2025年中考数学真题完全解读（天津卷）

2025年中考数学真题完全解读（天津卷）

2025年天津市中考数学试卷依托《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，充分

展示了对学生核心素养的考查。整卷共设置了两个部分：第Ⅰ卷为客观性试题（选择题），包

括12个小题，每题3分，共36分；第Ⅱ卷为主观性试题（填空题与解答题），共13题，

总计84分。全卷满分为120分，考试时长100分钟。

从整体上看，本试卷表现出以下几个特点：

结构合理且题型多样

本卷题型主要包括选择题、填空题与解答题三大类，并在解答题中融合了图形几何、函数

应用、数据统计、综合实践等多种题型。在题量分布上，前后衔接合理，既有基础题，也

有拓展题，既兼顾知识覆盖全面，又注重思维拓展。与往年相比，基础题依旧占主要比例，

但在后续大题中融入了更多与实际情境相结合的综合应用题，彰显了适度的区分度。

难易梯度均衡，突出思维过程

选择题部分从第1题到第12题，既涵盖了二次根式、分式运算等基础知识，也考查了函数

增减性、轴对称图形等概念。题目由易到难，梯度明显，让不同层次的考生都有发挥机会。

填空题与解答题既要求学生对基础运算、几何推证和数据分析等进行熟练掌握，也注重对

学生的数学表达和条理性提出更高要求。最后几道题如第25题等，考查了二次函数的综合

运用、平行四边形的性质等，需要学生具备较强的抽象思维与综合解题能力，难度相对较

高，能有效区分不同水平考生。

充分体现课程标准的理念与要求

试卷注重与实际生活、学科交叉的结合。例如，有关“行程问题”的应用题，将古典问题

与现实场景巧妙融合；几何部分涉及旋转、尺规作图，反映了对空间观念与几何直观能力

的关注；数据分析与概率部分考查学生对样本数据平均数、众数、中位数及加权平均的掌

握与理解，培养学生从统计图解读社会信息的能力。这些设置符合新课标中“数学建模”

与“数学应用”方面的要求，也呼应了当代素养教育中数据信息处理及建模意识的培养目

标。

关注学生的综合素养与创新思维

纵观全卷，命题不再局限于纯框架式解答，而是通过实际情境激活学生对知识的调度与迁

移。比如第Ⅱ卷中对函数图象平移、三角函数求值、相似几何体求面积等，常常设计情景

化或者结合实际测量、真实调查的数据，让学生通过阅读、分析并提炼出关键的数量关系。

与此同时，这些试题也需要学生在解题时注重多步骤推理、严密的逻辑与规范化的表达，

体现出对思维方式的高层次要求，进一步激发了学生的创新能力和数学探究能力。

总体而言，2025年天津市中考数学试卷在题型、难度、知识覆盖和素养考查方面均实现

了稳中有进的变化，既保持了对基础知识的重视，也强化了应用与创新意识的培养。对日常

教学而言，教师需要加大对深度思维与学科融合的关注，引导学生在解决丰富多元的问题中

提升数学素养与核心思维能力。

与2024年相比，2025年天津市中考数学依然保持12道选择题+6道填空题+7道解答题的

总体架构，分值与时长配置未发生明显改变。

第Ⅰ卷（选择题）36分，第Ⅱ卷（非选择题）84分，满分120分；考试时长为100分钟。

知识点分布广

从数与代数到图形与几何、从统计与概率到综合探究，各板块内容均有涉猎，基本涵盖了

中学数学中的主干知识。例如：

数与代数部分注重基础运算，含有等基本恒等变形，也出

22

现了对分式、一次函数、二次函数及�反−比�例=函(数�的+考�)查(�。−�)

几何部分涉及全等与相似、三角函数计算、平移与旋转、圆的性质与切线、矩形判定

与勾股定理等；还出现了对轴对称、水平平移、视图三视图等较新颖的题目设计。

统计与概率部分则利用扇形统计图、条形统计图等综合分析计算平均数、众数与中位

数，兼具实用性与趣味性。

中档题扎实，压轴题强调综合

试卷中的中档题大多出现在第Ⅱ卷前端与第Ⅰ卷后端，这些题的难度适中，需要运用初

中阶段较常见的几何推断、一次二次方程等基本解题思维。压轴题如第25题，以二次

函数为载体，融合了平行四边形、对称轴与几何变换的思想，要求学生对函数与几何的

交融具备较强的整体把握，且思维跨度大，能很好地体现拔高考生能力、区分顶尖水平

的作用。

情境设置更贴近生活

在选择题与填空题中，出现了统计、概率与图形间转换等实际应用场景（如志愿服务时长、

交通出行数据等），强调对数据信息的提取和建模能力。

知识融合度提升

第Ⅱ卷部分解答题，将几何作图（如旋转、轴对称、平移）与函数思想（特别是二次函数

与反比例函数）结合考查，要求学生综合运用多章节知识进行推理论证。

几何题目深度有所加大

在圆、相似形、矩形综合性题目中，引入了多步推导和复杂的辅助线构造；尤其注重对几

何变换（旋转、平移、对称）的灵活应用，深化空间想象与推理。

数据分析题加入估计与决策

统计与概率类题目不仅要求读图、填数，还结合了“抽样估计整体”“频数与频率分布”

等概念，对学生分析与反思能力提出更高要求。

贴近当地学情与社会实际

题目中出现天津市跨区域人员流动量、大众出行场景等，既满足天津地区学生的熟悉情境，

也能激起学生对生活与数学联系的思考。

落实素养，注重思维过程

试卷以中等难度题为主体，兼具一定层次的思维挑战题目，能够促使教师在日常教学中更

加关注数学思维与方法引导，避免只局限于死记硬背公式与机械刷题。

对今后备考教学的建议

重视基础运算与规范表达，尤其是在代数与几何推理中，培养严谨的解题过程。

加强综合能力与思维拓展训练，引导学生用函数观点、几何变换、统计建模等多角度解决

问题。

适度引入实践活动及社会话题，将课本知识应用于探究真实情境，切合学科核心素养的培

养目标。

应用意识与跨章节调动

试题强调函数与几何、概率与统计等多知识点交叉，要求学生熟练掌握基础概念并能灵活

迁移，注重整体思路与综合解题策略。

推理链条与表达规范

对于几何作图和函数优化等问题，逻辑推理步骤更为细腻；学生需要条理化地表达过程，

并准确运用几何与代数语言。

注重实践与探究

部分新颖的情境题（如测量高度、行程分析）要求学生具有一定的实践操作与模型抽象能

力，会用函数、方程等进行量化描述与评价。

时间与速度的调配

题目综合度增加，学生需规划好解题顺序与答题速度，在准确审题的同时，合理分配解题

时间，提升应试效率。

下面从整体结构、各题考查内容及难易程度来分析本套试卷。

本套“2025年天津市中考数学真题”共分为第Ⅰ卷与第Ⅱ卷。

第Ⅰ卷为选择题，共12题，每题3分，总计36分。

第Ⅱ卷为非选择题，包括填空题6题（每题3分，共18分）和解答题7题（共66

分），两部分合计84分。

试卷满分120分，考试时间100分钟。

从题型来看，选择题占30%（36/120），填空题占15%（18/120），解答题占55%（66/120）。

题目难度在易、中、难三类中搭配合理，兼顾了基础知识、基本技能与综合能力的考查。

下面的表格按题号顺序（1–25）列示出每题的分值、题型、考查内容以及难易分析，便

于考生和老师从整体上把握本套试卷的知识分布与难度结构。

题号分值题型考查内容难易分析

13选择题有理数的除法运算易

23选择题组合体三视图易

33选择题无理数估算（夹逼法）易

43选择题轴对称图形的判断易

53选择题科学记数法易

63选择题特殊角三角函数值运算易

73选择题反比例函数性质易

83选择题一元一次方程应用（行程问题）易

93选择题分式的加法运算易

103选择题尺规作图与角平分线中

113选择题旋转变换、三角形的性质中

123选择题二次函数、几何综合较难

133填空题古典概型与概率计算易

143填空题多项式合并同类项易

153填空题二次根式运算（平方差公式）易

163填空题一次函数图象的平移易

题号分值题型考查内容难易分析

173填空题矩形性质、勾股定理、几何综合中

183填空题网格与几何作图、圆切线性质较难

198解答题一元一次不等式组的求解与数轴表示易

208解答题统计与概率：条形图、扇形图与数据分析易

2110解答题圆、切线与圆周角定理中

2210解答题解直角三角形应用（测量问题）中

2310解答题函数与行程问题的综合应用中

2410解答题坐标几何：等边三角形、平移与面积较难

2510解答题二次函数综合（顶点、对称轴、几何）难

难度比例

易：约占45%

中：约占30%

难：约占25%

不同难度题目的典型特点

易：例如第1、2、3、4、5题，大多考查基础知识与基本技能，如有理数运算、简单图

形的三视图、无理数估算或者科学记数法等，学生只要掌握常规运算和基础概念即可相对

容易地得分。

中：例如第10、11、17题，这些题目在基础运算或基础几何上稍作延伸，需要结合多

种知识进行适度推理或计算，对学生理解和推理能力有一定要求。

难：如第12、24、25题，通常涉及函数与几何的综合、较复杂的图形变换或方程式推

导，综合性强，逻辑要求高，需要学生在数学思想（如数形结合、分类讨论、方程思想、

函数思想）方面具备熟练的运用能力。

本套试卷总体难度适当，既覆盖了初中阶段的核心知识点，也注重考查了学生对数学思想方法

的综合运用。建议考生在复习备考时，先巩固基础，注重对中档题目方法与技巧的训练，最后

再攻关难度较高的综合性试题。祝各位考生在后续的学习和考试中取得优异成绩！

本套试卷综合考查了初中数学常见的函数与方程（如型的反比例函数、一元一次不等式

k

组、二次函数）、几何图形（如等腰三角形、矩形、组�合=体x的视图）以及统计与概率等内容，

体现了对学生多方面能力的考查。以下从知识、方法、心态三3方面，为同学们的后续复习提出

建议：重点知识板块

函数与方程：

试卷对、这类函数均有涉及，同时还考查了一元一次不等式组及其

�2

实际应�用=。�复习�时=，��要+系�统�掌+握�一次函数、反比例函数和二次函数的图象形状与性质，尤

其关注增减性、对称轴、顶点坐标的求法，以及方程组或不等式组在实际情境中的应用思

路。

几何与三角：

本卷涵盖了旋转、轴对称、平行四边形性质、等腰三角形判定与性质、矩形的对角线特征

及三角函数值的计算等。要熟练运用勾股定理、三角函数、全等与相似三角形等知识，并

灵活结合坐标几何方法来解题。

统计与概率：

概率中常见的“从个球中随机取出个”的题型，要注意列出所有等可能结果，并正确

求出所求情况数；对�于统计图表类题1，需熟悉条形图、扇形图、折线图等的特点，学会计

算平均数、中位数与众数等统计量。易错与易混知识点

函数图象增减性判断：

反比例函数中，当或时，增减走势不同，很多同学容易混淆。务必结合

�

象限和正负�性=，�严格区分�。>0�<0

三角函数特殊角运算：

比如、、等，要牢记准确的值，运算前先审清题目是否涉及角平分、

∘∘∘

倍角或sin邻3补0角c关os系60。tan45

尺规作图与几何推理：

作辅助线后，别忘了运用等腰三角形、外角定理等基本结论。有同学作图后忽略必要标注，

导致推理链条断裂或混淆。不同题型的解题技巧

选择题：

先通过排除法快速判断错误选项（可代入简单值或引用特殊情形），再结合准确计算。遇

到几何直观题，可先草图演示，留意捕捉关键特征。

填空题：

注意运算步骤的简洁与准确，特别是分式和根式运算要避免漏写或漏约分。若涉及科学记

数法，应仔细检查小数点移动的位数。

解答题：

(1)书写规范：定义、定理引用务必写明条件。

(2)画图精确：辅助线要合理，标注清晰。

(3)分步表述：先写已知条件，再展开推理，最终得出结论，保证逻辑层次分明。规划理调适

分阶段复习：

第一阶段：系统梳理，按章节或知识板块复习，针对错题及时查漏补缺。

o

第二阶段：综合提升，模拟整卷训练，注重时间分配与答题顺序的合理安排。

o

第三阶段：临考归纳，重复易错题型和核心公式，保持做题手感。

o

心态调整：

在紧张复习中，适当做些放松活动或短暂休息，有助于提升专注度。若遇到瓶颈题目或模

考失利，要以平常心看待，总结经验后继续前进。命题趋势与关注要点

融合创新：

考题往往会将函数、几何与数理统计结合在真实场景中，需要同学们会“建模”，即从文

字中抽象数学关系，并恰当使用所学知识求解。

运算转化与几何分析：

通过坐标法解决几何问题、把空间想象与代数运算相结合，依然是出题热点。

综合实践与探究：

未来题目可能更突出探究与实验，如“旋转结合平行四边形”或“实际测量结合三角函数”，

务必多加留意。

总之，同学们在备考过程中，要狠抓基础、强化综合运用，并保持积极心态。祝大家在中考中

发挥稳定，取得理想成绩！

2025年天津市中考数学真题

本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II

卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟．

答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并

在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上

无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．

祝你考试顺利！

第I卷

注意事项：

1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．

2．本卷共12题，共36分．

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.计算(21)(7)的结果等于（）

11

A3B.3C.D.

.33

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可．

【详解】解：2173；

故选B．

2.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要查了简单组合体的三视图．根据从前面看到的图形是主视图，即可求解．

【详解】解：根据题意得：它的主视图是

故选：D

3.估计16的值在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可．

【详解】解：∵469，

∴263，

∴3164，

∴16的值在3和4之间；

故选C．

4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要查了轴对称图形．根据轴对称图形得定义，逐项判断，即可求解．

【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，故本选项符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

故选：B

5.据2025年5月7日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到31492000人

次．将数据31492000用科学记数法表示应为（）

A.0.31492108B.3.1492107C.31.492106D.314.92105

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成a10n的形式，其

中1a10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与

小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负

整数．

【详解】解：将数据31492000用科学记数法表示应为3.1492107．

故选：B．

6.tan452cos45的值等于（）

2

A.0B.1C.1D.12

2

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解．

2

【详解】解：tan452cos45120

2

故选：A．

9

7.若点A3,y,B1,y,C3,y都在反比例函数y的图象上，则y,y，y的大小关系是（）

123x123

A.y1y2y3B.y3y2y1C.y1y3y2D.y2y3y1

【答案】D

【解析】

9

【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数y的增减性，进行判断即可．

x

9

【详解】解：∵y，

x

∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，y随着x的增大而增大，

9

∵点A3,y,B1,y,C3,y都在反比例函数y的图象上，且3013，

123x

∴y10y3y2；

故选D．

8.《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十

里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走

150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（）

A.240x150(x12)B.240x150(x12)

C.150x240(x12)D.150x240(x12)

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的

等量关系．

设快马用x天追上慢马，快马的总路程为240x里，慢马的总路程为150x12里，根据题意，列出方程

即可．

【详解】解：设快马用x天追上慢马，快马的总路程为240x里，慢马的总路程为150x12里，根据题

意得：

240x150x12．

故选：A

21

9.计算的结果等于（）

a21a1

111

A.B.C.D.1

a1a11a

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可．

21

【详解】解：原式

a1a1a1

2a1

a1a1a1a1

2a1

a1a1

a1

a1a1

1

；

a1

故选A．

10.如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相

交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G

为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边

AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（）

A.ABNAB.BNACC.CMADD.BMBD

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：CBNA，

再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可．

【详解】解：由作法得：CBNA，

根据题意无法得到ABN与CBN的大小关系，

所以无法确定ABN与A的大小关系，故A选项错误；

∵CD是△ABC的角平分线，

∴BCDACD，

∵BMDBCDCBN,BDMAACD，

∴BMDBDM，

∴BDBM，故D选项正确；

题干中没有说明ACB,A的大小关系，

∴无法判断ACB,CBN的大小关系，则无法得到BNC的度数，故B选项错误；

根据题意无法得到AD,CM的大小关系，故C选项错误；

故选：D

11.如图，在△ABC中，ACB90，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ABC，点B，C的对应点分

别为B,C,BC的延长线与边BC相交于点D，连接CC．若AC4,CD3，则线段CC的长为（）

121624

A.B.C.4D.

555

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，

熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接AD，交CC于点O，先证出RtACD≌RtACD，根据全等三

角形的性质可得CDCD3，再证出AD垂直平分CC，则可得CC2OC，ADCC，然后利用

勾股定理和三角形的面积公式求出OC的长，由此即可得．

【详解】解：如图，连接AD，交CC于点O，

由旋转的性质得：ACAC4，ACBACB90，

∴ACD90，

在Rt△ACD和Rt△ACD中，

ADAD

，

ACAC

∴RtACD≌RtACDHL，

∴CDCD3，

∴AD垂直平分CC，

∴CC2OC，ADCC，

∵ACB90，AC4,CD3，

∴ADAC2CD25，

11

又∵SADOCACCD，

ACD22

ACCD4312

∴OC，

AD55

1224

∴CC2，

55

故选：D．

12.四边形ABCD中，AD∥BC，B90,AB8cm,AD10cm,BC16cm．动点M从点B出发，

以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向

终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t2s时，

点M，N的位置如图所示．有下列结论：

①当t6s时，CNDM；

②当1t2时，BMN的最大面积为26cm2；

③t有两个不同的值满足BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当t6s时，点M在AD上，求出DM,CN，

可判断①；当1t2时，点M在AB上，利用三角形面积公式求出BMN的面积，利用二次函数的性质，

可判断②；分两种情况：当点M在AB上时，点M在AD上，结合BMN的面积为39cm2，列出方程，

可判断③．

810

【详解】解：根据题意得：点M在AB上的运动时间为4s，点M在AD上的运动时间为5s，点

22

N在CB上的运动时间为16s，

①当t6s时，点M在AD上，

此时AM2684cm，CN6cm，

∴DMADAM6cm，

∴CNDM，故①正确；

②当1t2时，点M在AB上，

此时BM2tcm，CNtcm，

∴BN16tcm，

112

∴SBMBN2t16tt216tt864，

BMN22

∵10，

∴当时，随的增大而增大，

t8SBMNt

∴当时，取得最大值，最大值为2，

t2SBMN286428

即当1t2时，BMN的最大面积为28cm2，故②错误；

③当点M在AB上时，

∵BMN的面积为39cm2，

11

∴SBMBN2t16tt216t39，

BMN22

解得：t13,t213（舍去），

∴当t3时，BMN的面积为39cm2；

当点M在AD上时，

∵AD∥BC，，

∴A180∠BB=90°，即ABAD，

11

此时SABBN816t644t39，

BMN22

25

解得：t，

4

25

∴当t时，BMN的面积为39cm2；

4

∴t有两个不同的值满足BMN的面积为39cm2，故③正确．

故选：C

第II卷

注意事项：

1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）．

2．本卷共13题，共84分．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋

子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________．

6

【答案】

13

【解析】

【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，解题的关键是掌握概

率公式．

用绿球的个数除以总球的个数即可得出答案．

【详解】解：袋子中绿球的个数为6，

球的总数为13，

6

所以抽到绿球的概率为，

13

6

故答案为：．

13

14.计算3xx5x的结果为____________．

【答案】3x

【解析】

【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可．

【详解】解：3xx5x315x3x；

故答案为：3x．

15.计算(611)(611)的结果为____________．

【答案】60

【解析】

【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．

利用平方差公式进行计算即可．

【详解】解：(611)(611)

=61-1

60，

故答案为：60．

16.将直线y3x1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则m的值可以

是____________（写出一个即可）．

【答案】2（答案不唯一，满足m1即可）

【解析】

【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解

析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到k0,b0，进行求解即可．

【详解】解：由题意，平移后的解析式为：y3x1m，

∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限，

∴m10，

∴m1；

∴m的值可以是2；

故答案为：2（答案不唯一，满足m1即可）

17.如图，在矩形ABCD中，AB2，BC3，点E在边BC上，且EC2BE．

（1）线段AE的长为____________；

（2）F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若FMN75，则线段MN的长为

____________．

15

【答案】①.5②.

3

【解析】

【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩

形的性质与勾股定理是解题的关键．

（1）求出BE1，再利用勾股定理即可求出答案；

（2）过点M作MHEF于H，由矩形的性质得到CDAB2，ADBC3，BDC90，

证明ABE≌ECFSAS，得到EFEA，BAECEF，则可证明AEF90，可得

EAFEFA45，则∠MNF180∠NFM∠NMF60；由勾股定理得AF10，则

AF10

FM，解直角三角形求出MH的长，进而可求出MN的长．

22

【详解】解：（1）∵BC3，EC2BE，

∴BCBECEBE2BE3，

∴BE1，

∵四边形ABCD是矩形，

∴ABE90，

∴AEAB2BE222125，

故答案为：5；

（2）如图所示，过点M作MHEF于H，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CDAB2，ADBC3，BDC90，

∵F为CD的中点，

1

∴DFCFCD1，

2

∴CFBE，

又∵CE2BE2AB，

∴ABE≌ECFSAS，

∴EFEA，BAECEF，

∴∠BEA∠CEF∠BEA∠BAE90，

∴AEF90，

∴EAFEFA45，

∴∠MNF180∠NFM∠NMF60；

在RtADF中，由勾股定理得AFAD2DF2321210，

∵M为AF的中点，

AF10

∴FM，

22

105

∴MHMFsin∠MFHsin45，

22

5

∴MH15，

MN2

sin∠MNHsin603

故答案为：15．

3

18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上．

（1）线段PA的长为____________；

（2）直线PA与VABC的外接圆相切于点A,ABBC．点M在射线BC上，点N在线段BA的延长线

上，满足CM2AN，且MN与射线BA垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，

并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）____________．

【答案】①.2②.见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形中位

线的判定和性质，相似三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．

（1）利用勾股定理进行求解即可；

（2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定线

段AC的中点G，利用网格确定点J为线段AI的中点，则GJ为三角形的中位线，利用一组平行线确定点N

为线段AQ的中点，证明ABH≌CBH和AHQ≌CHM，得出AQCM，即CM2AN，最后利

用切线的性质和等腰三角形的性质，得出△AMQ为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出MNAQ．

【详解】解：（1）由勾股定理得PA112，

故答案为：2；

（2）如图所示，点M,N即为所求，

作法：直线PA与射线BC的交点为M；取圆与网格线的交点D和E，连接DE；取格点F，连接AF，

与DE相交于点O；连接BO并延长，与AC相交于点G，与直线PA相交于点H；连接CH并延长，与

网格线相交于点I，连接AI，与网格线相交于点J；连接GJ，与线段BA的延长线相交于点N，则点M，

N即为所求．

理由：∵DAE=90，

∴DE为圆的直径，

∵AF为正方形的对角线，

∴DAFEAF45,

∴AF垂直平分线段DE，

∴点O为圆的圆心，

∴OAOC，

又AB=BC,OB=OB，

AOB≌COBSSS，

ABOCBO，

BG平分ABC，

∴点G为线段AC的中点，

由网格可知点J为线段AI的中点，

∴GJ为ACI的中位线，

∴GJCI，

∴点N为线段AQ的中点，

\AQ=2AN

∵AB=BC，BH=BH，，

ABH≌CBHSA∠SAB，H=∠CBH

∴AH=CH，，

∴∠BAH，=∠BCH

又∠QAH=∠MCH，

∴∠AAHHQQ=≌∠CCHHMMASA，

AQCM,

即CM2AN，

延长BH交QM于点T，

∵AB=BC,AQ=CM，

∴BQBM,

，

∴∵∠BQTBH=Q∠MMBH

∵AM为圆的切线，

∴OAH90，

，

∴∠OOAAB+OB∠Q,AM=90°

∴OBAOAB，

即，

∵∠QAM+∠OBA=90°，

∠OBA+∠AQM，=90°

∴∠△QAAMM=Q∠为A等QM腰三角形，

∴MNAQ，

∴点M,N即为所求．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

3x2x1①

19.解不等式组

2x3x5②

请结合题意填空，完成本题的解答．

（1）解不等式①，得____________；

（2）解不等式②，得____________；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）原不等式组的解集为____________．

【答案】（1）x1

（2）x2

（3）作图见解析（4）2x1

【解析】

【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，

（1）根据移项，合并同类项即可得解；

（2）根据移项，合并同类项即可得解；

（3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，

“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此画出图形；

（4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，

据此确定不等式组的解集；

解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则．

【小问1详解】

解：移项，得：3x2x1，

合并同类项，得：x1，

∴解不等式①，得：x1，

故答案为：x1；

【小问2详解】

移项，得：2xx53，

合并同类项，得：x2，

∴解不等式②，得：x2，

故答案为：x2；

【小问3详解】

把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示：

【小问4详解】

原不等式组的解集为：2x1，

故答案为：2x1．

20.为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校a名学生，根据统计的结果，绘

制出如下的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：

（1）填空：a的值为____________，图①中m的值为____________，统计的这组学生每月参加志愿服务的

时间数据的众数和中位数分别为____________和____________；

（2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数；

（3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多

少？

【答案】（1）40，25，4，3

（2）这组数据的平均数是3.2

（3）估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350

【解析】

【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的结合，求总数，部分的百分比，众数，中位数，加权

平均数，利用样本频数预估总体频数等内容，解题的关键是熟练掌握以上概念和公式，并灵活应用．

（1）利用求总数，部分的百分比，众数，中位数的公式和定义进行求解即可；

（2）利用加权平均数公式进行求解即可；

（3）利用样本频数预估总体频数即可．

【小问1详解】

解：a=5+6+10+14+5=40；

3小时人数所占的百分比为，

10

∴m25；40×100%=25%

∵在该组数据中4出现的次数最多，

∴众数为4；

中位数为排序后的第20位和21位的平均数，

33

∴中位数为3；

2

故答案为：40，25，4，3；

【小问2详解】

解：该组数据的平均数为，

5610145

∴这组数据的平均数是3.2�；=1×40+2×40+3×40+4×40+5×40=3.2

【小问3详解】

解：在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生占35%，

根据样本数据，估计该校1000名学生中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生约占35%，有

100035%350.

估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350．

21.已知AB与O相切于点C,OAOB,AOB80,OB与O相交于点D，E为O上一点．

（1）如图①，求CED的大小；

（2）如图②，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与O相交于点G，若O的半径为3，

求ED和EG的长．

【答案】（1）CED20

（2）33

【解析】

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：

（1）连接OC，切线的性质得到OCAB，三线合一，求出BOC的度数，圆周角定理求出CED的度

数即可；

（2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到EDFEFGFED60，直径得到

GED90，解RtGED，进行求解即可．

【小问1详解】

解：连接OC．

AB与O相切于点C，

OCAB．又OAOB，

OC平分AOB．

1

∴COBAOB．

2

AOB80，

COB40．

1

在O中，CEDCOD，

2

CED20．

【小问2详解】

由（1）知：CED20．

EC∥OA，

EFGAOB80．

EFG为DEF的一个外角，

EDFEFGFED60．

由题意，DG为O的直径，

GED90．

又O的半径为3，则：DG6．

EDEG

在RtGED中，cosEDG,sinEDG，

DGDG

ED6cos603,EG6sin6033．

22.综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）．

某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CDAC，EFAC，

且CDEF1.7m．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角

为31，CE32m．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整数）．

参考数据：tan220.4，tan310.6．

【答案】世纪钟建筑AB的高度约为40m

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长DF与AB相交于点G，在RtFGB和Rt△DGB中，分

GBGB

别求得GF和GD，再根据GFDFGD，列式计算求解即可．

tan31tan22

【详解】解：如图，延长DF与AB相交于点G，

根据题意，可得DG∥CA，

有GDB22，GFB31，DGB90，AGEFCD1.7，DFCE32，

GB

在RtFGB中，tanGFB，

GF

GB

GF，

tan31

GB

在Rt△DGB中，tanGDB，

GD

GB

GD．

tan22

GFDFGD，

GBGB

32．

tan31tan22

32tan22tan31320.40.6

GB38.4．

tan31tan220.60.4

ABAGGB1.738.440．

答：世纪钟建筑AB的高度约为40m．

23.已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6km，公园离家1.8km．小华从家出发，

先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min，之后匀速步行了12min到公园，在公园停留25min后，

再用15min匀速跑步返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家

的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：

（1）①填表：

小华离开家的时间/min161850

小华离家的距离/km0.6

②填空：小华从公园返回家的速度为____________km/min；

③当0x30时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式；

（2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以0.05km/min的速度散步直接到公园．在从家到公

园的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为y1，小华的妈妈离家的距离为y2，当y1y2时，求x

的取值范围（直接写出结果即可）．

0.1x0x6

【答案】（1）①0.1,0.6,1.8②0.12③y0.66x18

0.1x1.218x30

（2）12x24

【解析】

【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相

结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息．

（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可；

②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可；

③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可；

（2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集．

【小问1详解】

解：①小华去书店的速度为，

1分钟时小华离家的距离为00.1.6k÷m6；=0.1km/min

由图可知18分钟时，小华离家的距离为0.6km；

50分钟时，小华离家的距离为1.8km；

故答案为：0.1,0.6,1.8；

②小华返回家的速度为1.870550.12km/min

故答案为：0.12；

③由①得小华去书店的速度为