【2025秋人教九上数学情境课堂教学课件】 24.1.2 垂直于弦的直径(主题情境：任务二：设计面积等分线)

人教版九上

数学同步课件1.理解圆的轴对称性．2.探索并证明垂径定理及其推论.3.学会运用垂径定理及其推论解决有关的证明、计算和作图问题．任务一：制作圆形卡纸(两个)任务二：设计面积等分线任务三：安装转盘指针为了给下周举办的数学班会制作活动道具，小琳和小梅需要制作桌面抽奖转盘。核心情境上节课，小琳和小梅已经制作了转盘所需的圆形纸片，本节课我们需要作平分圆形纸片的等分线.小琳和小梅商量后决定通过折叠的方式完成.任务二：设计面积等分线折叠圆形纸片第四步将折叠的纸片打开，得到将面积等分的折痕.第一步第二步第四步第三步沿折痕画线段，对每一等份扇形涂上不同颜色作区分，再依次写上数字1-8.画线、涂色并写数字圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.通过折叠圆形纸片的过程，你发现了什么？问题1因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说圆的直径是圆的对称轴.点击播放视频你能证明发现的这个结论吗？问题2如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上．CDAO证明：过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.在△OAA′中，∵OA=OA′，∴△OAA′是等腰三角形.又∵AA′⊥CD，∴AM=MA′.即CD是AA′的垂直平分线.如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线对称.即：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.CDAOA′∟M从以上的证明过程中，能得到哪些结论？观察与思考CDAOA′∟M=

=AM=A'M平分的弧包括优弧和劣弧CD

是⊙O

的直径，CD⊥AA'于点M垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.归纳总结通过学习垂径定理，文字语言描述如下：

·ODEABC

一条直线若满足:①过圆心②垂直于弦则：③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧

已知①②

可推出③④⑤猜想：已知①③

？②④⑤猜想1

如果有一条直径平分一条弦，那么这条直径就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.图示：被平分的弦是直径·ODABC

·ODEAC

B·ODEABC

·ODEABC

被平分的弦不是直径猜想1

如果有一条直径平分一条弦，那么这条直径就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.图示：·ODABC

反例：OD·ABC

直径虽然平分弦但不垂直于弦所以猜想1不成立，我们不妨要求被平分的弦不能是直径，提出猜想2再来研究一下是否成立猜想2

如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.已知：如图，CD

是⊙O

的直径，AE=BE.求证：CD

⊥AB于点E

，=

，=CDAOB∟E证明：

连接

AO、BO，则

AO=BO.在△OAB中，∵OA=OB，∴△OAB是等腰三角形.∵AE=BE，∴OE⊥AB于点E，即CD⊥AB于点E.∴=

，=

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.·ODAC

B∵CD

是⊙O

的直径，CD平分AB，∴CD⊥AB，

数学语言：通过学习垂径定理，文字语言描述如下：

·ODEABC

一条直线若满足:①过圆心②垂直于弦则③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧

已知①②

可推出③④⑤可推出已知①③

②④⑤？猜想：已知①④

②③⑤请自主完成其它猜想

一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论，称为知二得三(知二推三).①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.垂径定理归纳总结CDAOA′∟M例1下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？①过圆心

②垂直于弦是OABC不是，因为没有垂直.是ABDCOE不是，因为CD没有过圆心.ABOCDE∟ABOEC∟∟例2赵州桥(如右图)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.377.23弓形高：弧中点到弦的距离解：如图，用

表示主桥拱，设

所在圆的圆心为O，半径为R.

经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与

相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是

的中点，CD就是拱高.

由题设可知

AB=37，CD=7.23，所以AD=AB=×37=18.5，

OD=OC-CD=R-7.23.

DCOAB

R∟

在Rt△OAD中，由勾股定理，得

OA2=AD2+OD2，

即

R2=18.52+(R-7.23)2.

解得

R≈27.3.

因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.

DCOAB

R∟结论：有中点，连圆心1.如图，P是⊙O内一点，且⊙O的半径为5，OP=3，则经过点P的弦的长度最短为()

A．7 B．8C．9

D．10·OPB2.(2023陕西)陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图.AB是⊙O的一部分，D是

的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为()

图②图①A．13cm B．16cmC．17cm

D．26cmA3.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为

5cm，油面宽

AB为

6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为

8cm，则油面

AB上升了()

A．1cm B．3cm

C．3cm或4 cmD．1cm或7cmD点拨：上升的过程中油面宽度为8cm不止是一个时刻.注意圆中的多种情况.4.(传统文化)在中国传统建筑中，“圆”早就有着广泛的运用，例如最具代表性的园林中的月亮洞门(圆弧形洞门)，如图是它的简单示意图，AB为⊙O的直径，若DF＝200厘米，CD＝EF＝25厘米，CD，AB，EF均垂直于地面，则该月亮洞门的最高点A距离地面的长AB为多少米？解：如图，连接CE交AB于点G，连接OC，由题意易得四边形CDFE为矩形，∴OG⊥CE，CE＝DF.G设⊙O的半径为r，在Rt△OCG中，CG＝EG＝

CE＝100，OG＝r－CD，∵CG2＋OG2＝CO2，∴1002＋(r－25)2＝r2，解得r＝212.5厘米．∵212.5厘米＝2.125米，∴最高点A距离地面的长AB为2.125×2＝4.25米．G垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是