重难点培优11导数中的双变量问题（复习讲义）

重难点培优11导数中的双变量问题目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"12"\h\u01知识重构・重难梳理固根基 102题型精研・技巧通法提能力 3题型一双变量问题方法之同构构造函数（★★★★★） 3题型二双变量问题方法之比值换元（★★★★★） 4题型三双变量问题方法之差值换元（★★★★★） 6题型四双变量问题方法之主元法（★★★★★） 7题型五双变量问题方法之对数均值不等式（★★★★★） 9题型六双变量题型之结合函数单调性（★★★★） 10题型七双变量题型之结合极值（点）（★★★★★） 15题型八双变量题型之结合最值（含恒能成立）（★★★★） 20题型九双变量题型之结合零点（★★★★★） 29题型十双变量题型之不等式证明（★★★★★） 3803实战检测・分层突破验成效 46检测Ⅰ组重难知识巩固 46检测Ⅱ组创新能力提升 701、双变量问题导数中有一类问题涉及到两个变量，例如m和n、a和b、和，这就是双变量问题，它在高中函数与导数知识模块中属于重难点问题，往往会作为压轴题出现.2、处理导数双变量问题的常见方法（4）主元法：要证明的不等式或目标代数式中含有和两个变量，将其中一个变量看成主元，另一个变量看成次元，将主元换成x，构造函数研究问题.题型一双变量问题方法之同构构造函数(1)求的单调区间；题型二双变量问题方法之比值换元(2)证明见解析题型三双变量问题方法之差值换元题型四双变量问题方法之主元法【答案】A题型五双变量问题方法之对数（指数）均值不等式.易证！题型六双变量题型之结合函数单调性【技巧通法·提分快招】与函数单调性有关的双变量问题常见结论：【答案】C【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项.故选：C.【答案】A故选：A.【分析】（1）求出导函数，利用导数法求得的单调区间即可．(2)证明见解析【分析】（1）二次求导，利用导数分析函数的单调性；题型七双变量题型之结合极值（点）【技巧通法·提分快招】与极值点有关的双变量问题（i）求实数的取值范围；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）通过求函数的导数，根据导数的正负来确定函数的单调区间，对于导数对应的一元二次方程，利用判别式判断根的情况，进而分析函数单调性.(2)答案见解析.(3)证明见解析（2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性；（3）利用函数的极值点以及函数的单调性，转化证明即可．综上所得，(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程；（2）通过求导分析函数单调性，结合特殊点的值确定零点个数；（3）根据极值点的性质得到相关等式，再通过构造函数进行证明.题型八双变量题型之结合最值（含恒能成立）A．1 B．【答案】D故选：D．【答案】A故选:A.【答案】C故选：C.【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数在区间上的取值集合，再借助集合的包含关系列式求解作答.【点睛】本题重点是根据函数解析式做出函数图像，然后根据换元的思想，把双变量问题转化为单变量问题，然后就可以轻松求解.【答案】故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解多变量的式子最值的问题；解题关键是能够对于已知等式进行同构变形，将问题转化为某一单调函数的两个函数值相等的问题，从而确定两个变量之间的关系，将所求式子化为单变量的式子来进行求解.【答案】综上，.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将双变量转化为单变量，从而将问题转化为函数恒成立问题，由此得解.【答案】(1)答案见详解【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调区间；【答案】(1)答案见解析；（ⅰ）求实数k的取值范围；【答案】(1)1【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，根据单调性求出最大值即可.题型九双变量题型之结合零点【技巧通法·提分快招】【答案】证明见解析【分析】通过方程根的关系进行变形，构造新函数，利用导数证明不等式。【答案】证明见解析【答案】(1)答案见解析(2)(3)证明见解析综上所述，实数的取值范围为.【答案】(1)答案见解析【分析】（1）通过分类讨论，利用导数求函数的单调区间；(3)证明见解析题型十双变量题型之不等式证明【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据导函数的正负变化分类讨论函数的单调性；综上所述，【点睛】比值代换，是处理双变量问题的策略之一.通过比值代换，我们可以将双变量问题转化为单变量问题来处理，达到消元的效果，在处理比值代换时，要注意一些常见的变换结构，如以下的结构变换方法：(3)证明见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案;(3)证明见解析【分析】(1)根据导函数几何意义，利用函数导数求切线方程.(2)根据任意恒成立的解题思路，求构造函数最值，根据最值范围求参数范围.(3)根据题干条件，列出两个函数之间的等式方程，化简求得两个参数之间的关系，列出不等式，对不等式进行放缩，证明题目问题.【答案】(1)答案见解析(2)1(3)证明见解析原命题得证.(3)证明见解析【分析】（1）首先求导函数的零点，再根据导数与函数单调性的关系，即可求解函数的单调区间；检测Ⅰ组重难知识巩固A． B．1 C． D．【答案】A故选：A【答案】C【分析】通过构造函数，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析.故A错误；故D错误；故选：C.【答案】A故选：A.【答案】A【分析】根据函数极值点的定义，由导函数及韦达定理计算参数a范围，可直接判定A；对于B项，消元转化为单变量，构造函数判定其单调性求最值即可；对于C项，利用韦达定理消元转化计算即可；对于D项，化简比值代数式，将问题化为判定两点斜率问题，结合对数函数的图象即可判定.故选：A．【答案】(1)1(2)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的方程即可；【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，分类讨论函数的单调性.x0+0单调递减单调递增单调递减（i）求的取值范围；【点睛】关键点睛：对于极值问题，常转化为函数导函数的变号零点问题；对于双变量或多变量问题，问题关键为消元，所以要从题目信息中找到变量间的数量关系.【答案】(1)0(2)证明见解析【分析】（1）根据极值点得到的值，但是不要忘了检验是否符合题意.综上所述，实数的值为0．【答案】(1)答案见解析(3)证明见解析【点睛】思路点睛:利用导数求含参函数的单调性时，一般先求函数的定义域，求出导数后，令导数为零，解方程，讨论方程的根的个数以及根与定义域的位置关系，确定导数的符号，从而求出函数的单调性.(1)求实数的值.【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析（i）求实数的值；【分析】（1）利用导数的几何意义求得斜率，进而求得切点，再利用点斜式即可写出切线方程；【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）借助导数与单调性的关系，结合参变分离计算即可得；（2）多次求导，得到函数的单调性与奇偶性即可得；(2)证明见详解所以的取值的集合为.

所以的取值的集合为.(2)证明见解析【点睛】关键点睛：对于一次求导后无法判断单调性的函数，往往可进行多次求导；对于双变量问题，核心思想为由题目已知条件，将双变量转变为单变量问题.(2)证明见解析【分析】（1）首先求函数的导数，再判断函数的单调性，求函数的极值；【点睛】思路点睛：第二问的思路首先是变形不等式，根据不等式构造函数，利用函数的单调性，结合最值，即可证明.检测Ⅱ组创新能力提升【答案】BCD【分析】对于A选项，尝试找反例.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题涉及双变量，构造函数，难度较大.对于A选项，直接证明较为复杂，故尝试找反例.【答案】ACD故选：ACD.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．【答案】(1