断；对C，由可判断；对D，由集合表示非负偶数的集合，集合表示能被4整除的非负整数，结合补集和并集运算判断.对于B，因为集合表示非负偶数的集合，集合表示能被4整除的非负整数，故选：C.【答案】C【分析】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可.

故选：C.4．（2425高三上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（

）A．51 B．50 C．49 D．48【答案】B【分析】根据题意，结合venn图，列式运算得解.【详解】因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，故选：B.5．（2425高三上·上海徐汇·开学考试）2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为【答案】16【详解】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人，只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，如图，所以同时支持两支队伍的同学的人数为16人.故答案为：16【答案】3【分析】由题意作出韦恩图，根据集合的运算，结合计数原理解题即可.剩余的元素属于集合或，但不能同时属于两者，每个剩余元素有两种选择，因此总分配方式为，故答案为：3题型四集合的新定义【技巧通法·提分快招】解决以集合为背景的新定义问题的关键点（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.（2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.A．一个“好子集”中最多有个元素 B．一个“好子集”中最多有个元素C．一个“好子集”中最多有个元素 D．一个“好子集”中最多有个元素【答案】A不合要求，舍去，综上，一个“好子集”中最多有个元素.故选：A其中是“垂直对点集”的序号的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据“垂直对点集”的定义可判断①；举出反例判断②；数形结合并结合“垂直对点集”的定义可判断③④,即可得答案.图象向左向右无线延伸，故集合M是“垂直对点集”的有3个，故选：DA．①② B．①③ C．②③ D．①③④【答案】B【分析】根据聚点的含义，一一判断各集合是否满足聚点定义，即可判断答案.故选：B【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解聚点的含义，判断所给集合是否满足聚点定义.【答案】C所以除以后余数相同，所以属于同一“类”故选：C.(2)证明见解析(2)4(3)证明过程见解析【分析】（1）根据定义直接写出结果即可；（2）利用组合计数的方法可求集合中元素的个数；(3)求所有“好的”正整数.(2)证明见解析(3)除、、外的正整数（3）①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*）事实上，若正整数是“好的”，由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”.所以，所求为除1，2，4外的正整数.(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可；题型五常用逻辑用语中的参数问题【技巧通法·提分快招】1、充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.（2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解.2、根据命题的真假求参数的值（范围）的思路与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数的取值范围问题，本质是恒成立问题或有解问题.解决此类问题时，可以直接求解，也可以利用等价命题将条件合理转化，得到关于参数的方程（组）或不等式（组），再通过解方程（组）或不等式（组）求出参数的值或范围.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C故选：C【答案】B【分析】由题意得到是的真子集，比较区间端点，即可求解.所以是的真子集,故选：BA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A所以p是q的充分条件.所以p是q的不必要条件.综上得：p是q的充分不必要条件.故选：A.【答案】B故选：B.【答案】C故选：C【答案】B故选：B.检测Ⅰ组重难知识巩固【答案】C【分析】化简集合A，B，再由集合的并集、补集运算求解.故选：C【答案】B【答案】B【分析】由集合的真子集个数,判断出集合中有且只有一个元素，从而转化为方程有两个相等根问题求解即可.故选：B.【答案】B故选：.A．1 B．3 C．1或3 D．1或3【答案】D【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值.故选：D.6．（2425高三上·湖北·模拟预测）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（

）A．赞成的不赞成的有9人B．赞成的不赞成的有11人C．对都赞成的有21人D．对都不赞成的有8人【答案】B【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可.设对事件A，B都赞成的学生人数为x，所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，对A，B都赞成的有21人，对A，B都不赞成的有8人.故选：B【答案】C故选：C.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分别根据充分性、必要性的概念及等差数列的性质定义判断即可.所以可知数列中的奇数项，偶数项分别成等差数列，但数列不一定是等差数列，故选：BA．360个 B．640个 C．960个 D．1920个【答案】C【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合排列计数问题列式计算.因此余下的两个元素中的每一个元素都有4种不同的选择方法，故选：CA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B所以必要性成立，故选：B.A．4个 B．7个 C．9个 D．10个【答案】AB【分析】通过对集合中元素满足的不等式进行变形，分析元素之间的关系，利用函数单调性来确定集合中元素个数的上限，并通过举例验证元素个数的可能性.将其变形为关于的表达式：故选：AB.【答案】ACD【分析】理解“一字集”的定义，根据该内涵对每个选项进行分析判断.【详解】对于选项A：任取两点在该单位圆内，因此属于该集合，A正确.对于选项B：对于选项C:对于选项D：所以选项D正确.故选：ACD.【答案】(1)－2(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据“完美集”的定义与等差数列性质即可求得结果.所以不存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”；【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：通过给出的一个新的定义，或约定一种新的运算，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.(2)若A是好集合，证明：存在一个与A中元素个数相同且仅由正实数构成的坏集合P；(3)证明：不存在有限的好集合A，满足A中的元素均为正实数，且A中的元素个数为大于5的奇数．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据定义，举例说明即可；（2）根据好集合的特点和坏集合的定义可证结论；（3）利用反证法，假设存在这样的有限集A符合题意，得出矛盾，可证结论成立.（3）假设存在这样的有限集A，使得A中的元素均为正实数，元素个数为大于5的奇数，且A为好集合，再考虑A集合中去掉与记为集合，即不存在有限的好集合A，满足A中的元素均为正实数，且A中的元素个数为大于5的奇数．检测Ⅱ组创新能力提升A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断可得答案.故选：C.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C故选：CA．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】D综上两种情况可知，是的不必要条件；故是的不充分条件；故是的充分条件；故是的充分条件；故是的不充分条件；综上四种情况可知，是的不充分条件；所以是的即不充