吉林省松原市前郭县北片名校调研2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

第第页吉林省松原市前郭县北片名校调研2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共12分）1．抛物线y＝3x2+2的顶点坐标是（）A．（0，2） B．（-2，0） C．（2，0） D．（0，-2）2．下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（）A．1+x+x2＝25 B．x+x2＝25C．（1+x）2＝25 D．x+x（1+x）＝254．已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝-（x-1）2+4，则该同学此次投掷实心球的成绩是（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m5．如图△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，则AD的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．50°6．如图，△ABC中，∠BAC=135°，把△ABC绕着点C顺时针旋转得到△DEC，若点D、A、B恰好在一条直线上，则下列结论错误的是（）A．ED⊥BD B．△ABC≌△DECC．AD=2CD D．BD＝二、填空题（每小题3分，共24分）7．点M（-3，2）关于原点对称的点的坐标是．8．如图所示的图形绕其中心至少旋转度就可以与原图形完全重合．9．二次函数y＝-3（x+1）2的最大值为．10．已知⊙O的半径为2cm，则⊙O最长的弦为cm．11．用配方法解一元二次方程x2-6x＝1时，可将原方程配方成（x-m）2＝n，则m+n的值是．12．如图，A、B、C为⊙O上三点，若∠AOB＝140°，则∠ACB度数为°．13．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标（8，4），连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B′的坐标为．14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝-1，x2＝3；③当x＜1时，y随着x的增大而增大；④4a+2b+c＜0．（填写序号）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．用适当的方法解方程：x2-2x-8＝0．16．已知二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（2，-1），求该函数的解析式及对称轴．17．如图，在△ABD中，∠BAD=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，C点落在BD边上，若∠E=17°，求∠BAC的度数．18．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2-（a+4）x+3经过点（2，-3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）当1＜x＜5时，直接写出y的取值范围．四、解答题（每小题7分，共28分）19．如图，在6×6方格纸中，已知格点P和格点线段AC，请按要求画出以AC为对角线的格点四边形（顶点均在格点上），且点P在四边形内部（不包括边界上）．（1）在图1中画出一个▱ABCD；（2）在图2中画出一个四边形AECF，使得点P落在四边形某一边的中垂线上，且四边形中有且仅有两个内角为直角．20．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上的一点距离水面的最大距离），求该圆的半径．21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△OAB的顶点都在格点上，已知点A（-4，-2），B（-2，-6）．⑴将△OAB向右平移4个单位长度得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1；

⑵将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出所得的△OA2B2．22．若二次函数y=1（1）点C的坐标为；（2）将二次函数的图象向下平移5个单位长度，求平移后的二次函数的解析式．五、解答题（每小题8分，共16分）23．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2求此圆半径的长24．阅读与理解：图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（点C与点C′重合）的图形．

操作与证明：（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2，在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；（2）操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3，在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；（3）猜想与发现：

根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小，最小是多少？六、解答题（每小题10分，共20分）25．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB-BC向终点C运动；同时点Q从点A出发，以相同的速度沿折线AD-DC向终点C运动，连接PQ，过点Q作AB的平行线，并截取QM＝12QP，且点M在点Q的右侧，以PQ、QM为邻边作▱PQMN，设▱PQMN与菱形ABCD重叠部分图形的面积为y（cm2（1）当点N与点B重合时，x的值为；（2）求PQ的长（用含x的代数式表示）；（3）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围26．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（-1，0），B（0，-52）在抛物线y=12x2+bx+c上，点C为该抛物线的顶点，点（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）连接BP，当BP⊥y轴时，顺次连接点A、B、C、P，求四边形ABCP的面积；（3）当m＞0时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分图象的最低点和最高点到x轴的距离分别为k、n，若k-n=2，求m的取值范围．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：抛物线y＝3x2+2的顶点坐标是（0，2）。故答案为：A.

【分析】y=ax2+c的顶点坐标是（0，C）。2．【答案】C【解析】【解答】A、是轴对称图形，错误；

B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，错误；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，正确；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，错误；

故答案为：C.

【分析】根据轴对称和中心对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，中心对称图形绕其中心点旋转180°后图形仍和原来图形重合.3．【答案】C【解析】【解答】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（1+x）2＝25。故答案为：C.

【分析】传播问题的基本关系式：a(1+x)2=b，a是初量，b是末量，2是传播二轮。4．【答案】B【解析】【解答】解：当y=0时，有-（x-1）2+4=0，

解得：x1=-1（舍去），x2=3，

该同学此次投掷实心球的成绩是3m。故答案为：B.

【分析】该同学此次投掷实心球的成绩就是求抛物线与x轴的交点的坐标。5．【答案】B【解析】【解答】解：连接CD，如图所示，∵∠C＝90°，∠B＝20°，

∴∠A=90°-∠B=70°，

∵AC=DC，

∴∠CDA=∠A=70°，

∴∠ACD=180°-70°-70°=40°，

∴AD的度数为40°。

故答案为：B.

【分析】连接DC，根据直角三角形和等腰三角形的性质求出∠ACD的度数，再利用圆心角与弧之间的关系可得答案．6．【答案】D【解析】【解答】解：∵△ABC绕着点C顺时针旋转得到△DEC，

∴△ABC≌△DEC，B选项正确；

∴CD=AC，CE=BC，DE=AB，∠CDE=∠CAB，

∵∠BAC＝135°，

∴∠CDE=135°，∠DAC=45°，

∵CD=AC，

∴∠CDA=∠DAC=45°，

∴∠EDB=∠CDE-∠CDA=90°，

∴D⊥BD，A选项正确；

在△ACD中，∠ACD=180°-45°-45°=90°，

∴△ACD是等腰直角三角形，

∴AD=2CD故答案为：D.

【分析】根据旋转的性质，结合等腰直角三角形的判定和性质逐一分析判定。7．【答案】（3，-2）【解析】【解答】解：点M（-3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，-2）。故答案为：（3，-2）.

【分析】关于原点对称的点的坐标变化规律：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数。8．【答案】90【解析】【解答】解：该图形被平分成四部分，

∵360°÷4=90°，

∴旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，

∴如图所示的图形绕其中心至少旋转90度就可以与原图形完全重合．故答案为：90.

【分析】该图形被平分成四部分，求出每部分被分成的圆心角的度数即可。9．【答案】0【解析】【解答】解：二次函数y＝-3（x+1）2的最大值为0.故答案为：0.

【分析】二次函数y=a(x-h)2，的顶点坐标是（h，0），极值（最大值或最小值）是0.10．【答案】4【解析】【解答】解：∵直径是圆中最长的弦，⊙O的半径为2cm，

∴⊙O最长弦为4cm，故答案为：4.

【分析】根据直径是圆中最长的弦求解．11．【答案】13【解析】【解答】根据题意，将x2-6x＝1两边同时加上32

得x2-2×3x+32=1+32

得x-32=10

∴12．【答案】70【解析】【解答】解：∠ACB=故答案为：70.

【分析】直接根据圆周角定理计算。同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。13．【答案】（-4，8）【解析】【解答】解：作BA⊥x轴于点A，B'C⊥y轴于点C，如图所示，由旋转的性质得：OB=OB'，∠BOB'=90°，

∴∠B'OC=90°-∠BOC=∠AOB，

在∆B'OC和∆BOA中

∵∠OCB'=∠OAB=90°，∠B'OC=∠AOB，OB=OB'，

∴∆B'OC≅∆BOA（AAS），

∴OC=OA，B'C=AB，

∵点B坐标（8，4），

∴OA=8，AB=4，

∴OC=8，B'C=4，

∴点B′的坐标为（-4，8）

故答案为：（-4，8）.

【分析】根据旋转的性质证明∆B'OC≅∆BOA，利用全等三角形的对应边相等，结合点B的坐标求OC=8，B'C=4，最后得出点B′的坐标。14．【答案】①②③【解析】【解答】解：①∵抛物线的开口向下，∴a<0，

∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴-b2a=1，∴b=-2a>0，

∵抛物线与y轴的正半轴交于一点，∴c>0，∴abc<0，故①正确；

②∵抛物线与x轴的一个交点为(3，0)，对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另外一个交点为(-1，0)，

∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1＝-1，x2＝3，故②正确；

③∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，∴当x<1时，y随着x的增大而增大，故③正确；

④根据函数图象可知，当x=2时，y>0，∴4a+2b+c>0，故④错误；

综上分析可知，正确的是①故答案为：①②③.

【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴与y轴的交点，判断①正确；

②根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断②正确；

③根据二次函数的增减性即可判断③正确；

④根据时x=2，y>0，即可判断④错误．15．【答案】解：x2-2x-8＝0，

（x-4）（x+2）＝0，

x-4＝0或x+2＝0，

所以原方程的解为：x1＝4，x2＝-2．【解析】【分析】把方程的左边用十字相乘法分解因式，用因式分解法解方程。16．【答案】解：把（2，-1）代入y＝ax2得4a＝-1，解得a＝-14所以抛物线解析式为y＝-14x2【解析】【分析】把点（2，-1）代入y＝ax2，求出a，再写出解析式和对称轴。17．【答案】解：∵△ABD逆时针旋转后得到△ACE，C点落在BD边上，

∴AB＝AC，∠D＝∠E＝17°，

∵∠BAD＝90°，

∴∠B＝90°-∠D＝73°，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠B＝73°，

∴∠BAC＝180°-73°-73°＝34°，

即∠BAC的度数为34°．【解析】【分析】利用旋转的性质得AB＝AC，∠D＝∠E＝17°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算。18．【答案】（1）解：把（2，-3）代入y＝ax2-（a+4）x+3得4a-2（a+4）+3＝-3，解得a＝1，所以抛物线解析式为y＝x2-5x+3；（2）解：∵y＝x2-5x+3＝（x-52）2-134，

∴当x=52，y有最小值-134，【解析】【分析】1）把已知点的坐标代入y＝ax2-（a+4）x+3中求出a的值，从而得到抛物线解析式；

（2）利用配方法把一般式配成顶点式，则根据二次函数的性质得到当X=52时，y有最小值，然后计算出自变量为1和5所对应的函数值，从而得到19．【答案】（1）解：如图1：▱ABCD即为所求；（2）解：如图2：四边形AECF即为所求．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，作图；

（2）根据线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作图。20．【答案】解：∵OD⊥AB，

∴AE=12AB=3米，

设圆的半径为r米，

∵AE2+OE2＝OA2，

∴32+（r-1）2＝r2，

∴9+r2-2r+1＝r2，

【解析】【分析】如图，作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，设圆的半径为r米，根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解。21．【答案】解：⑴如图所示，△O1A1B1即为所求；

⑵如图所示，△OA2B2即为所求【解析】【分析】（1）根据平移的性质，将△OAB向右平移4个单位长度得到△O1A1B1；一般步骤：确定关键点，作关键点平移后的点，连接平移后的点；

（2）根据旋转的性质，将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出所得的△OA2B2．一般步骤：确定关键点，作关键点旋转后的点，连接旋转后的点。22．【答案】（1）（4，0）（2）解：把A（-2，0），C（4，0）代入y=12x2+bx+c，

得：2−2b+c=08+4b+c=0，

解得：b=−1c=−4，

∴该二次函数的解析式为y＝【解析】【解答】解：（1）∵点C与点A（-2，0）关于直线x＝1对称，

∴1+【1-（-2）】=4，

∴点C的坐标为（4，0）。

故答案为：（4，0）。

【分析】（1）根据二次函数的对称性求点C的坐标，即点A和点C到对称轴的距离相等；

（2）运用待定系数法求出抛物线解析式，然后利用二次函数图象平移规律求得平移后的二次函数的解析式。二次函数的平移规律：左加右减自变量，上加下减因变量。23．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，

∴BD平分∠ADC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，

∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，

∴∠ABD+∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝180°-90°＝90°；（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，

∴∠AED＝90°，

∵∠BAD＝90°，

∴BD是圆的直径，

∴BD垂直平分AC，

∴AD＝CD，

∵AC＝AD，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ADC＝60°

∵BD⊥AC，

∴∠BDC＝12∠ADC＝30°，

∵CF∥AD，

∴∠F+∠BAD＝180°，

∴∠F＝90°，

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

∵∠FBC+∠ABC＝180°，

∴∠FBC＝∠ADC＝60°，

∴BC＝2BF＝4，

∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，

∴BC＝12BD，即BD=2BC=8，【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB＝∠CDB，根据圆的内接四边的性质可得∠ABC+∠ADC＝180°，结合四边形的内角和计算；

（2）根据（1）的结论结合已知条件得出∠F＝90°，△ACD是等边三角形，进而得出∠BDC＝30°，由BD是直径得直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求解。24．【答案】（1）解：BE＝AD．

证明：∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，

∴∠BCE＝∠ACD＝30°，

∵△ABC与△C′DE是等边三角形，

∴CA＝CB，CE＝CD，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE＝AD．（2）解：BE＝AD．

∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转的角度为α，

∴∠BCE＝∠ACD＝α，

∵△ABC与△C′DE是等边三角形，

∴CA＝CB，CE＝CD，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE＝AD．（3）解：当α为180°时，线段AD的长度最大；当α为0°（或360°）时，等于a-b．【解析】【解答】解：（3）当点D在AC的延长线上时，AD最大，最大值为AC+CD=a+b，如图，

∴当α为180度时，线段AD的长度最大，最大值为a+b，

当点D在线段AC上时，AD最小，最小值为AC-CD=a-b，如图，

∴当α为0度或360度时，线段AD的长度最小，最小值为a-b．

【分析】（1）先由等边三角形判断出AC=BC，CE=CD，再由旋转判断出∠BCE＝∠ACD＝30°，进而判断出△BCE≌△ACD进行证明；

（2）同（1）的方法，即可得出结论；

（3）当点D在AC的延长线上时，AD最大，最大值为a+b，当点D在线段AC上时，AD最小，最小值为a-b，即可得出结论25．【答案】（1）4（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，AB=4cm，

∴AB=BC=CD=AD=4cm，∠B=180°-∠A=120°，

当0＜x≤2，由（1）知PQ＝AP＝2x，当2＜x＜4时，可知△CPQ是等边三角形，

∴PQ＝CP＝8-2x，

∴PQ={2x（3）解：当0＜x≤43时，此时AP=AQ=2x，QM=PN=x，如下图，

可知y等于四边形PQMN的面积，