广西壮族自治区柳州市部分学校2025-2026学年高三上学期开学联考数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广西壮族自治区柳州市部分学校2025-2026学年高三上学期开学联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．2．已知函数，则（

）A．3 B．4 C．6 D．83．已知样本数据的方差为，的方差为，的方差为，则（

）A． B． C． D．4．直线与圆的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的5．如图，在的菱形网格（每个小菱形的边长均为1）中，向量与的夹角为，则（

）

A．1 B．2 C．3 D．46．已知是奇函数，当时，，则的极大值点为（

）A．3 B．2 C． D．7．在等腰直角中，，为内的一点，且，．则（

）A． B． C． D．8．如图，可任意转动的正方体容器（忽略容器的器壁厚度）内部装满了水，为的中点，在点的位置凿出三个小洞（将三个小洞视为质点），则这个容器最多可盛原来水的（

）

A． B． C． D．二、多选题9．已知集合，，则可能为（

）A． B． C． D．10．已知正项数列的首项，前项积为，且，则（

）A． B．数列是等差数列C．是递增数列 D．11．将由个顶点和条边(条边均为线段)构成的图，称为一个图．下列结论正确的是（

）A．三棱柱是一个图B．若平面内的5个定点（任意三点不共线）和7条边构成一个图，则这样的图共有120个C．若一个图的4个顶点分别位于平面直角坐标系的四个象限，且该图有且仅有2条边与轴相交，则这样的图共有8个D．若一个图的8个顶点分别位于空间直角坐标系的8个部分（三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成8个部分），且该图有且仅有2条边与平面相交，则这样的图共有7920个三、填空题12．复数的实部为．13．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：h），其中为常数．在此条件下，训练8000个单位的数据量与训练125000个单位的数据量所需的时间之和为，则．在此条件下，当训练个单位的数据量所需的时间为时，．14．已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是钝角三角形，则的离心率的取值范围为．四、解答题15．已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍．(1)求的方程；(2)若过点且斜率为的直线与交于两点，求．16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面底面是的中点．(1)证明：．(2)求平面与平面夹角的余弦值．17．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程．(2)证明：在上单调递减．(3)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．18．将函数图象上各点向右平移个单位长度后得到函数的图象．(1)求曲线的对称轴方程；(2)若在上单调递减，在上单调递增，求的取值范围；(3)若关于的方程在上的三个根分别为，求。19．一个盒子中有大小和质地均相同的6个球，其中有3个白球和3个黑球．从中任取1个球，若取出白球，则将该白球放回盒中，若取出黑球，则将该黑球换成1个大小和质地均相同的白球放回盒中，这样的过程称为一次操作．记第次操作后，盒中白球的个数为，期望为．(1)求．(2)当时，证明：．(3)求.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广西壮族自治区柳州市部分学校2025-2026学年高三上学期开学联考数学试题》参考答案题号12345678910答案ACDCADBBACDBC题号11答案ABD1．A【分析】根据抛物线的性质及焦点坐标公式计算求解.【详解】因为抛物线，所以焦点到准线的距离，且焦点在轴的正半轴上，所以焦点坐标为.故选：A.2．C【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入计算得解.【详解】函数，则.故选：C3．D【分析】先通过计算可得这三组数据的平均数相等，都为100，再结合数据的集中程度及方差的定义判断即可.【详解】样本数据的平均数为，样本数据的平均数为，样本数据的平均数为，则这三组数据的平均数相等，都为100，从数据观察，显然第一组数据的集中程度最强，第二组其次，第三组最弱，所以.故选：D.4．C【分析】由圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断.【详解】由，可知：圆心，半径为，圆心到直线的距离，所以直线与圆的位置关系为相离，故选：C5．A【分析】结合图形可知，，进而结合平面向量数量积的运算律求解即可.【详解】由图可知，，，则.故选：A.6．D【分析】由条件结合奇函数性质求函数在上解析式，再利用导数判断函数的单调性，确定函数的极大值点.【详解】因为为奇函数，所以，因为当时，所以当时，，当时，，令，可得或（舍去），当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，令，可得或（舍去），当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极大值点为，极小值点为，故选：D7．B【分析】依题意，作出和点，再作出的角平分线交的延长线于点，并连接，证明和，即可得到，最后利用等腰三角形底角的求法求解即可.【详解】如图所示，根据题意作出和点，再作出的角平分线交的延长线于点，并连接，由，可得，则，因为，，所以，又因为，所以，由，可得，所以则.故选：B.

8．B【分析】要使容器可盛水最多，需让平面为水平面，取的中点，则所在平面为，所以容器可盛水最多时水的体积等于正方体体积减去三棱锥的体积和四棱锥的体积之和，求出体积即可求解.【详解】根据题意可知要使容器可盛水最多，需让平面为水平面，取的中点，连接，，，，由于，所以四点共面，

则所在平面为，所以容器可盛水最多时水的体积等于正方体体积减去三棱锥的体积和四棱锥的体积之和.不妨设正方体的边长为2，则正方体的体积，因为为的中点，所以点到平面的距离为2，，所以，点到平面的距离为1，，所以，所以容器最多可盛原来水的，故选：B9．ACD【分析】化简，再分，，和且且四种情形化简，结合交集的定义求结论.【详解】方程的解集为，所以当时，，，当时，，，当时，，，当且且时，，，故选：ACD10．BC【分析】由数列递推式得，则数列是首项为，公差为1的等差数列，根据等差数列通项公式得到，可判断A、B；根据即可判断C；根据可求即可判断D.【详解】，，则数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，即，，故A错误，B正确；，因为函数在单调递增，所以是递增数列，故C正确；，，故D错误.故选：BC.11．ABD【分析】根据图的定义判断A；根据定义问题化为从10条边中选择7条判断B；设顶点分别为第一、二、三、四象限，其中非跨边(不跨过轴)有共2条，跨边(跨过轴)有共4条，问题化为从4条跨边中选2条判断C；由题意有4个顶点，有4个顶点，其中非跨边(不跨过平面)有条，跨边(跨过平面)有条，问题化为12条边中有10条非跨边、2条跨边判断D.【详解】A：三棱柱有6个顶点(两个三角形底面)和9条边(底面、顶面、侧面各3条)，因此是图，正确；B：平面内有5个定点(任意三点不共线)，构成图，总可能边数为，从10条边中选择7条为，正确；C：4个顶点分别位于四个象限(位置固定)构成图，要求有且仅有2条边与x轴相交，设顶点分别在第一、二、三、四象限，其中非跨边(不跨过轴)有共2条，跨边(跨过轴)有共4条，图有4条边，需恰好2条跨边，只需从4条跨边中选2条为，错误；D：8个顶点分别位于空间直角坐标系的8个部分(位置固定)，构成图，要求有且仅有2条边与平面相交，则有4个顶点，有4个顶点，其中非跨边(不跨过平面)有条，跨边(跨过平面)有条，由图有12条边，有且仅有2条边与平面相交，即12条边中有10条非跨边，2条跨边，所以共有条，正确.故选：ABD12．【分析】利用复数乘法，结合复数的定义求得答案.【详解】复数的实部为.故答案为：13．6【分析】根据给定的函数模型及已知求得，再由训练个单位的数据量所需的时间为列方程求参数值.【详解】由题设，则，可得，所以，若，可得.故答案为：6，14．【分析】作出示意图如图所示：不妨设在第一象限，由题意可得，分，两种情况，结合余弦定理可得的关系式求得的离心率的取值范围.【详解】作出示意图如图所示：不妨设在第一象限，因为关于原点对称的两点均在上，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，所以，又，所以，因为是钝角三角形，所以或为钝角，若是钝角，由余弦定理可得，则可得，所以，所以，所以，所以，又，所以，即，所以，当是钝角，由余弦定理可得，则可得，所以，所以，所以，所以，又，所以，即，所以，所以的离心率的取值范围为.15．(1)；(2).【分析】（1）根据题意可得椭圆的焦点，即可得，且，利用计算可得的值，从而得出椭圆方程；（2）根据题意写出直线的方程，与椭圆方程联立可得，利用韦达定理结合弦长公式计算可得结果.【详解】（1）由题意，椭圆的焦点为和，即，且，，解得，，，椭圆的方程为.（2）由题意，直线的斜率，其方程为，联立可得，设，根据韦达定理，则有，.所以.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点为，连接，，根据面面垂直的性质定理证得底面，再由线面垂直的性质定理得，，从而建立空间直角坐标系，由向量法证明垂直关系；（2）求出平面与平面的法向量，由平面夹角的向量公式计算即可求解.【详解】（1）取的中点为，连接，，因为是等边三角形，所以，因为侧面底面，侧面底面，所以底面，因为底面，所以，，所以，，两两垂直，则分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，，，因为，所以，所以；（2）在平面中，，，设为平面的一个法向量，则，令，则为平面的一个法向量．又平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．17．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）求出导函数，即可求出切线的斜率，再求切点坐标，最后利用点斜式计算可得；（2）令，利用导数求得函数的最大值为，则在上恒成立，可得证；（3）关于的不等式恒成立，转化为恒成立，设，利用导数求出的最大值范围，即可求出整数的最小值．【详解】（1）因为，所以，，又，即切点为，切线的斜率，所以切线方程为，即.（2）令，，则，所以当时，，因此函数在上单调递增，当时，，因此函数在上单调递减，故函数的最大值为，即在上恒成立，则在上单调递减．（3）关于的不等式恒成立，即恒成立，由于，所以恒成立，设，则，由（2）知在上单调递减，且，，所以存在唯一，使得，即，则当时，，因此函数在上单调递增，当时，，因此函数在上单调递减，故函数的最大值为，因为在上单调递增，则，要使恒成立，且为整数，所以的最小值为.18．(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用平移变换求出，再利用正弦函数性质求解.（2）分别求出函数的递减区间、递增区间，再利用给定区间建立不等式组求解.（3）求出，利用积化和差求出目标值.【详解】（1）依题意，，由，得，所以曲线的对称轴方程为．（2）由，得，因此函数的单调递减区间为，由，得，函数的单调递增区间为，由，得，则，由在上单调递减，在上单调递增，得，解得，所以的取值范围为．（3）由，得，由，得，则，于是，解得，所以.19．(1)；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解.（2）利用全概率公式计算得证.（3）由（