专题07 巧构等腰三角形的四类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024八年级上册（原卷版）

1/10专题07巧构等腰三角形的四类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形类型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形压轴专练类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

图1图2图3条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON.结论：△OPQ是等腰三角形。条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。结论：△BDE是等腰三角形。条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。例1．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由；（2）如图2，若，其他条件不变，图中有个等腰三角形；与，间的关系是；（3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有个等腰三角形．与，间的数量关系是．【变式1-1】如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．(1)若，求的度数；(2)若是上的一点，且，求证：．【变式1-2】（1）如图1，，平分，则的形状是三角形；（2）如图2，平分，，，则．（3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则．（4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为．（5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是．类型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形.条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC.结论：△ADE是等腰三角形.条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB.结论：△CDE是等腰三角形.例2．如图，是的角平分线，，交于点．(1)求证：是等腰三角形．(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．【变式2-1】综合与探究如图，在中，，为延长线上的一动点，且，交于点．(1)如图1，求证：是等腰三角形．(2)如图2，当为的中点时，与有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由．【变式2-2】（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________．（2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程．类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形模型解析：如图，△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD≅△ACD,从而得AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形.例3．【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据______证明，则，（即点C为的中点）．【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______．【拓展延伸】（1）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．（2）如图4，中，，，点D在线段上，，，垂足为，与相交于点F．线段与的数量关系为______．（直接写出）【变式3-1】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，．【问题提出】（1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数；【问题探究】（2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系；【问题解决】（3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：作的平分线；再过点作交于点已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积．类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形．条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC.结论：△BDC是等腰三角形.条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD.结论：△ADC是等腰三角形.条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D.结论：△DBC是等腰三角形.例4．如图1，是的角平分线，，试探究线段，，之间的数量关系．小明的解题思路如下：①如图2，在上取一点，使，连接．②由，平分，是公共边，可得（理由：________），则，．③由，则．又因为，所以，则________又由，得．④根据上述的推理可知，，之间的数量关系为________．(1)请你补全小明的解题思路．(2)小明又想尝试其它方法：延长到点，使，连接．请你帮助小明，完成解答过程．【变式4-1】问题背景：在中，，点为线段一动点，当满足某种条件时，探讨在线段、、、四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系．(1)在图1中，当时，则可得，请你给出证明过程．(2)当时，如图2，求证：；(3)当是的角平分线时，判断、、的数量关系，并证明你的结论．一、解答题1．已知：如图，为的外角平分线上的一点，，，求证：(1)是等腰三角形；(2)．2．如图，是的角平分线，E是的中点，，交于点F，交延长线一点G．(1)求证：是等腰三角形；(2)求证：．3．某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E．(1)求证：加固后的是等腰三角形；(2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度．4．在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接．(1)点在的延长线上，①如图，求证：；②如图，当时，求的周长；(2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数．5．【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，常过点作交于点，易得为等腰三角形．(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，则重合部分是等腰三角形．请将以下过程或理由补充完整：∵在长方形中，，∴，由折叠性质可得：____________，∴，∴，（依据是：____________）∴是等腰三角形；(2)【类比探究】如图3，中，内角与外角的角平分线交于点，过点作分别交、于点、，试探究线段、、之间的数量关系并说明理由；(3)【拓展提升】如图4，四边形中，，为边的中点，平分，连接，求证：．6．已知在中，满足．

(1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点E，使得，连接，请直接写出之间的数量关系_________；(2)【问题拓展】如图2，当，AD为的角平分线时，在上取一点E，使得，连接，（1）中的结论还成立吗?若成立，请你证明；若不成立，请说明理由．(3)【猜想结论】如图3，当为的外角平分线时，在的延长线上取一点E，使得，连接，请直接写出线段的数量关系_________．7．如图，是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，且．(1)如图（1），若点是的中点，度，度，度，（选填“”“”或“”）．(2)如图（2），若点不是的中点，题（1）中与的关系还成立吗？说明理由（提示：可以过D作的平行线，通过全等三角形和等边三角形相关知识证明）；(3)如图（3），若点在线段的延长线上