专题04图形的轴对称（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材青岛版

专题04图形的轴对称（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律图形的轴对称作已知图形的对称轴和作轴对称图形，熟练掌握最短路径问题基础必考点，常出现在解答题基础题，以作图题为主。垂直平分线和角平分线熟练运用垂直平分线和角平分线的性质，并用性质进行几何证明。性质的运用是必考内容，一般不单独考查，但在较难解答题中有频繁的应用，需熟练掌握。等腰三角形等腰三角形的性质特别是三线合一的运用，等边三角形的判定。常考题型，注意等边三角形的判定方法很多，需要灵活选用。知识点01图形的轴对称（1）轴对称：把一个平面图形沿某条直线折叠后，得到另一个与它全等的图形，图形的这种变化叫作轴对称，这条直线叫作对称轴。（2）两个图形成轴对称：一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，重合的点叫作对应点，如果两个点关于一条直线成轴对称，那么其中一个点叫作另一个点关于这条直线的对称点。（3）轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。（4）轴对称图形：一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫作轴对称图形。（5）轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系轴对称图形两个图形成轴对称图形区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴联系(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)把轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形成轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。知识点02线段垂直平分线（1）定义：垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。（2）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段的两端距离相等。（3）判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。知识点03角平分线（1）性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。（2）判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。知识点04等腰三角形（1）等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的性质定理2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合。（简写成“三线合一”）（3）顶角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形。（4）等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写为“等角对等边”）。知识点05等边三角形（1）等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。（2）等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（4）在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。题型一作轴对称图形答｜题｜模｜板【典例1】如图，在正方形网格中，点，，在小正方形的顶点上．(2)连接，直线l与线段的关系是；【答案】(1)见解析；(2)垂直平分；(3)见解析．（2）线段被直线垂直平分．故答案为：垂直平分；（3）连接交直线于点，则点即为所求点．理由：∵点关于直线的对称点，【答案】(1)见解析(2)见解析（2）解：作A关于直线的对称点，连接，与直线于点P，(3)作关于对称的线段．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【详解】（1）解：如图所示，（2）解：如图所示，（3）解：如图所示，∴即为所求．题型二最短路径问题答｜题｜模｜板早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．解：如下图，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置．∵直线是点，的对称轴，点，在上，易｜错｜点｜拨将军饮马模型是最短路径问题中的常见模型，利用作图解决方便快捷。变式模型较多，需逐一掌握。【典例1】笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场．(1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由．(2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由．【答案】(1)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析(2)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析【详解】（1）解：如图，连接交河岸于点，点即为所求；理由：两点之间线段最短，所以点为所选的位置。答：当点选在线段与河岸的交点时，此时运输总路程最短。（2）如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点,点即为所求。理由：点与点关于直线对称，由两点之间线段最短，点M为所选择的位置。答：选在线段与河岸的交点时，运输总路程最短。【变式1】如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出．【答案】见解析【详解】解：如图所示，即为所作．【变式2】【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？(1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容．点与点关于直线对称，直线垂直平分(2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）【答案】(1)三角形任意两边之和大于第三边，，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等(2)见解析点与点关于直线对称，直线垂直平分故答案为：三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求．根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求．题型三垂直平分线相关解答题答｜题｜模｜板∴点在垂直平分线上，∴点在垂直平分线上，∴垂直平分．点、都在的垂直平分线上，(2)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由．【答案】(1)12(2)点O在的垂直平分线上，理由见解析（2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下：∴点O在的垂直平分线上．题型四角平分线相关解答题答｜题｜模｜板【答案】(1)见解析(2)4【答案】(1)见解析(2)22【答案】(1)见解析(2)9题型五三线合一相关解答题答｜题｜模｜板【答案】(1)详见解析(2)详见解析【答案】7【答案】(1)(2)∴是的垂直平分线，∵的垂直平分线分别交、、于点E、F、O，答：的长为；（2）解：∵是的垂直平分线，题型六等边三角形的判定答｜题｜模｜板【答案】(1)，(2)见解析(3)见解析∵D是边的中点，【答案】(1)见解析【答案】(1)证明过程见解析；∵点D是的中点，理由：又∵有一个角是的等腰三角形是等边三角形，期中基础通关练（测试时间：10分钟）一、单选题【答案】A【详解】解：连接，延长交于D，∵点P是，的垂直平分线的交点，故选：A．【答案】C故选：C．【答案】C故选：C二、填空题【答案】6故答案为：6．【答案】24故答案为：24．三、解答题【答案】(1)31(2)【详解】（1）解：∵垂直平分，【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)故答案为：．【答案】(1)6；(2)证明见解析．期中重难突破练（测试时间：10分钟）一、单选题1．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个体育公园，要使体育公园到三个村庄的距离相等，那么这个体育公园应建的位置是（

）A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点【答案】D【详解】解：∵体育公园到三个村庄的距离都相等，故选：D．观察后得出如下结论：上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②④ C．②③ D．①④【答案】B综上，②④正确，故选：B．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C故选：C．二、填空题【答案】/12度故答案为：．【答案】/90度【详解】解：如图：∵和分别垂直平分和，故答案为：．【答案】度/【详解】解：如图所示，连接，又∵是公共边，故答案为：．三、解答题(2)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由．【答案】(1)12(2)点O在的垂直平分线上，理由见解析（2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下：∴点O在的垂直平分线上．【答案】与互相垂直，理由见解析【详解】解：与互相垂，理由如下：∴是线段的垂直平分线，∴与互相垂直，【答案】(1)见解析(2)2期中综合拓展练（测试时间：15分钟）一、单选题1．（2022年山东省泰安市中考数学）下列图形：其中轴对称图形的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【详解】从左到右依次对图形进行分析：第1个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第2个图在水平方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第3个图找不到对