陕西省西安高新唐南中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页陕西省西安高新唐南中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则等于（

）A． B． C． D．2．设是两个不同的平面，m是直线且，则“是”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，则（

）A． B．2 C． D．34．已知向量，，若与垂直，则（

）A．2 B． C． D．45．已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（

）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.96．已知，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．7．已知向量，若，则（

）A． B． C． D．8．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（

）A．的周长为12 B． C． D．10．某影院连续天的观影人数（单位：百人）依次为，，，，，，，，，，则下列关于这天观影人数的结论正确的是（

）A．众数为 B．平均数为C．中位数为 D．第百分位数为11．如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（

）

A．三棱锥的体积为定值B．C．若E为线段的中点，则点E到直线的距离为D．存在某个点E，使直线与平面所成角为三、填空题12．已知为定义在上的奇函数，当时，，则.13．已知锐角满足，则.14．如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点．将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点．若三棱锥的顶点均在球的球面上，则球的表面积为．四、解答题15．在中，角，，所对的边分别为，，，且．(1)求角；(2)若，，求及的面积．16．某教育局组织一地区的小学、初中、高中三个学段的学生参加“防溺水”网络知识问答，并按学段人数比例分层随机抽样，从中抽取220名学生，对其分数进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该地区所有学生知识问答分数的众数；(2)分数位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的最低分数；(3)教育局的工作人员在此次问答分数中抽取了10名同学的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的最高分98和最低分86，求剩余8个分数的平均数与方差．参考数据：，，．17．函数的部分图象如下图所示．(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调递增区间；(3)将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最值．18．某校举行数学竞赛，初赛时，每位参赛选手从4道题中随机抽取2道作答，若2道题全部答对，则直接进入决赛；若2道题都答错，则直接淘汰；若恰好答对1道题，则进入复赛.复赛时，每位参赛选手回答2道题（与初赛时的题目不同），若2道题都答对，则进入决赛，否则淘汰.该校学生甲参加了这次数学竞赛，已知甲初赛时只会其中2道题，复赛时答对每道题的概率均为，初、复赛结果互不影响，且复赛时各题答对与否也互不影响.(1)求甲进入决赛的概率；(2)求甲至少答对2道题的概率.19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)求直线与平面所成角的余弦值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《陕西省西安高新唐南中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案CBABBACABCBC题号11答案ABC1．C【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解.【详解】解方程得或，所以集合，集合，因此.故选：C.2．B【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面平行的判定和性质分析判断即可.【详解】当且时，若与相交，则只需与两平面交线平行即可，故不一定成立；当且时，则；故“是”的必要不充分条件.故选：B.3．A【分析】利用复数的除法运算化简，再利用复数的模的定义计算.【详解】，故.故选：A4．B【分析】先根据向量垂直确定的值，再根据向量的几何意义求向量的模.【详解】因为.所以.故选：B5．B【分析】根据互斥事件对立事件的概率公式进行求解.【详解】由于与对立，，则，又与互斥，，则.故选：B6．A【分析】由结合不等式性质判断ABD，由指数函数单调性判断C选项.【详解】因为，由基本不等式可得，A正确；当时，B显然错误，因为在上单调递减，故，C错误；由可得，D错误．故选：A．7．C【分析】首先根据向量平行求得，再根据二倍角公式求.【详解】由，可得，即，解得：或（舍），.故选：C8．A【分析】根据是定义域为的奇函数，可得时，分和两种情况分别求解不等式，即可求解.【详解】当时，则，所以，因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以，则，所以，当时，即，，所以，即，因为二次函数的判别式为，所以恒成立，所以，当时，即，，所以，解得，所以，综上.故选：.9．BC【分析】利用同角公式及余弦定理求解判定即可.【详解】对于B，由为锐角，且，得，B正确；对于AC，由余弦定理得，得，则，A错误，C正确；对于D，由余弦定理得，D错误.故选：BC10．BC【分析】求出众数，平均数，中位数，第百分位数后判断.【详解】这10个数从小到大排列为：80，90，120，120，130，160，160，160，180，200，众数为160，平均数为，中位数为，，因此第百分位数为第8个数160，故选：BC.11．ABC【分析】利用正方体的性质，结合三棱锥体积公式、线线垂直判定、点到直线距离公式，线面角的定义来逐一分析选项.【详解】对于A,,所以A正确.对于B,连接，如图：

在正方体中，，所以平面，又因为平面，所以，所以B正确.对于C,当E为线段的中点，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系：

则，即所以点E到直线的距离，所以C正确.对于D,由上面空间直角坐标系可知，，

所以平面的法向量，设，则，设直线与平面所成角为，则，若直线与平面所成角为，则，又，所以方程无解，D错误.故选：ABC.12．【分析】根据奇函数性质可得，由此可得答案.【详解】因为时，，所以，因为为定义在上的奇函数，所以.故答案为：.13．【分析】由结合诱导公式即可计算求解.【详解】因为锐角满足，所以.故答案为：14．【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，利用长方体的对角线长求得外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解.【详解】根据题意可得且两两垂直，所以三棱锥可补成一个长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，如图所示，设长方体的外接球的半径为，可得，所以，所以外接球的表面积为，故答案为：.15．(1)；(2)，.【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角.（2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解.【详解】（1）在中，由及正弦定理得，则，而，所以.（2）由（1）知，而，由正弦定理得，由，得，则，，所以的面积.16．(1)，众数约为75分(2)88分．(3)89.5，21．【分析】（1）利用频率之和为1列方程求解；根据最高矩形横坐标的中点可确定众数；（2）利用频率分布直方图求90百分位数即可；（3）根据平均数及方差的计算公式计算即可得解.【详解】（1）由，解得．由题图可知，众数为75，用样本估计总体，知该地区所有学生知识问答分数的众数约为75分．（2）前4组的频率之和为，前5组的频率之和为，故90%分位数落在第5组，设为x，则，解得，即“防溺水达人”的最低分数为88分．（3）由题意，剩余8个分数的平均数为．因为这10个分数的方差，所以，所以剩余8个分数的方差.即剩余8个分数的平均数与方差分别为89.5，21．17．(1)；(2)；(3)最大值为3，最小值为0.【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图方法求出解析式.（2）利用正弦函数的性质求出单调递增区间.（3）利用三角函数图象变换求出，再利用正弦函数性质求出指定区间上的最值.【详解】（1）观察函数的图象，得，最小正周期，解得，由，得，而，则，所以函数的解析式是.（2）由（1）知，，由，得，所以函数的单调递增区间为.（3）依题意，，当时，，则当，即时，；当或，即或时，.所以在区间上的最大值为3，最小值为0.18．(1)(2)【分析】（1）利用古典概率计算公式求得，根据独立事件的乘法公式求得，再由与互斥，根据互斥事件的概率加法公式求解即可；（2）由两两互斥，根据互斥事件的概率加法结合独立事件的乘法公式求解即可.【详解】（1）设事件“甲初赛答对道题”（），“甲复赛答对道题”（，“甲进入决赛”，将初赛的4道题编号为1，2，a，b，其中甲会的题为a，b，从4道中选2道，样本空间为：，每个样本点都是等可能的.因为，所以根据独立性假定，得因为与互斥，根据互斥事件的概率加法公式，可得因此，甲进入决赛的概率为.（2）设事件“甲至少答对两道题”，则两两互斥，根据互斥事件的概率加法公式，可得因此，甲至少答对两道题的概率为.19．(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析(3)【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行；（2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到⊥，由线面垂