专题07几何最值模型之将军饮马（含勾股）（几何模型讲义）数学北师大版2024八年级上册（原卷版）

专题07几何最值模型之将军饮马（含勾股）将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。TOC\o"14"\h\z\u 1模型来源 1真题现模型 2提炼模型 4模型拓展 5模型运用 6模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 10模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 16 20“将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。A．5 B．8 C．10 D．131）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。模型（1）点A、B在直线m两侧：模型（2）点A、B在直线同侧：图（1）图（2）模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|APBP|的最大值。模型（1）：点A、B在直线m同侧：模型（2）：点A、B在直线m异侧：图（1）图（2）模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’AP’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PAPB|=AB，故|PAPB|≤AB，即|APBP|的最大值即为：线段AB的长度。模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’AP’B|=|P’AP’B’|＜AB’，当A、B、P共线时，有|PAPB|=|PAPB’|=AB’，故|PAPB|≤AB’，即|APBP|的最大值即为：线段AB’的长度。1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）模型（1）：两定点+两动点条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。两个点都在直线外侧（图11）；内外侧各一点（图12）；两个点都在内侧（图13）图11图11图11模型（11）（两点都在直线外侧型）如图（11），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。模型（12）（直线内外侧各一点型）如图（12），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。模型（13）（两点都在直线内侧型）如图（13），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）A． B． C． D．例4（2425八年级上·宁夏银川·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）A．5 B．8 C．10 D．13模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）A． B． C． D．A．6 B．8 C．12 D．18模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）A．7 B．8 C．9 D．10A．5 B．6 C．8 D．9A． B． C． D．A．6 B．5 C．4 D．3A．①③ B．①④ C．②③ D．②④12．（2024·江苏泰州·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______.

18．（2425七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【问题起源】如图1，在一条笔直的道路上建一个燃气站，并向路同侧的两个城镇铺设燃气管道，如何确定燃气站的位置使得铺设管道的路径最短．【解决方案】如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点就是燃气站的位置．【实际运用】（1）如图3，在实际铺设中，在两个城镇之间有一片水源地（水源地的右下角顶点为点），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案，最短的铺设路径方案是：_____；（填方案序