2025-2026学年北京市海淀区八一学校高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

试卷第=page44页，共=sectionpages44页试卷第=page33页，共=sectionpages44页北京市八一学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，共50分。1．直线的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．在空间四边形中，等于（

）A． B． C． D．3．直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（

）A．若∥，则 B．若∥β，则C．若⊥，则 D．若∥β，则4．已知点，则点到轴的距离为．A． B． C． D．5．已知直线：与：如图所示，则有A． B． C． D．6．已知向量，若共面，则等于（

）A． B．1 C．1或 D．1或07．设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．平行六面体中，，则该平行六面体的体对角线的长为（

）A． B．5 C． D．9．已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．10．如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（

）A．47m B．48m C．49m D．50m二、填空题：本大题共5小题，共25分。11．直线恒经过定点，则的坐标为．12．已知为坐标原点，,,则的值为；中，边上中线的长为．13．在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为．14．如图所示的是一个正方体的平面展开图，，则在原来的正方体中，直线与直线的位置关系是；直线与平面所成角的正弦值为．15．如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足.给出下列四个结论：①；②线段的长随线段的长增大而增大；③存在点，使得；④存在点，使得平面.其中所有正确结论的序号是.三、解答题：本题共4小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．已知直线过点．(1)若直线也过点，求直线的方程；(2)若直线在轴上的截距与轴上的截距相等，求直线的方程；(3)设坐标原点到直线距离为，求的取值范围（直接写出结果即可）17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形．

(1)若平面与平面相交于直线，证明：；(2)若平面，，，为棱的中点，求二面角的余弦值；(3)在（2）的条件下，求点到平面的距离．18．如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点．(1)求证：平面；(2)求异面直线与夹角的余弦值；(3)在棱上是否存在一点（不与,重合），使得直线与平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．已知集合S为平面中点的集合，n为正整数，若对任意的.且，总存在平面中的一条直线恰通过S中的k个不同的点，称集合S为n连续共线点集.(1)若判断S是否为3连续共线点集?是否为4连续共线点集?(2)已知集合S为n连续共线点集，记集合S的元素个数为.（i）若，求n的最大值;（ii）对给定的正整数n，求的最小值.答案第=page44页，共=sectionpages55页答案第=page55页，共=sectionpages55页参考答案题号12345678910答案BCBCAAAABA11．12．13．14．异面/15．①②④16．（1）直线的斜率．所以直线的方程为，即．（2）由已知，直线的斜率存在且不为0，设直线为，（）令，得；令，得．因此，化简得，解得或当，直线方程为，当，直线方程为，故直线方程为或．（3）由题意当直线过原点时距离最小，当时，距离最大，所以，故的取值范围．17．（1）证明：四边形为平行四边形，所以，又平面，平面所以平面又平面，平面平面，所以（2）平面，在平面内，所以，又，所以，，两两垂直，如图建系．

因为，故，，．，设平面的法向量为，则，即取，得到，又因为是平面的法向量，所以．因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（3）因为，所以点到平面的距离为．18．（1）底面中，已知，，，由余弦定理得，所以，又平面，平面，所以，又，所以平面.（2）由（1）可知，，两两垂直，所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以直线与直线夹角的余弦值．（3）存在，理由如下：假设存在，设（），由（2）可知，，则，则，因为，，设平面的法向量分别为，，取，，即，所以，因为与平面所成角为，所以，即，化简得，故（舍去）或，即存在符合题意，此时．19．（1）直线经过个点，直线经过个点，直线经过1个点，所以为3连续共线点集.没有直线经过中的4个点，所以不是4连续共线点集.（2）（i）因为，即直线最多经过中的6个点，所以．时，6个点在一条直线上，没有一条直线恰经过5个点，不满足．时，5个点在一条直线上，则仅剩1个点，没有一条直线恰经过4个点，不满足．又当时，分别恰好经过中4，3，2，1个点，为4连续共线点集，所以．（ii）设恰经过中的个点，由于经过个点，恰经过个点，最多与交1个点，即最少需要多个点；恰经过个点，最多分别与各交1个点，即最少需要多个点；依次类推，恰经过个点，最多分别与各交1个点，即最少需要多个点，所以当是偶数时，最少需要个点，当是奇数时，最少需要个点．所以（为不超过的最小整数）．下面用归纳法构造个元素的点集，为连续共线点集，①时，因为当时，最少需要1个点，而，结论成立