2026年高考数学一轮复习专题2.4 指数与指数函数（举一反三讲义）（全国）（解析版）

专题2.4指数与指数函数(举一反三讲义)【全国通用】【题型1指数幂的运算】 【题型2指数幂的化简、求值】 【题型3指数函数的判定与求值】 【题型4指数(型)函数的图象问题】 【题型5比较指数幂的大小】 【题型6利用指数函数的单调性解不等式】 1【题型7指数(型)函数的单调性问题】 【题型8指数(型)函数的综合问题】 1、指数与指数函数真题统计(1)了解根式的概念及性质(2)熟练掌握指数函数的图象与性质2023年新课标I卷：第4题，5分2024年天津卷：第2题，5分、2025年北京卷：第4题，4分2025年天津卷：第7题，5分2025年上海卷：第14题，4分对数函数的图象与性质解决具体的问度不大.知识点1指数运算的解题策略1.指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.知识点2指数函数的常见问题及解题思路1.比较指数式的大小3.指数型函数的解题策略涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单举一反三举一反三【题型1指数幂的运算】A.2√2方式.标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的若视力4.0的视标边长约为10cm,则视力4.9的视标边长约为() A.1V10B.19108【解题思路】由题意结合指数幂的运算法则计算即可得.【解答过程】由题意可得，视力4.9的视标边长约为：为自然对数的底数),则()A.eˣ1+x²=ex¹·ex²B.x₂<0时两种情况利用函数新定义可得C正确.【解答过程】对于A,取x₁=3,x₂=-2,左边x₁+x₂=1≥0,即左边等于e;对于B,取x₁=1,x₂=2,左边x₁-x₂=-1<0,即左边等于1;所以自然指数函数满当且仅当e¹=e²即x₁=x₂时取等号，故C正确；对于D,取x₁=-1,x₂=-1,左边x₁x₂=1>0,即左边等于e;右边等于(e-¹)-¹=1-1=1,故D错误.【变式1-3】(2025·江苏镇江·三模)自“ChatGPT”横空出世，全球科技企业掀起一场研发AI大模型的热潮，随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，Tanh函数的解析式为经过某次测试得知1则当把变量减半时，【答案】A【解题思路】根据题意，由得到exo=3求解.【解答过程】:【题型2指数幂的化简、求值】【例2】(2025-河南新乡·二模)A.16B.8√2【解题思路】应用指数幂运算的性质化简求值.A.8B.16【解题思路】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.所以a-²+a²=(a-¹-a¹)²+2=4【答案】A【解题思路】利用指数幂的运算性质化简计算即可.【解答过程】【题型3指数函数的判定与求值】A.1【解题思路】由函数的奇偶性知f(-2)=-f(2),代入相应解析式计算即可.f(-2)=-f(2)=-(2²-3)=-1.【解答过程】若1-a≥0,即a≤1,可得f(1-a)=41-a=4,由f(-x-2)=f(x),因此4是函数f(x)的一个周期，故选：D.【题型4指数(型)函数的图象问题】【例4】(2025·天津·二模)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为().【答案】D【解题思路】根据f(0)=0排除A,根据定义域排除B,根据奇偶性排除C,进而可得答案.【解答过程】对于A,在x=0处无意义，故A错误；对于B:的定义域为R,故B错误；对于C:的定义域为{x|x≠±1},,则f(x)为偶函数，故C错误；对于D,满足图中要求，故D正确.故选：D.【变式4-1】(2025·四川绵阳·模拟预测)函的图象大致为()【解题思路】根据函数的奇偶性排除A,再根据函数在x=1处函数值的正负排除B和C,得出结果.A.横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)B.横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)C.纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)D.纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变)【解题思路】由y=9×=32x,根据平移法则即可解出.【解答过程】因为y=9x=32x,所以将函数y=3×的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数y=9x的图象，【变式4-3】(2025·山东青岛·二模)已知函数f(x)=x,g(x)=2×A.f(x)+g(x)B.f(x)-g(x)C.f(x)g(x)D.【解题思路】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案.【解答过程】f(x),g(x)的定义域由图易知其为奇函数，而f(x)+g(x)与f(x)-g【题型5比较指数幂的大小】A.ba<ab<aa<bbB.ab<aa<ba<bbC.b<ab<aa<baD.ab<ba<aa<bb【解题思路】利用指数函数的单调性比较大小即可.【解答过程】因为函数y=ax(0<a<1)是减函数，所以0<ab<a⁴<1,同理，函数y=b×(b>1)是增函数，所以1<ba<b.A.c<b<aB.a<c<bC.a<b<c【解题思路】首先根据指数函数性质得到b最大，再利用幂函的单调性比较出a,c大小关系即可.【解答过程】因,则0<a<1,b=2sin6=22=√2>1,接下来比较3的大小关系，因,而A.y<x<0B.0<x<yC.y<0<x【答案】C【解题思路】由已知可得0<m<1,然后结合指数函数单调性和分式不等式性质可以判定x,y的正负，进而做出判定.【解答过程】∵2025m=2024,∴0<m<1,:又∵2025m=2024,∴2024m>2023,∴x=2024m-2023>0;且2025m=2024,【变式5-3】(2025·广东广州·一模)已知实数a,b满足3a=4b,则下列不等式可能成立的是()A.b<a<0B.2b<a<0C.0<a<b【解题思路】设指数函数f(x)=3*,g(x)=4*,h(x)=2×,在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解.【解答过程】设函数f(x)=3*,g(x)=4*,h(x)=2×,作出函数图象如下，y=ty=g(x)-/y=f(x)对C,当t>1时，直线y=t与函数f(x)=3×,g(x)=4x的图象交点的横因为3a=4b,所以3a=22b,个个y=ty=f(x)-y=h(x)y=t对D,当t>1时，直线y=t与函数f(x)=3×,h(x)=2x由函数图象可知，0<a<2b,D错误；【题型6利用指数函数的单调性解不等式】解集为()A.[-2,2]B.[-2,0]U(2,+∞)C.(-2,0)U[2,+∞]【解题思路】根据奇函数的特点及题设函数画出函数的图象，进而结合图象求解即可.【解答过程】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,由图可知，不等式f(x)≥0的解集为[-2,0]u(2A.a>1,且s>0C.0<a<1,且s>0D.0<a<1,且s<0【答案】D【解题思路】利用指数函数的性质分类讨论a与1的关系即可判定选项.此时若s-1<0,则一定有as-1>A.{x|x≥-1}C.{x|x<3}D.{xl-1≤x【解题思路】利用指数函数的单调性来解指数不等式，再利用交集运算即可.【解答过程】则A∩B={x|x≤-1}n{xl-2<x<3}A.(-2,0)B.(-∞,-2)U(0,+∞)C.(0,2)D.(-∞,0)U(2,+∞)【题型7指数(型)函数的单调性问题】A.[-∞,0]B.(-∞,1)C.(0,+A.a≤2B.a≥2【答案】A数单调性确定内层函数单调性，进而求出a的取值范围.在中，,,所在R上单调递减.对于二次函数u=x²-ax,其图象开口向上，对称轴A.(-2,+∞)B.(-1,+∞)C.(-∞,-2)【答案】A【解题思路】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可.所以a的取值范围是(-2,+∞).【解答过程】对AB:当λ=1时，其定义域为R,,故f(x)为偶对CD:当λ=-1时，,其定义域为R,,故f(x)为奇函数；【题型8指数(型)函数的综合问题】1)+f(a-x²)>2,则实数a的取值范围是()A.B.{ala<5}C.D.{a【解题思路】结合指数函数、幂函数的单调性确定f(x)的单调性，构造函数g(x)=f(x)-1再利用性质求解不等式.,即函数g(x)是奇函数，不等式f(x+1)+f(a-x²)>2⇔f(x+1)-1⇔g(x+1)+g(a-x²)>0⇔g(x+1)>-g(a-x²)=g(x²-a),则x+1>x²-a,依题意，a>x²-x-1在[-2,2]上恒成立，而当x∈[-2,2]时，x²-x-1≤5,则a>5,所以实数a的取值范围是a>5.故选：D.A.(-∞,2)B.(-∞,-2)C.(2,+∞)【答案】A【解题思路】首先判断f(x)的单调性与奇偶性，依题意可得a√x<x+1对于任意x≥0恒成立，再分x=0,x>0两种情况讨论，当x>0时参变分离可得利用基本不等式求出的最小值，即可得【解答过程】因为y=2025×,y=-2025-x在R上单调递增，所以f(x)=2025×-2025-x在R上单调递增，由f(-x-1)+f(a√x)<0恒成立，即f(a√x)<-f(-x-1)=f(x+1)恒成立，所以a√x<x+1对于任意x≥0恒成立，,当且仅当即x=1时取等号，综上可得实数a的取值范围为(-∞,2).故选：A.【变式8-2】(2025·安徽安庆·二模)函数f(x)=a·2-lxl+b的图象经过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直线相交，则()A.函数f(x)不具有奇偶性C.函数f(x)的值域为(-∞,2)D.函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)【解题思路】根据条件和指数函数的性质得出a=-2,b=2,然后利用函数的图像与性质逐一判断即可.【解答过程】函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(-x),故函数f(x)为偶函数，A错误；的图象无限接近直线y=2但又不与该直线相交，故a<0,且0≤a(2lx1-1)<-a,故a=-2,于是B,C的表达式.设函,若实数a满足不等式f(a²)+f(2a-3)<0,则a的取值范围A.(-1,3)B.(-3,1)C.(-∞,-3)U(1,+∞)D.(-∞【解题思路】根据条件分析函数f(x)的单调性果.在R上为增函数.过关测试过关测试一、单选题A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】由⇔mn<0即可判断.【解答过程】2.(2025·天津·高考真题)函数f(x)=0.3×-√x的零点所在区间是()A.(0,0.3)B.(0.3,0.5)