黑龙江省哈尔滨市第24中学2025年高二上数学期末复习检测模拟试题含解析

黑龙江省哈尔滨市第24中学2025年高二上数学期末复习检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆的焦点分别为，，椭圆上一点P与焦点的距离等于6，则的面积为（）A.24 B.36C.48 D.602．数列满足，，则（）A. B.C. D.23．已知为等腰直角三角形的直角顶点，以为旋转轴旋转一周得到几何体，是底面圆上的弦，为等边三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.4．设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（）A. B.C. D.5．已知递增等比数列的前n项和为，，且，则与的关系是（）A. B.C. D.6．下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.7．命题的否定是（）A. B.C. D.8．已知函数的部分图象与轴交于点，与轴的一个交点为，如图所示，则下列说法错误的是（）A. B.的最小正周期为6C.图象关于直线对称 D.在上单调递减9．设x∈R，则x<3是0<x<3的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件10．已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点、满足，，则（）A. B.C.2 D.11．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为（）A.2 B.C. D.812．下列命题中正确的是（）A.抛物线的焦点坐标为B.抛物线的准线方程为x=−1C.抛物线的图象关于x轴对称D.抛物线的图象关于y轴对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，分别是椭圆C：左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为___________14．如图是一个无盖的正方体盒子展开图，A，B，C，D是展开图上的四点，BD则在正方体盒子中，AD与平面ABC所成角的正弦值为___________.15．已知数列{an}满足an+2=an+1－an（n∈N*），且a1=2，a2=3，则a2022的值为_________.16．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为45°的直角梯形（如图所示），则该椭圆的离心率为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，与轴垂直，且（1）求椭圆的方程；（2）若点在椭圆上，且，求的面积18．（12分）求满足下列条件的圆锥曲线方程的标准方程.（1）经过点，两点的椭圆；（2）与双曲线－＝1有相同的渐近线且经过点的双曲线.19．（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为M，最小值为N，求的取值范围.20．（12分）已知函数的图像为曲线，点、.（1）设点为曲线上在第一象限内的任意一点，求线段的长（用表示）；（2）设点为曲线上任意一点，求证：为常数；（3）由（2）可知，曲线为双曲线，请研究双曲线的性质（从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究）.21．（12分）设圆的圆心为A，直线l过点且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E（1）判断与题中圆A的半径的大小关系，并写出点E的轨迹方程；（2）过点作斜率为，的两条直线，分别交点E的轨迹于M，N两点，且，证明：直线MN必过定点22．（10分）设数列的前项和，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列前项和，求使成立的的最小值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由题意可得出与、、的值，在根据椭圆定义得的值，即可得到是直角三角形，即可求出的面积.【详解】由题意知，.根据椭圆定义可知，是直角三角形，.故选：A.2、C【解析】根据已知分析数列周期性，可得答案【详解】解：∵数列满足，，∴，，，，故数列以4为周期呈现周期性变化，由，故，故选C【点睛】本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的周期性，难度中档3、B【解析】设，过点作的平行线，与平行的半径交于点，找出异面直线与所成角，然后通过解三角形可得出所求角的余弦值.【详解】设，过点作的平行线，与平行的半径交于点，则，，所以为异面直线与所成的角，在三角形中，，，所以.故选：B.【点睛】本题考查异面直线所成角余弦值的计算，一般通过平移直线的方法找到异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.4、B【解析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.5、D【解析】设等比数列的公比为，由已知列式求得，再由等比数列的通项公式与前项和求解.【详解】设等比数列的公比为，由，得，所以，又，所以，所以，，所以即故选：D6、B【解析】对各个选项进行导数运算验证即可.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B7、C【解析】根据含全称量词命题的否定可写出结果.【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定是.故选：C8、D【解析】根据函数的图象求出，再利用函数的性质结合周期公式逆推即可求解.【详解】因为函数的图象与轴交于点，所以，又，所以，A正确；因为的图象与轴的一个交点为，即，所以，又，解得，所以，所以，求得最小正周期为，B正确；，所以是的一条对称轴，C正确；令，解得，所以函数在，上单调递减，D错误故选：D.9、B【解析】利用充分条件、必要条件的定义可得出结论.【详解】，因此，“”是“”必要不充分条件.故选：B.10、D【解析】以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方可得答案.【详解】以向量为基底向量，所以所以故选：D11、C【解析】由斜二测还原图形计算即可求得结果.【详解】在斜二测直观图中，由为等腰直角三角形，，可得，.还原原图形如图：则，则.故选：C12、C【解析】根据抛物线的性质逐项分析可得答案.【详解】抛物线的焦点坐标为，故A错误；抛物线的准线方程为，故B错误；抛物线的图象关于x轴对称，故C正确，D错误；故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先计算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的横坐标为，代入椭圆C：求出.【详解】椭圆C：,所以.因为M在椭圆上,.因为M在第一象限,故.为等腰三角形,则,所以,由余弦定理可得.过M作MA⊥x轴于A,则所以,即M的横坐标为.因为M为椭圆C：上一点且在第一象限，所以，解得：所以M的坐标为.故答案为：14、##【解析】先复原正方体，再构造线面角后可求正弦值.【详解】复原后的正方体如图所示，设所在面的正方形的余下的一个顶点为，连接，则平面，故为AD与平面ABC所成角，而，故为AD与平面ABC所成角的正弦值为.故答案为：.15、【解析】根据递推关系求出数列的前几项，得周期性，然后可得结论【详解】由题意，，，，，，所以数列是周期数列，周期为6，所以故答案为：16、【解析】设圆柱的底面半径为，由题意知，，椭圆的长轴长，短轴长为，可以求出的值，即可得离心率.【详解】设圆柱的底面半径为，依题意知，最长母线与最短母线所在截面如图所示从而因此在椭圆中长轴长，短轴长，，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）由椭圆的性质求出，进而得出方程；（2）由，结合余弦定理求出，再由面积公式得出三角形的面积.【详解】解：（1），与轴垂直，，∴∴椭圆的方程为（2）由（1）知，∵，∴∴，∴的面积为【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于利用余弦定理结合完全平方和公式求出，进而得出面积.18、（1）；（2）【解析】（1）由题意可得，，从而可求出椭圆的标准方程，（2）由题意设双曲线的共渐近线方程为,再将的坐标代入方程可求出的值，从而可求出双曲线方程【小问1详解】因为，所以P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设与双曲线共渐近线的方程为,代入点，解得m=2,所以双曲线的标准方程为19、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求得，对参数进行分类讨论，根据导函数函数值的正负即可判断的单调性；（2）根据（1）中所求，求得，以及，再求其取值范围即可.【小问1详解】因为，故可得，令，可得或；当时，，此时在上单调递增；当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.综上所述：当时，在上单调递增；当时，和单调递增，在单调递减；当时，在和单调递增，在单调递减.【小问2详解】由（1）可知：当时，在单调递减，在单调递增又，，故在单调递减，在单调递增.则的最小值；又，当时，的最大值，此时；当时，的最大值，此时，令，则，所以在上单调递减，所以，所以；所以的取值范围为.20、（1）；（2）具体见解析；（3）具体见解析.【解析】（1）由两点间的距离公式求出距离，进而将式子化简即可；（2）求出，进而讨论两种情况，然后结合基本不等式即可证明问题；（3）根据为双曲线的焦点，结合双曲线的图形特征即可求得该双曲线的相关性质.【小问1详解】由题意，.【小问2详解】设，由（1），.若x>0，则，当且仅当时取“=”，则，，所以.若x<0，则，当且仅当时取“=”，则，，所以.综上：，为常数.【小问3详解】易知函数：为奇函数，则其图象关于原点对称.由（2）可知，曲线为双曲线，为双曲线的焦点，则它关于直线对称，还关于与垂直且过原点的直线对称.，则，易得.综上：双曲线关于原点（0,0）对称，且关于直线对称.容易知道，直线是双曲线C的渐近线.易知线段是双曲线的实轴，将代入双曲线解得顶点：.于是实轴长为焦距为，则离心率.21、（1）与半径相等，（2）证明见解析【解析】（1）依据椭圆定义去求点E的轨迹方程事半功倍；（2）直线MN要分为斜率存在的和不存在的两种情况进行讨论，由设而不求法把条件转化为直线MN过定点的条件即可解决.【小问1详解】圆即为，可得圆心，半径，由，可得，由，可得，即为，即有，则，所以其与半径相等.因为，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆（不包括左右顶点），且有，，即，，，则点E的轨迹方程为；【小问2详解】当直线MN斜率不存在时，设直线方程为，则，，，，则，∴，此时直线MN的方程为当直线MN斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，得，设，，有则将*式代入化简可得：，即，∴，此时直线MN：，恒过定点又直线MN斜率不存在时，直线MN：也过，故直线MN过定点.【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维