甘肃省兰州市第八十一中学等校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页甘肃省兰州市第八十一中学等校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．3．如图，，若，，则的长为（

）A．6 B．9 C．12 D．154．如图，菱形的对角线，交于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．5．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（

）A． B． C． D．6．如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（

）A． B．C． D．7．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（）A． B． C． D．8．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（

）A． B． C． D．9．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（

）A．70° B．80° C．110° D．120°10．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）A． B．C． D．11．如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题12．已知是关于的一元二次方程，则．13．在比例尺为的地图上，某条道路的长为，则该道路的实际长度是．14．一个不透明的袋子里装有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为．15．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则．三、解答题16．用适当的方法解方程：(1)(2)17．如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为．

(1)画出关于y轴对称的；(2)以B为位似中心，在B的下方画出，使与位似且相似比为2∶1；(3)直接写出点和点的坐标．18．兰州市第六十六中学的操场可近似地看作一个矩形，已知学校操场的长比宽多，且其面积为．求学校操场的长度和宽度分别是多少米？19．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球．记下颜色后放回，搅匀，不断重复这个过程．获得如下数据：摸球次数200300400500100015002000摸到白球的次数118189232a5909151240摸到白球的频率0.590.630.580.600.590.61b(1)______，______；(2)当摸球次数很大时，估计摸到白球的概率是______；（精确到0.1）(3)若袋中有红球20个，请估计袋中白球的个数．20．已知：如图，在中，相交于点，且平分．(1)求证：是菱形；(2)若，，求菱形的周长．21．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小明利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小明的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．22．在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你元钱的奖品．(1)用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果；(2)求出获奖的概率；(3)如果有个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上骗走多少钱？23．如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，求菱形的面积．24．2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件．(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；(2)该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？25．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．(1)求证：四边形ABCG是平行四边形；(2)若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．26．在图1、图2，图3中．点、分别是四边形边、上的点；下面请你根据相应的条件解决问题．特例探索：（1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则________．在图2中，，，，，，；则________．归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．《甘肃省兰州市第八十一中学等校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷》参考答案题号12345678910答案BCCACDBDDA题号11答案C1．B【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．理解轴对称图形和中心对称图形的定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”及“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项进行判断即可．【详解】解：A选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B选项：是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C选项：是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；故选B．2．C【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程，进行求解即可．掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．【详解】解：由题意，得：，∴；故选C．3．C【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得出，代入计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，∴，故选C．4．A【分析】本题主要考查了菱形的性质．熟练掌握菱形对边平行，对角线互相垂直，是解题的关键．根据菱形对边平行得到，根据，得到．【详解】∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，故选：A．5．C【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．将给定的一元二次方程通过配方法变形为完全平方式的形式即可．【详解】解：，故选C．6．D【分析】本题考查矩形的判定方法，根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可．【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意；B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意；C、中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意；D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意；故选D．7．B【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，∴，，∴，∴，∵与的面积比为，∴与的相似比，即，∴，即，故选：B．8．D【分析】由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，画树状图得：∵共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况，∴可配成紫色的概率是：故选D．9．D【分析】根据相似多边形的性质以及四边形内角和求解即可．【详解】∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A=80°，∠C=90°，∠F=70°，∴∠E=∠A=80°，∠G=∠C=90°∴∠H=360°−∠E−∠F−∠G=360°−80°−70°−90°=120°故选D【点睛】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键．10．A【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，故选A．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.11．C【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．根据四边形是正方形及，可证出，则得到：①；可判断④；可以证出，则②一定成立；用反证法可证明，即可判断③．【详解】解：四边形是正方形，，，，，在和中，，，（故①正确）；∴∵四边形是正方形，∴∴（故④正确）；∴∵四边形是正方形，∴，，∴一定成立（故②正确）；假设，，（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），在中，，，这与正方形的边长相矛盾，假设不成立，（故③错误）；∴正确的有①②④共3个正确，故选：C．12．2【分析】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为．根据一元二次方程的定义来求解即可．【详解】解：是关于的一元二次方程，．故答案为：2．13．2【分析】本题考查比例尺的定义．熟练掌握比例尺的定义是解题的关键．根据比例尺的定义求解即可．【详解】解：实际长度，所以实际长度，故答案为：2．14．24【分析】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复试验中事件发生的频率等于事件发生的概率求解即可．【详解】解：∵观察统计图发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数附近，∴摸到白球的概率会接近，∵袋中白球的个数为6，∴估计袋子中共有个球，∴可估计袋子中黑球的个数为个，故答案为：24个．15．120【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的对角线互相平分，则可推出，，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算求解即可．【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点，∴点O为的中点，，∵，∴，∴，故答案为：120．16．(1)，(2)，【分析】本题考查了一元二次方程的解法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：，，，．．，．（2）解：原方程可化为：，，，，，，．17．(1)见解析(2)见解析(3)，【分析】本题考查了作图——轴对称变换，位似变换，求位似图形坐标，熟练掌握轴对称变换与位似变换的性质是关键．（1）根据轴对称的性质画图即可；（2）根据位似的性质画图即可；（3）根据（2）的图即可得到点和点的坐标．【详解】（1）解：如图1，即为所求；

图1（2）如图2，即为所求；

（3）由图2可知：，．18．长米，宽米【分析】本题考查了一元二次方程的应用．理解题意，设未知数建立正确的等量关系是解题的关键．通过设未知数，根据矩形面积公式建立方程来求解操场的长和宽即可．【详解】解：设操场的宽为，长为，则：，解得，（不合题意，舍去），操场的宽度为米；长度为米．19．(1)300；0.62；(2)0.6(3)30【分析】本题考查了利用频率估计概率：（1）根据摸到白球的个数等于摸球个数乘以摸到白球的频率，摸到白球的频率等于摸到白球的个数除以摸球个数计算即可；（2）根据频率估计概率计算；（3）由概率的估计值可计算白球的个数．【详解】（1）解：，，故答案为：300；0.62；（2）解：当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.6；故答案为：0.6．（3）解：摸到白球的概率的估计值是0.6，摸到红球的概率的估计值是0.4，袋中有红球20，球的个数共有：（个），袋中白球的个数为（个）．20．(1)见解析(2)20【分析】（1）根据平行+角平分线证明，即可根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明；（2）先根据菱形的性质得到，，，然后由勾股定理求解，即可求解周长．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，．∵平分，，，是菱形．（2）解：四边形是菱形，，，，，．21．【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，据题意可得，，，可证明，再利用相似三角形的性质列出比例式求出的长，进而求出的长即可得到答案．【详解】解：根据题意可得，，又∵，，．，，，，．答：树高为．22．(1)见解析(2)(3)元【分析】本题考查了概率的相关知识．熟练掌握概率的相关知识是解题的关键．（1）通过列表的方式列举出所有可能的摸球结果即可；（2）先找出两次都摸白球的结果数，共9种，再根据概率公式计算即可；（3）结合概率的知识，计算一定人数参与游戏时，摊主的盈利情况．【详解】（1）解：列表如下：123456123456共有种等可能的结果数；（2）解：前后两次摸得的都是白球的结果数为9，所以获奖的概率；（3）（元），即摊主可能会从这些人身上骗走元．23．(1)见解析(2)【分析】此题主要考查菱形的性质、等边三角形性质和矩形的判定，（1）可证明是等边三角形，根据中点得出，进一步求得四边形是平行四边形，即可得出答案；（2）利用等边三角形求得菱形的面积．【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，∴，又∵，∴是等边三角形，∵E是的中点，∴，∴，∵E、F分别是、的中点，∴，，∵四边形是菱形，∴且，∴且，则四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是矩形；（2）∵是等边三角形，，∴．24．(1)10％(2)110【分析】（1）设月平均增长率为x，再根据2022年1月的销售量×（1+x）2=2022年3月的销售量列出方程，求出解，舍去不符合题意的解即可；（2）设商品的售价为m元，可表示利润和每天的销售量，再根据单件利润×销售量=12000列出方程，再求出解，根据题意确定答案即可．【详解】（1）解：设月平均增长率为x，根据题意，得，解得，（舍去）．所以该店“冰墩墩”销售量的月平均增长率是10％；（2）解：设每件商品的售价应该定在m元，则每件商品得销售利润是（m-80）元，每天的销售量是500-10（m-100）=（1500-10m）件，根据题意，得，解得，．因为要使销售量尽可能大，所以．所以每件商品的售价应该定为110元．【点睛】本题主要考查了一