专题01有理数（期中知识清单7知识14题型4易错3方法清单）七年级数学上学期新教材苏科版（原卷版）

专题01有理数（7知识&14题型&4易错&3方法清单）【清单01】正数与负数1.正数：大于0的数，如+1、2、1.2等。正数有时可在前面加“+”，有时“+”可省略。2.负数：小于0的数，如1、2、1.2等。负数是在正数前面加上“”号，“”不可省略。3.0的意义：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线。0可表示“没有”，如教室里0人；0也是整数、自然数、有理数。4.相反意义的量：正数和负数可用来表示具有相反意义的量。例如，零上8℃表示为+8℃，零下8℃表示为8℃。选择哪个量为正一般是人为规定的。【清单02】有理数1.概念：整数和分数统称为有理数。正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）；正分数和负分数统称为分数。有理数都可以写成分数的形式。表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。2.分类方法：按概念分类：整数、分数。按正负分类：正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。【清单03】数轴1.概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度。三者缺一不可，同一数轴上的单位长度要统一。2.画法：画一条水平的直线。在这条直线上取一点作为原点，表示0。规定直线上从原点向右为正方向（画箭头表示），向左为负方向。取适当长度（如1cm）为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1、2、3…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示1、2、3…。3.与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。4.比较大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。【清单04】绝对值与相反数1.绝对值：（1）几何意义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。（2）代数意义：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。（3）符号表达：如果a>0，那么|a|=a。如果a<0，那么|a|=a。如果a=0，那么|a|=0。2.相反数：（1）概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。（2）性质与判定：任何数都有相反数，且只有一个。互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数。若a、b互为相反数，则a+b=0。几何意义：在数轴上与原点距离相等的两点所表示的两个数，为互为相反数。互为相反数的两个数在数轴上的点（0除外）在原点两旁且与原点的距离相等。（3）求法：求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“”即可。求多个数的和或差的相反数，需要先用括号括起来再添上负号“”，然后化简。前面带“”的单个数，也应先用括号括起来再添加“”，然后化简。表示方法：一般情况下，a的相反数是a，a是任意有理数。（4）多重符号的化简：“+”号个数不影响化简的结果，可以直接省略。“”决定最后化简结果，“”的个数是奇数，结果为负；“”的个数是偶数，结果为正。【清单05】有理数的加法与减法1.有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加，仍得这个数。2.有理数的加法运算律：交换律：a+b=b+a。结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即ab=a+(b)。【清单06】有理数的乘法与除法1.有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正。2.有理数的乘法运算律：交换律：a×b=b×a。结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。分配律：(a+b)×c=a×c+b×c。有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。0不能做除数。【清单07】有理数的乘方与混合运算1.概念：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方。相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方运算的结果叫幂。2.法则：正数的任何次幂都是正数。负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。0的任何正整数次幂都是0。3.有理数的混合运算的运算顺序：先乘方，后乘除，再加减，如果有括号，先进行括号内的运算。【题型一】绝对值、相反数、倒数【例1】的绝对值是（）A．8 B． C．6 D．【变式11】下列两个数中，互为相反数的是（

）【变式12】的倒数是，的相反数是【题型二】科学记数法【例2】中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作．根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（

）【变式21】2025年春节期间，无锡市65家备案博物馆接待游客总数约人次．数据用科学记数法表示为（）【题型三】最大、最小的数【例3】下列各有理数中，最大的是（

）A． B． C． D．0【变式31】下列四个有理数中，最小的是（

）A．0 B． C． D．【变式32】在0，，，中，最小的数是．【题型四】比较大小【例4】比较下列各组数的大小，正确的是（）【变式41】下列比较有理数，，大小正确的是（

）【变式42】比较大小：．（填“”“”或“”）【题型五】绝对值的非负性A．3 B． C． D．2A．， B．， C．， D．，【题型六】新定义运算A．3 B． C．7 D．A． B． C． D．【题型七】程序流程图【例7】如图，这是一个“数值转换机”，若输入数字1，则输出结果为（

）A． B．3 C． D．11【变式71】按如图的程序计算，若输入的值为，则输出的结果是（

）A． B． C． D．【变式72】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2025次输出的结果为．【题型八】数轴上表示数并比较大小【例8】把下列各数在数轴上表示出来，并用“”号连接起来．(1)把各点画在数轴上，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来；(2)直接写出、和、两点之间的距离．【变式82】（1）在数轴上把下列各数表示出来；（2）用“”连接各数．【题型九】有理数的分类(1)正数：；(2)负数：；(3)整数：；(4)分数：．【变式91】把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可）正有理数集合：{

…}；负有理数集合：{

…}；整数集合：{

…}；负整数集合：{

…}；有理数集合：{

…}．【变式92】把下面的数填入它们属于的括号内：正数：{

…}；负数：{

…}；整数：{

…}．【题型十】有理数的混合运算【例10】计算：【变式101】计算：【变式102】计算：【题型十一】有理数的实际应用【例11】某粮库一周内进出粮食的记录如下（运进为正，运出为负，单位：吨）：(1)通过计算说明这一周粮库的粮食是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？(2)若粮库原有粮食1000吨，则现在粮库有粮食多少吨？(3)若每吨粮食的运费为20元，则这一周共需运费多少元？【变式111】某水果店销售一种“巧克力”草莓，统计了一个月（按四周计算）的实际销售情况，以每千克15元为标准售价，超过或不足的钱数分别用正、负来表示；以每周的销售量200千克为标准，超过或不足的数量分别用正、负来表示，记录如表：第一周第二周第三周第四周相对于标准售价（元）相对于标准销售数量（千克）(1)这个月内，“巧克力”草莓售价最高的是第几周？这一周的售价是每千克多少元？(2)这个月“巧克力”草莓实际的销售数量是多少千克？(3)已知这种“巧克力”草莓的进价是每千克13元，若这家水果店本月原计划按标准数量销售，则这家水果店这个月实际销售“巧克力”草莓的利润比原计划销售“巧克力”草莓的利润多了多少元？【变式112】一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）：(1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？(2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？【题型十二】数轴折叠问题【例12】如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有点A，B，C三个点，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，设点A，B，C所对应的数的和是m．(1)若A表示的数是，则数轴上点B所表示的数为：；(2)若以B为原点，求m的值；(3)若C表示的数是8，将数轴折叠，使点A与点C重合，求折叠后与点B重合的点表示的数．(1)点表示的数为______．(2)与点的距离为4的点表示的数为______；(3)若将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则点与数______表示的点重合；(4)若数轴上、两点之间的距离为2018（在的左侧），且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是：：______：______．【变式122】如下图，已知在纸面上有一数轴，折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合．若数轴上数表示的点与数1表示的点重合，根据此情境解决下列问题：(1)数轴上数3表示的点与数________表示的点重合．(2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是________．(3)若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，点M表示的数比点N表示的数大，则M，N两点表示的数分别是什么？【题型十三】数轴最值问题【例13】阅读：【探索】：(2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7．(1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______；(3)数轴上点A用数a表示，探究以下几个问题：【题型十四】数轴动点问题(1)线段的中点表示的数为；点N表示的数为（用含的代数式表示）．(2)当M、N两点相距6个单位时，求t的值．(3)当点P与数轴上表示的点重合时，求t的值；①求t为何值时，点P与点Q第一次相遇；②求点Q一共运动了多少个单位长度，并求点Q停止运动时在数轴上所表示的有理数；③在点Q第一次到达点B前，请直接写出点P与点Q之间的距离不超过15个单位长度的时长．【变式142】阅读理解，完成下列各题：【题型一】混淆相反意义的量与数学符号的直接对应A．向东走 B．向西走 C．向南走 D．向北走A．支出90元 B．收入90元 C．支出300元 D．收入300元【题型二】忽略数轴双向延伸特性，未考虑两点间双向距离A． B．7 C．4 D．0【变式21】已知数轴上，两点分别表示，6．若在数轴上找一点，使得点与点的距离为4；找一点，使得点与点的距离为1．下列不可能为点与点的距离的是（

）A． B． C． D．【题型三】混淆绝对值运算与相反数运算的先后顺序A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数【题型四】仅关注数字规律而忽略符号变化A．2 B．4 C．6 D．8A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓【变式42】观察下列各式：，，，，，根据其中的排列规律，则第n个式子为．【题型一】循环周期问题方法：先找出循环节；再根据求的是第多少的数，用总数除以循环节的个数，看余数即可【例1】观察图中正方形四个顶点所标数字的规律，可知数2025应标在（

）A．第507个正方形的右上角 B．第507个正方形的右下角C．第506个正方形的左上角 D．第506个正方形的左下角．A．点 B．点 C．点 D．点【变式12】如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算输入1，则输出的是，返回进行第三次运算输入，则输出的是，…