天一大联考2025-2026学年（上）高三年级天一小高考（二）数学(专版)

绝密★启用前试卷类型:专版7.已知sinα+sin2a=sin3a(akm,keZ),则cosa=

A.-B·D-

20252026学年(上)高三年级天一小高考(二)44C-22

8.已知5"=6,若m=4"-5,n=6"-7,则

数学A.m>n>0B.n>m>0C.n>0>mD.m>0>n

考生注意:二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题

1.答题前,考生务必将自己的姓名考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

贴在答题卡上的指定位置

·9.已知等差数列n的前n项和为S,,且s2<S<s3,则

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑·如需改A.a,>0B.a2<0C.S3<0D.S4>0

动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号·回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效·10已知函数f(x)=sin+T(wo>0),则下列结论正确的是

3

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回·

3

A.f(x)的图象恒过点0,—

2

、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

B.若fx-T为奇函数,则。的最小值为3

是符合题目要求的·

TT/3

1.若复数z=a-1+(2a-4)i(aeR)为纯虚数,则a=C.若o=1,则f(x)在区间-,上的值域为—1

222

A.2B.1C.0D.-2

3

D.若f(x1)=f(x2),且f"(x,)f"(x2)<0,则f(x1+2)='

2.已知集合A=f-3,-1,1,2,B=xl-3<x<3,则AnB=2

A·-1,1,2B·-1,1f11.已知数列n满足(,rran-(,lna,=1,则下列结论正确的是

C.AD.BA.Ia,可能是等比数列B.ta,的各项可能都大于1

C.ta,的各项可能都小于1D.若a,>1,则a,是递减数列

3.已知函数f()-e..则

e

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

A.Ya>0,f(x)为奇函数B.Ya>of(x)为偶函数

3

12.曲线Y=2的切线斜率的最小值为·

C.3a>of(x)为偶函数D.3a>0,f(x)为奇函数3

13.目前世界最大跨度斜拉桥中国常泰长江大桥(如图(1))于2025年9月9日正式通

4·若函数y在区间I-a,2al上的值域为-2:I,则u-

车,这种桥体可减小梁体内弯矩,减轻结构重量,节省材料·如图(2)为一座斜拉桥的设计

mm2m

A·B·C.D.方案图,AB为主梁,CD为索塔,且CD垂直平分AB,AC,EC为两条斜拉索,若DE=20m,

6323

AE=40m,LCED=,LA=B,且a≥2P,则索塔CD最高为m.

5.在正六边形ABCDEF中,设AC=入AB+UAF,则入+μ=

A.0B.1C.2D.3

6.已知等比数列a,的前n项积为Tn,若T5=2T3,则T8=

A.16B.4C.2D.1图(1)图(2)

数学(专版)试题第1页(共4页)数学(专版)试题第2页(共4页)

118.(17分)

14.已知非零向量m,n的夹角为T,且Iml=1,若对任意的teR,恒有Im+tnl≥mn

32

已知等比数列an的公比为q(q*1),等差数列bn的公差为d,且a,=b,2=b2·

则I:xm-nl+IXm-2nI(xeR)的最小值为·

(1)若a,=2,且3=b4,

(i)求q的值;

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤·

15.(13分)ii,若C·.求数列C·的前项和s··

(2)若3=bt(t≥3),证明:ta,I中的每一项都是tbn中的项·

在△ABC中·角A.B.C的对边分别为a,b,C·已知C--·csinA=4·

(1)求a;

(2)若csinB=求AB边上的高h.

5

16.(15分)

已知等差数列an满足a,=1,an:ia,=4n2+入(入为常数).

19.(17分)

(1)求入的值,并求n的通项公式;

已知函数f(x)=alnx-x如

t2求数列的前项和·(1)讨论f(x)的单调性;

·,··

(2当o=4时·若不等式(2++Cf(≤恒成立·求的值;

(3)若f(x)有两个不同的零点,2(x,<2),且x,f"(x1)+2f"(2)≤k(x,+2)恒成立,

求实数k的最小值·

(15分)附:当时

17.ln

已知函数f(x)=2sinx-xcosx,XE(0,m).

(1)若对任意的xe(0,m)。f"(x)<m+cosx恒成立,求实数m的取值范围;

(2)证明:f(x)有且仅有一个极值点·

数学(专版)试题第3页(共4页)数学(专版)试题第4页(共4页)

2025—2026学年(上)高三年级天一小高考(二)

数学(专版)答案

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.

1.答案B

命题透析本题考查复数的相关概念.

解析由题可知a-1=0,则a=1,此时Z=-2,,符合题意.

2.答案A

命题透析本题考查集合的运算.

解析由题可知A∩B={-1,1,2}.

3.答案D

命题透析本题考查函数的奇偶性.

解析当a=1时,f=exex-e-x,为奇函数,故D正确,易知其他选项均不正确.

4.答案B

命题透析本题考查余弦函数的性质.

解析由题可知cos所以

5.答案D

命题透析本题考查平面向量的线性表示.

解析如图,由平行四边形法则可知,λ=2,μ=1,所以λ+μ=3.

6.答案A

命题透析本题考查等比数列的性质.

44

解析因为T5=a1a2a3a4a5=T3a4a5,所以a4a5=2,则T8=a1a2a3a4a5a6a7a8=(a4a5)=2=16.

7.答案C

命题透析本题考查三角恒等变换.

解析因为s,nα+s,n2α=s,n3α,所以s,nα+2s,nαcosα=s,nαcos2α+cosαs,n2α=s,nα(2cos2α-1)+

—1—

2s,nαcos2α.因为α≠kπ,k∈Z,所以s,nα≠0,则1+2cosα=2cos2α-1+2cos2α,即2cos2α-cosα-1=0,解得

1

cos√=-或cosα=1(舍去).

2

8.答案C

命题透析本题考查指数与对数的运算及函数的性质.

aa

解析因为5=6,所以a=log56=<<=log45,则4<5.因为a=log56=

aaa

log67,所以6>7.所以m=4-5<0,n=6-7>0,则n>0>m.

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的

得0分.

9.答案BCD

命题透析本题考查等差数列的性质.

解析对于A,B,因为S2<S1<S3,所以a2=S2-S1<0,a3=S3-S2>0,则{an}的公差d>0,则a1<0,故A错

误,B正确;

3(a1+a3)

对于C,因为S3==3a2<0,故C正确;

2

对于D,因为S3-S1=a2+a3>0,所以S4==2(a2+a3)>0,故D正确.

10.答案AD

命题透析本题考查三角函数的图象与性质.

解析对于\\故正确

A,因为f(0)=s,n=,所以f(x)的图象恒过点(0,),A;

对于B,因为f(x-[w(x-+(wx+-为奇函数,所以-=kπ(k∈Z),解得

w=2-6k(k∈Z),又w>0,所以w的最小值为2,故B错误;

对于C,当w=1时,f(x)=s,n(x+当x∈[-,时,x+∈[-,s,n(x+∈[-,1],

f(x)的值域为[-,1],故C错误;

对于D,由题可知+kπ(k∈Z),则wx1+wx2=+2kπ(k∈Z),所以f(x1+x2)=

3

s,n2kπ+=\,故D正确.

(2

11.答案ABD

命题透析本题考查数列与函数的综合.

解析对于A,当a1=1时,a2a1-a1lna1=a2=1,依次类推,a3=a4=…=an=…=1,所以{an}是等比数列,

故A正确;

—2—

对于B,C,由题可知an>0,an+1=lnan+,设g(x)=lnx+,则g'(x)=,令g'(x)=0,得x=1,当x∈

(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)m,n=g(1)=1,若0<a1<

1,则a2=g(a1)>1,a3=g(a2)>1,…,an+1=g(an)>1,…,若a1>1,则a2=g(a1)>1,a3=g(a2)>1,…,

an+1=g(an)>1,…,故B正确,C错误;

11-x2+x-1

'

对于D,an+1-an=lnan+-an,设h(x)=lnx+-x,则h(x)=2<0,所以h(x)在(1,+∞)上

anxx

单调递减,所以h(x)<h(1)=0,所以lna1+-a1<0,即a2<a1,同理a3<a2,…,an+1<an,则{an}是递减

数列,故D正确.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.答案-1

命题透析本题考查导数的几何意义.

解析由题可知y'=x2-2x=(x-1)2-1,当x=1时,y'取得最小值-1,所以曲线y=x3-x2的切线斜率

的最小值为-1.

13.答案20\

命题透析本题考查解三角形及二倍角公式.

解析设CD=xm,则tanα=,tanβ=.因为>α≥2β>0,所以tanα≥tan2β=>0,即≥

>0,解得0<x≤20\,即索塔CD最高为20\m.

14.答案\

命题透析本题考查向量的综合问题.

2

12122112

解析由|m+tn|≥m-n,可得|m+tn|≥m-n,即|n|t+|n|t+|n|-|n|≥0,由题可

2224

2222

知Δ=|n|-4|n||n|-|n|)≤0,即(|n|-1)≤0,则|n|=1.所以|xm-n|+|xm-2n|=

,其表示点

\

P(x,0)到点A,),B(1,\)的距离之和,取点B(1,\)关于x轴的对称点C(1,-\),则|PA|+|PB|=

|PA|+|PC|,易知点A,P,C共线时|PA|+|PC|最小,为|AC|=\7,所以所求最小值为\7.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.命题透析本题考查利用正、余弦定理和三角形的面积公式解三角形.

解析(1)因为cosC=-,所以C∈,π),

所以s,nC=\=\=.………(3分)

—3—

ac

由正弦定理得=,所以as,nC=cs,nA=4,

s,nAs,nC

所以a5.………………………(6分)

bc12

(2)由正弦定理得=,所以cs,nB=bs,nC=,

s,nBs,nC5

所以b=3.……………………(8分)

由余弦定理可得c=\=2\.…(10分)

因为S△ABC=abs,nC=ch,即×5×3×=×2\×h,

6

所以AB边上的高h=.………………(13分)

3

16.命题透析本题考查等差数列的定义及用裂项相消法求数列的前n项和.

解析(1)设{an}的公差为d,则an=1+(n-1)d.………(1分)

222

所以an+1an=(1+nd)[1+(n-1)d]=dn+(2-d)dn+1-d=4n+λ,……………(4分)

所以解得…………(6分)

所以{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1.………(7分)

2

(2)由(1)可得an+1an=4n-1.……………(8分)

所以===-,………(11分)

则Sn=-+-+…+-

=1-

n

=.……………………(15分)

2n+1

17.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质.

解析(1)因为f(x)=2s,nx-xcosx,

所以f’(x)=2cosx-cosx+xs,nx=cosx+xs,nx.………(2分)

因为f’(x)<mx+cosx在x∈(0,π)时恒成立,

所以m>s,nx在x∈(0,π)时恒成立.………………………(4分)

因为当x∈(0,π)时,0<s,nx≤1,

所以m>1,即m的取值范围是(1,+∞).…………………(6分)

(2)由(1)可知f’(x)=cosx+xs,nx.

令h(x)=f’(x)=cosx+xs,nx,则h’(x)=xcosx.

当x∈(0,时,cosx≥0,所以h’(x)≥0,h(x)单调递增,

—4—

当x∈,π)时,cosx<0,所以hl(x)<0,h(x)单调递减.……………(10分)

又h(0)=1>0,h=>0,h(π)=-1<0,

所以即在,π上有且仅有一个零点设为

h(x),fl(x)),x0,

当x∈(0,x0)时,fl(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x0,π)时,fl(x)<0,f(x)单调递减.

所以f(x)有且仅有1个极值点.……………(15分)

18.命题透析本题考查等比数列与等差数列的综合问题.

解析………………(2分)

d,

消元得q2-3q+2=0,解得q=1(舍去)或2,

所以q的值为2.………………(4分)

n

(i)由(i)可知an=2,bn=2n,则cn===.…………………(5分)

所以sn

sn=+++…+②,…………(7分)

①-②,得sn=+++…+-……………(10分)

所以sn=4-.…………………………(11分)

(2)由a1=b1,a2=b2,可得d=a1(q-1),…………………(12分)

2

因为a3=bt,所以a1q=b1+(t-1)d=a1+(t-1)a1(q-1),

2

又a1≠0,所以q-1=(t-1)(q-1).

因为q≠1,所以q+1=t-1,即q=t-2,所以q>1且为正整数.………(13分)

由已知a1,a2,a3是{bn}中的项,

n-1

当n≥4时,令an=bS,则a1q=b1+(S-1)d=a1+(S-1)a1(q-1),

Sq+q2+…+qn-2=2+q+q2+…+qn-2.………(15分)

因为q>1且为正整数,所以S为正整数,

*

即对任意的n≥4,均存在S∈N,使得an=bS,

所以{an}中的每一项都是{bn}中的项.……………………(17分)

19.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质.

解析(1)由题可知f(x)的定义域为(0,+∞),fl(x)=-1=,………………