2025-2026学年北京市东城区广渠门中学高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

试卷第=page44页，共=sectionpages44页试卷第=page33页，共=sectionpages44页北京市广渠门中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，共50分。1．若集合，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2．命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（

）A． B． C． D．4．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（

）A． B．C． D．5．计算的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．256．若实数，满足，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．下列四组中给出的两个函数，不是同一个函数的是（

）A．；，B．；C．，；，D．；8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（

）A． B．C． D．9．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中数量级上与最接近的是（参考数据：）（

）A． B． C． D．10．设A，B是中两个子集，对于，定义：，.在这一定义下，若，，则A，B满足（

）A． B． C． D．二、填空题：本大题共5小题，共25分。11．已知幂函数的图象过点，则，.12．函数的定义域为.13．若函数的图象恒在函数图象的上方，则实数的取值范围是.14．已知，若且，都有，则实数的一个取值为；的最大值为.15．已知函数，其定义域记为集合，且.以下所有正确结论的序号是.①；②是减函数：③若，则；④对任意，都存在使得.三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．已知集合.(1)若，求，；(2)若，求实数的取值范围.17．已知函数的图象过坐标原点.(1)求的值；(2)证明为奇函数；(3)直接写出的值域（不需要证明）.18．已知函数.(1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)解关于的不等式；(3)若在区间上的最小值为，求实数的值.19．学校将举办第十二届“星光杯”班级合唱比赛.高一某班为了筹集合唱节采购的费用，决定开展爱心义卖，销售同学们亲手制作的纪念品.考虑到制作成本、场地费用、销售单价等因素，根据以往爱心义卖的数据分析，预计累计总净利润）（单位：百元）与销售天数（）满足(1)为保证累计总净利润不为负，求最多销售的天数；(2)销售多少天时，能使每天的平均净利润最大？（每天的平均净利润）20．已知函数.(1)求的值；(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明；(3)求关于的不等式的解集.21．记集合的元素个数为.对于集合且，如果且，均，使得，那么就称是集合的一个“平衡数”(1)当时，直接判断和是否为的“平衡数”；(2)若为集合的“平衡数”，求证：；(3)求集合的“平衡数”的最小值（用表示）.答案第=page44页，共=sectionpages55页答案第=page55页，共=sectionpages55页参考答案题号12345678910答案AACCACDCDB11．2712．13．14．1（答案不唯一）15．①③16．（1）当时，，，或，；（2）若，则当时，，解得；当时，，解得，综上，实数的取值范围为或.17．（1）由题意，，解得.（2）由（1）知，，定义域为，而，所以函数为奇函数.（3）由，因为，则，即，所以，则，所以函数的值域为.18．（1）由题意，不等式的解集为，则2和4为方程的根，且，所以，解得.（2）由，则，，则.当时，不等式为，解得；当时，不等式为，若，即时，解得或；若，即时，不等式为，解得；若，即时，解得或.综上所述，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.（3）函数的对称轴为，当时，函数开口向下，且对称轴为，则函数在上单调递减，所以，不满足题意；当时，函数开口向上，且对称轴为，若，即时，函数在上单调递减，则，不满足题意；若，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，解得（舍去）或.综上所述，.19．（1）由题意，令，则，即，解得，由于，则为保证累计总净利润不为负，最多销售18天.（2）由题意，每天的平均净利润为，而，当且仅当，即时等号成立，则，所以销售6天时，能使每天的平均净利润最大.20．（1）因为，则.（2）当时，，且函数在上为增函数，理由如下：任取、且，即，则，因为，则，，，，故，即，故函数在上单调递增.（3）对任意的，，故函数的定义域为，，故函数为偶函数，因为，则，所以，则，由（2）知，函数在上为增函数，由，可得，所以，则有或，可得或，可得或，解不等式，即，解得或，解不等式，即，解得.综上所述，不等式的解集为.21．（1）当时，,，若，取，显然，所以不是的“平衡数”，若，则P可以为，以上四个集合，含元素或的各两个，，均可满足定义，所以是的“平衡数”；（2），，若，取，显然其中六个元素不存在两个元素之和为13，即不是的“平衡数”，同理，更不满足定义；事实上，中的元素满足和为13的有六组，而当时，由抽屉原理，在上述六组数中取7个数，必有2个