用公式法分解因式导学案人教版八年级数学上册

17.2用公式法分解因式17.2第1课时用平方差公式分解因式素养目标1.进一步熟悉平方差公式,会用平方差公式分解因式.2.通过乘法公式(a+b)(ab)=a2b2的逆向变形,进一步增强观察、归纳能力.运用平方差公式分解因式.【自主预习】1.乘法公式中的平方差公式的内容是什么?2.将乘法公式中的平方差公式的等号两边互换位置,得到什么等式?1.下列多项式中,能用平方差公式进行因式分解的是()A.a2b B.a2+b2C.a2b2 D.a2b22.因式分解:x21=.

【合作探究】知识点一：用平方差公式进行因式分解(1)阅读课本本课时开始至“例1”的内容,解答下列问题.1.计算:(x+2)(x2)=,(y+5)(y5)=,这种变形是因式分解吗?

2.若第1题中的式子等号的左右两边反过来,得到x24=,y225=,这种变形是因式分解吗?

3.请把前面学过的乘法公式中的平方差公式写出来,这个等式是不是分解因式?若等号左右两边交换位置,是不是分解因式?【讨论】将x4y4因式分解为(x2+y2)(x2y2)可以吗?两个数的平方差,等于这两个数的与这两个数的的,即a2b2=.

1.在下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是()A.a2a B.4m216mC.x2y2 D.x2+162.因式分解:4a2b2=.

知识点二：用平方差公式进行因式分解(2)阅读课本本课时“例2”的内容,解答下列问题.1.式子x2y4和我们之前学过的哪个公式的形式有点像?将x2y4因式分解.2.式子(x+p)2(x+q)2也有两项相减的形式,那它能不能用平方差公式来因式分解?在因式分解时,怎样找到平方差公式里的a和b?【温馨提示】①平方差公式中的a和b,可以是单项式,也可以是多项式,还可以是具体的数字;②对于不是按公式排列的多项式,先对其变形,再用平方差公式进行因式分解.1.因式分解(x1)29的结果是()A.(x10)(x+8) B.(x+8)(x+1)C.(x2)(x+4) D.(x+2)(x4)2.因式分解:(1)(y+2x)2(x+2y)2;(2)9a24(ab)2.题型1运用平方差公式因式分解的纠错问题例1(新考法)小马虎在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了x的指数,他只知道该数为不大于10的正整数,并且能利用平方差公式分解因式,他抄在作业本上的式子是254a2x□y2表示漏抄的指数),则这个指数可能的结果共有()A.2种 B.3种 C.4种 D.5种题型2运用平方差公式因式分解例2因式分解:(1)2516x2;(2)25(a+b)24(ab)2;(3)(x4)(x+1)+3x.【方法归纳交流】牢记平方差公式a2b2=(a+b)(ab),要能准确判断给定的多项式是否符合平方差的形式,即两项、平方项、异号.对于符合平方差形式的多项式,明确a和b分别代表的式子.变式训练因式分解:(1)x264;(2)(x2y)24x2;(3)9(x+y)24(xy)2;(4)(x2)(x+8)6x.题型3运用平方差公式简便运算例3计算:(1)1012992;(2)73422142.变式训练用简便方法计算:(1)38.5236.52;(2)100129992.

17.2第2课时用完全平方公式分解因式素养目标1.会用完全平方公式分解因式.2.理解完全平方式的定义,会判断一个代数式是不是完全平方式.3.通过乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的逆向变形,进一步增强观察、归纳能力和语言表达能力.运用完全平方公式分解因式.【自主预习】1.由乘法公式可知(x+3)2=x2+6x+9,因此对于式子x2+6x+9,因式分解的结果是什么?2.若4x220x+m是完全平方式,则m的值是多少?1.下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是()A.x22x2 B.x2+1C.x24x+4 D.x2+4x+12.分解因式:x2+2x+1=.

【合作探究】知识点一：用完全平方公式分解因式(1)阅读课本本课时“思考”至“例3”的内容,解答下列问题.1.写出多项式a2+2ab+b2与a22ab+b2的共同特点.这样的式子叫作什么?2.将乘法公式中的完全平方公式的等号两边交换位置得到:,,得到的这两个等式符合因式分解的定义吗?

3.第2题中两个式子有什么特点?两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的倍,等于这两个数的(或)的平方.

1.下列多项式能用完全平方公式分解因式的是()A.a2+2a1 B.x2xy+y2C.a22a+14 D.a2ab+142.分解因式:4m24m+1=.

3.若4x2+mx+9是完全平方式,则m的值为.

知识点二：用完全平方公式分解因式(2)阅读课本本课时“例4”的内容,解答下列问题.1.将(a+b)212(a+b)+36因式分解时,要先去括号吗?能用完全平方公式将(a+b)212(a+b)+36因式分解吗?如果能,请将(a+b)212(a+b)+36因式分解.2.将x2+4xy4y2因式分解时,第一步应通过什么方法将式子变形?并将x2+4xy4y2因式分解.1.因式分解:(m+n)24(m+n)+4=.

2.因式分解:6xyx29y2=.

题型1先化简,再因式分解例1分解因式:(xy)2+4xy.变式训练1.因式分解:(a+2)(a+4)+1=.

2.分解因式:12a-题型2运用完全平方公式简便运算例2利用因式分解简便计算:(1)992+198+1;(2)2022+202×196+982.变式训练利用因式分解进行简便运算:992+202×99+1012.题型3运用完全平方公式分解因式的应用例3已知x2+y2+2x6y+10=0,求x+y的值.学习小助手将等式的左边写成两个完全平方式的和,利用非负数之和为0的性质求解.变式训练已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足a2+b22a4b+5=0,求△ABC的周长,并判断△ABC的形状.

17.2第3课时提公因式法和公式法的综合运用素养目标1.能用公式法进行两次因式分解.2.能综合运用提公因式法和公式法进行因式分解.3.通过乘法公式的逆向变形,进一步增强观察、归纳能力和语言表达能力.综合运用提公因式法和公式法进行因式分解.【自主预习】1.对于式子3x2+6x,如何提取公因式进行初步因式分解?提取公因式后的式子还能继续分解吗?2.已知a24,先想想用什么方法进行因式分解,再思考若式子为3a212,怎样综合运用提取公因式和公式法来完成因式分解?1.下列各式不是多项式a3b4ab因式分解后的因式的是()A.ab B.a+2 C.a2 D.a42.因式分解:5m25=.

【合作探究】知识点一：提公因式法和平方差公式的综合运用阅读课本本课时“例5”的内容,解答下列问题.1.将x4y4因式分解为(x2+y2)(x2y2)可以吗?为什么?2.将x4y4因式分解,需两次运用进行因式分解;将a3bab因式分解,要先运用法,再运用公式进行因式分解.

1.下面是甲、乙两名同学因式分解x3+x的结果,下列判断正确的是()甲同学:原式=x(x+1)(x1).乙同学:原式=x(1+x)(1x).A.只有甲的结果正确B.只有乙的结果正确C.甲、乙的结果都正确D.甲、乙的结果都不正确2.因式分解:4y24=.

3.因式分解:(1)x2(xy)+y2(yx);(2)a2b4b.知识点二：提公因式法和完全平方公式的综合运用阅读课本本课时“例6”的内容,解答下列问题.1.多项式3ax2+6axy+3ay2中的公因式是,提公因式后,再进一步因式分解,是运用公式进行因式分解.

2.先观察多项式ax2+2a2xa3,发现每一项都有公因式,提取出来得到,提公因式后,括号里的式子符合完全平方公式(mn)2=m22mn+n2,这里m=,n=,最终因式分解为.

因式分解中常见的错误:(1)漏项;(2)符号错;(3)因式分解不彻底.因此因式分解后要注意检查.1.下列将多项式3a26a+3因式分解正确的是()A.3a(a2)+3 B.3(a22a+1)C.3(a1)(a+1) D.3(a1)22.因式分解:x2y2xy+y=.

3.因式分解:(1)5a3b+10a2b2+5ab3.(2)2x2+32x128.题型1综合运用平方差公式与完全平方公式分解因式例1因式分解:(a2+b2)24a2b2.题型2综合运用提公因式与完全平方公式分解因式求值例2若a+b=3,ab=1.求12a3b+a2b2+12ab3变式训练已知ab=2,ab=316,则a3b2a2b2+ab3的值为题型3分解因式的应用例3用因式分解法可以产生密码,例如x4y4=(xy)(x+y)(x2+y2),当x=8,y=8时,xy=0,x+y=16,x2+y2=128,则密码为016128.对于多项式9a3ab2,取a=10,b=10,用上述方法产生的密码是什么?(写出一个即可)变式训练1.东东是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:xy,ab,2,x2y2,a,x+y.它们分别对应下列六个字:学,丽,美,我,爱,数.现将2a(x2y2)2b(x2y2)因式分解,结果呈现的密码信息可能是()A.我爱美 B.我爱数学C.美丽数学 D.美爱数学2.设x+2z=3y,试判断x29y2+4z2+4xz的值是不是定值.如果是定值,求出它的值;如果不是定值,请说明理由.

17.2第1课时用平方差公式分解因式参考答案【自主预习】预学思考1.解:(a+b)(ab)=a2b2.2.解:a2b2=(a+b)(ab).自学检测1.C2.(x+1)(x1)【合作探究】知识生成知识点一1.解:x24;y225;不是.2.解:(x+2)(x2);(y+5)(y5);是.3.解:(a+b)(ab)=a2b2,不是分解因式;a2b2=(a+b)(ab),是分解因式.讨论解:不可以,x2y2还可以继续分解.归纳总结和差积(a+b)(ab)对点训练1.D2.(2a+b)(2ab)知识点二1.解:a2b2=(a+b)(ab);x2y4=x2(y2)2=(x+y2)(xy2).2.解:能用平方差公式来因式分解,(x+p)可以看作a,(x+q)可以看作b.对点训练1.D2.解:(1)原式=[(y+2x)+(x+2y)][(y+2x)(x+2y)]=(3x+3y)(xy)=3(x+y)(xy).(2)原式=3a+2(a-b)3a-2题型精讲题型1例1D题型2例2解:(1)原式=52(4x)2=(54x)(5+4x).(2)原式=[5(a+b)2(ab)][5(a+b)+2(ab)]=(3a+7b)(7a+3b).(3)原式=x23x4+3x=x24=(x+2)(x2).变式训练解:(1)原式=(x+8)(x8).(2)原式=[(x2y)+2x][(x2y)2x]=(3x2y)(x2y)=(3x2y)(x+2y).(3)原式=[3(x+y)]2[2(xy)]2=(3x+3y)2(2x2y)2=(3x+3y+2x2y)(3x+3y2x+2y)=(5x+y)(x+5y).(4)原式=x2+6x166x=x216=(x+4)(x4).题型3例3解:(1)原式=1012992=(101+99)×(10199)=200×2=400.(2)原式=734+214734214=10×112=55变式训练解:(1)38.5236.52=(38.5+36.5)×(38.536.5)=75×2=150.(2)100129992=(1001999)×(1001+999)=2×2000=4000.17.2第2课时用完全平方公式分解因式参考答案【自主预习】预学思考1.解:x2+6x+9=(x+3)2.2.解:∵4x220x+m=(2x)22×(2x)×5+m,∴m=52=25.自学检测1.C2.(x+1)2【合作探究】知识生成知识点一1.解:它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍,我们把a2+2ab+b2与a22ab+b2这样的式子叫作完全平方式.2.解:a2+2ab+b2=(a+b)2;a22ab+b2=(ab)2;符合.3.解:等号的左边是二次三项式,等号的右边是两个数的和(或差)的平方.归纳总结2和差对点训练1.D2.(2m1)23.±12知识点二1.解:不要;能;(a+b)212(a+b)+36=(a+b)22(a+b)·6+62=(a+b6)2.2.解:添括号;x2+4xy4y2=(x24xy+4y2)=(x2y)2.对点训练1.(m+n2)22.(x+3y)2题型精讲题型1例1解:原式=x22xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=(x+y)2.变式训练1.(a+3)2.2.解:原式=14a2ab+b2+2=14a2+ab+b2=12a+b2.题型2例2解:(1)原式=992+2×99×1+12=(99+1)2=10000.(2)原式=2022+2×202×98+982=(202+98)2=3002=90000.变式训练解:原式=992+2×101×99+1012=(99+101)2=2002=40000.题型3例3解:∵x2+y2+2x6y+10=(x+1)2+(y3)2=0,∴x+1=0,y3=0,即x=1,y=3,则x+y=1+3=2.变式训练解:∵a2+b22a4b+5=0,∴(a22a+1)+(b24b+4)=0,∴(a1)2+(b2)2=0,∴a1=0,b2=0,解得a=1,b=2.由三角形的三边关系可得21<c<2+1,∴1<c<3.∵a,b,c都是正整数,∴c=2,∴△ABC的周长为1+2+2=5.∵b=c=2,∴△ABC是等腰三角形.17.2第3