上海长兴中学初一数学压轴题专题

上海长兴中学初一数学压轴题专题一、七年级上册数学压轴题1．（学习概念）如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．（理解运用）（1）①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；（拓展提升）（2）如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝秒．答案：（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN时；当∠QPN=2∠MPQ时；分别求出解析：（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN时；当∠QPN=2∠MPQ时；分别求出∠MPN即可；（2）根据题意，设运用的时间为t秒，则PM运用后有，，然后对PM和PQ的运动情况进行分析，可分为四种情况进行分析，分别求出每一种情况的运动时间，即可得到答案．【详解】解：（1）①如图，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射线PQ是∠MPN的“好好线”；②∵射线PQ是∠MPN的“好好线”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此题有两种情况Ⅰ．如图1，当∠MPQ=2∠QPN时∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；Ⅱ．如图2，当∠QPN=2∠MPQ时∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α综上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．（2）根据题意，PM运动前∠MPN＝120°，设运用的时间为t秒，则PM运用后有，，①当时，如图：∴，解得：；②当，即时，如图：∴，解得：；③当，如图：∴，解得：；④当，如图：∵，，∴，解得：；∵的最大值为：，∴不符合题意，舍去；综合上述，t=，4，5秒．【点睛】本题考查了新定义的角度运算，角度的和差关系，以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确掌握运动状态，运用分类讨论的思想进行分析．2．数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且多项式的二次项系数为a，常数项为b．（1）线段AB的长=；（2）如图，点P，Q分别从点A，B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，当BQ＝2BP时，点P对应的数是多少？（3）在（2）的条件下，点M从原点与点P，Q同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度（），若在运动过程中，2MP－MQ的值与运动的时间t无关，求x的值．答案：（1）36；（2）6；（3）【分析】（1）根据多项式求出a，b的值，然后计算即可；（2）设运动时间为ts，根据题意列出方程，解方程即可，然后即可求出点P所对应的数；（3）首先根据题意得出2M解析：（1）36；（2）6；（3）【分析】（1）根据多项式求出a，b的值，然后计算即可；（2）设运动时间为ts，根据题意列出方程，解方程即可，然后即可求出点P所对应的数；（3）首先根据题意得出2MP−MQ，然后根据2MP－MQ的值与运动的时间t无关求解即可．【详解】（1）∵多项式的二次项系数为a，常数项为b，，；（2）设运动的时间为ts，由BQ=2BP得：4t=2(36−2t)，解得：t=9，因此，点P所表示的数为：2×9−12=6，答：点P所对应的数是6．（3）由题意得：点P所表示的数为(−12+2t)，点M所表示的数为xt，点Q所表示的数为(24+4t)，∴2MP−MQ=2[xt−(−12+2t)]−(24+4t−xt)=3xt−8t=(3x−8)t，∵结果与t无关，∴3x−8=0，解得：x=．【点睛】本题主要考查数轴与一元一次方程的结合，数形结合是解题的关键．3．在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动（n为正整数）个单位得到点C，点A，B，C分别表示有理数a，b，c；（1）当时，①点A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，a，b，c三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能（）A．在点A左侧或在A，B两点之间B．在点C右侧或在A，B两点之间C．在点A左侧或在B，C两点之间D．在点C右侧或在B，C两点之间②若这三个数的和与其中的一个数相等，求a的值；（2）将点C向右移动个单位得到点D，点D表示有理数d，若a、b、c、d四个数的积为正数，这四个数的和与其中的两个数的和相等，且a为整数，请写出n与a的关系式．答案：（1）①C；②-2或或；（2）当为奇数时，，当为偶数时，【分析】（1）把代入即可得出，，再根据、、三个数的乘积为正数即可选择出答案；（2）分两种情况讨论：当为奇数时；当为偶数时；用含的代数式表解析：（1）①C；②-2或或；（2）当为奇数时，，当为偶数时，【分析】（1）把代入即可得出，，再根据、、三个数的乘积为正数即可选择出答案；（2）分两种情况讨论：当为奇数时；当为偶数时；用含的代数式表示即可．【详解】解：（1）①把代入即可得出，，、、三个数的乘积为正数，从而可得出在点左侧或在、两点之间．故选；②，，当时，，当时，，当时，；（2）依据题意得，，，．、、、四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，或．或；为整数，当为奇数时，，当为偶数时，．【点睛】本题考查了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．4．如图，在数轴上点表示数，点表示数，，满足．（1）求，的值；（2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，求点表示的数；（3）如图，一小球甲从点处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一个小球乙从点处以3个单位/秒的速度也向左运动，设运动的时间为（秒）．①分别表示出（秒）时甲、乙两小球在数轴上所表示的数（用含的代数式表示）；②求甲、乙两小球相距两个单位时所经历的时间．答案：（1）a=-2，b=6；（2）或14；（3）①甲：-2-2t，乙：6-3t；②6秒或10秒【分析】（1）根据非负数的性质求得a=-2，b=6；（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情解析：（1）a=-2，b=6；（2）或14；（3）①甲：-2-2t，乙：6-3t；②6秒或10秒【分析】（1）根据非负数的性质求得a=-2，b=6；（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；（3）①根据两个小球的运动情况直接列式即可；②根据甲、乙两小球在数轴上表示的数列出关于t的方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵，∴a+2=0，b-6=0，解得，a=-2，b=6，故答案为：a=-2，b=6；（2）设数轴上点C表示的数为c．∵AC=2BC，∴|c-a|=2|c-b|，即|c+2|=2|c-6|．∵AC=2BC＞BC，∴点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上．①当C点在线段AB上时，则有-2≤c≤6，得c+2=2（6-c），解得；②当C点在线段AB的延长线上时，则有c＞6，得c+2=2（c-6），解得c=14．故当AC=2BC时，c=或c=14；（3）①∵甲球运动的路程为：2•t=2t，OA=2，∴甲球在数轴上表示的数为-2t-2；乙球运动的路程为：3•t=3t，OB=6，乙球在数轴上表示的数为：6-3t；②由题意得：，解得：t=10或t=6，∴甲、乙两小球相距两个单位时所经历的时间为6秒或10秒．【点睛】本题考查了非负数的性质，一元一次方程，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．5．如图，已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动.设旋转时间为t秒．（1）当t=2时，求∠POQ的度数；（2）当∠POQ=40°时，求t的值；（3）在旋转过程中，是否存在t的值，使得∠POQ=∠AOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）∠POQ=104°；（2）当∠POQ=40°时，t的值为10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．【分析】当OQ，OP第一次相遇时，t=15；当OQ刚到达OA时，t=解析：（1）∠POQ=104°；（2）当∠POQ=40°时，t的值为10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．【分析】当OQ，OP第一次相遇时，t=15；当OQ刚到达OA时，t=20；当OQ，OP第二次相遇时，t=30；（1）当t=2时，得到∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，利用∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ求出结果即可；（2）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可；（3）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可．【详解】解：当OQ，OP第一次相遇时，2t+6t=120，t=15；当OQ刚到达OA时，6t=120，t=20；当OQ，OP第二次相遇时，2t6t=120+2t，t=30；（1）当t=2时，∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°.（2）当0≤t≤15时，2t+40+6t=120，t=10；当15＜t≤20时，2t+6t=120+40，t=20；当20＜t≤30时，2t=6t-120+40，t=20（舍去）；答：当∠POQ=40°时，t的值为10或20.（3）当0≤t≤15时，120-8t=(120-6t），120-8t=60-3t，t=12；当15＜t≤20时，2t–(120-6t）=(120-6t），t=.当20＜t≤30时，2t–(6t-120）=(6t-120），t=.答：存在t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ.【分析】本题考查了角的和差关系及列方程解实际问题，解决本题的关键是分好类，列出关于时间的方程．6．已知：，、、是内的射线．（1）如图1，若平分，平分．当射线绕点在内旋转时，求的度数．（2）也是内的射线，如图2，若，平分，平分，当射线绕点在内旋转时，求的大小．答案：（1）；（2）【分析】（1）根据角平分线的定义求出和，然后根据代入数据进行计算即可得解；（2）根据角平分线的定义表示出和，然后根据计算即可得解．【详解】解：（1）∵平分，∴∵平分，∴解析：（1）；（2）【分析】（1）根据角平分线的定义求出和，然后根据代入数据进行计算即可得解；（2）根据角平分线的定义表示出和，然后根据计算即可得解．【详解】解：（1）∵平分，∴∵平分，∴∴（2）∵平分，∴，∵平分，∴∴=【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用．7．如果两个角的差的绝对值等于60°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于0°小于180°的角），例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”．（1）如图1．O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______________．（2）如图2，O为直线上一点，，将绕着点O以每秒1°的速度逆时针旋转得，同时射线从射线的位置出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t何值时，与互为“伙伴角”．（3）如图3，，射线从的位置出发绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，旋转时间为t秒，射线平分，射线平分，射线平分．问：是否存在t的值使得与互为“伙伴角”？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．答案：（1）；（2）t为35或15；（3）存在，当t=或时，与互为“伙伴角”．【分析】（1）按照“伙伴角”的定义写出式子，解方程即可求解；（2）通过时间t把与表示出来，根据与互为“伙伴角”，列出方程解析：（1）；（2）t为35或15；（3）存在，当t=或时，与互为“伙伴角”．【分析】（1）按照“伙伴角”的定义写出式子，解方程即可求解；（2）通过时间t把与表示出来，根据与互为“伙伴角”，列出方程，解出时间t；（3）根据OI在∠AOB的内部和外部以及∠AOP和∠AOI的大小分类讨论，分别画出对应的图形，由旋转得出经过t秒旋转角的大小，角的和差，利用角平分线的定义分别表示出∠AOI和∠POI及“伙伴角”的定义求出结果即可．【详解】解：（1）∵两个角差的绝对值为60°，则此两个角互为“伙伴角”，而，∴设其伙伴角为，，则，由图知，∴的伙伴角是．（2）∵绕O点，每秒1°逆时针旋转得，则t秒旋转了，而从开始逆时针绕O旋转且每秒4°，则t秒旋转了，∴此时，，又与重合时旋转同时停止，∴，（秒），又与互为伙伴角，∴，∴，∴，秒或15秒．答：t为35或15时，与互为伙伴角．（3）①若OI在∠AOB的内部且OI在OP左侧时，即∠AOP＞∠AOI，如下图所示∵从出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了，∴°，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==3t°此时6t＜160解得：t＜∵射线平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=∠AOB=80°∵射线平分∴∠POM==40°∴∠POI=∠POM－∠IOM=40°－3t根据题意可得即解得：t=或（不符合实际，舍去）∴此时∠AOI=6×=°∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×）°＋40°=＞∠AOI，符合前提条件∴t=符合题意；②若OI在∠AOB的内部且OI在OP右侧时，即∠AOP＜∠AOI，如下图所示∵从出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了，∴°，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==3t°此时6t＜160解得：t＜∵射线平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=∠AOB=80°∵射线平分∴∠POM==40°∴∠POI=∠IOM－∠POM=3t－40°根据题意可得即解得：t=或（不符合实际，舍去）∴此时∠AOI=6×=40°∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×）°＋40°=60°＞∠AOI，不符合前提条件∴t=不符合题意，舍去；③若OI在∠AOB的外部但OI运动的角度不超过180°时，如下图所示∵从出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了，∴°，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==3t°此时解得：＜t≤30∵射线平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM－∠ION=（－）=∠AOB=80°∵射线平分∴∠POM==40°∴∠POI=∠IOM－∠POM=3t－40°根据题意可得即解得：t=（不符合前提条件，舍去）或（不符合实际，舍去）∴此时不存在t值满足题意；④若OI运动的角度超过180°且OI在OP右侧时，即∠AOI＞∠AOP如下图所示此时解得：t＞30∵从出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了，∴，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==180°－3t∵射线平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=（360°－∠AOB）=100°∵射线平分∴∠POM==50°∴∠POI=∠IOM－∠POM=130°－3t根据题意可得即解得：t=（不符合，舍去）或（不符合，舍去）∴此时不存在t值满足题意；⑤若OI运动的角度超过180°且OI在OP左侧时，即∠AOI＜∠AOP，如下图所示此时解得：t＞30∵从出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了，∴，∵平分，∴∠AOM=∠IOM==180°－3t∵射线平分，∴∠ION=∴∠MON=∠IOM＋∠ION=（＋）=（360°－∠AOB）=100°∵射线平分∴∠POM==50°∴∠POI=∠POM－∠IOM=3t－130°根据题意可得即解得：t=或（不符合，舍去）∴此时∠AOI=360°－6×=°∠AOP=∠AOM＋∠MOP=180°－（3×）°＋50°=°＞∠AOI，符合前提条件∴t=符合题意；综上：当t=或时，与互为“伙伴角”．【点睛】本题考查了角的计算、旋转的性质、一元一次方程的运用及角平分线性质的运用，解题的关键是利用“伙伴角”列出一元一次方程求解．8．已知，OC为内部的一条射线，．（1）如图1，若OE平分，OD为内部的一条射线，，求的度数；（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB结束、OF绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OA结束，运动时间t秒，当时，求t的值．答案：（1）35°；（2）3s或7.5s或24s【分析】（1）根据∠EOD=∠EOB-∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可；（2）分三种情形列出方程即可解决问题．【详解】解：（1）∵∠AOB解析：（1）35°；（2）3s或7.5s或24s【分析】（1）根据∠EOD=∠EOB-∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可；（2）分三种情形列出方程即可解决问题．【详解】解：（1）∵∠AOB=150°，OE平分∠AOB，∴∠EOB=∠AOB=75°，∵∠BOC=60°，∠COD=∠BOD，∴∠BOD=40°，∠COD=20°，∴∠EOD=∠EOB-∠DOB=75°-40°=35°．（2）当OE在∠AOC内部时，∵∠EOC=∠FOC，∴90-15t=60-5t，解得：t=3．当OE与OF重合时，15t+5t=150，解得：t=7.5．当OE与OB重合时，OF仍在运动，此时∠EOC=60°，此时OF在∠AOC内部，且∠FOC=60°，∴t==24，综上所述，当∠EOC=∠FOC时，t=3s或7.5s或24s．【点睛】本题考查角的计算、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．9．如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．（1）填空：线段的中点这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）（问题解决）（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。（应用拓展）（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．答案：（1）是；（2）10或0或20；(3)；t=6；；t=12；；．【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；（2）由题意设C点表示的数为解析：（1）是；（2）10或0或20；(3)；t=6；；t=12；；．【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；（3）根据题意先用t的代数式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t的值．【详解】解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，故答案为：是；（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，根据“巧点”的定义可知：①当AB=2AC时，有60=2（x+20），解得，x=10；②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），解得，x=0；③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），解得，x=20．综上，C点表示的数为10或0或20；（3）由题意得，（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有①当AQ=2AP时，60-4t=2×2t，解得，，②当PQ=2AP时，60-6t=2×2t，解得，t=6；③当AP=2PQ时，2t=2（60-6t），解得，；综上，运动时间的所有可能值有；t=6；；（ii）、若10＜t≤15时，点Q为AP的“巧点”，有①当AP=2AQ时，2t=2×（60-4t），解得，t=12；②当PQ=2AQ时，6t-60=2×（60-4t），解得，；③当AQ=2PQ时，60-4t=2（6t-60），解得，．综上，运动时间的所有可能值有：t=12；；．故，运动时间的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．10．如图1，射线OC在AOB的内部，图中共有3个角：AOB、AOC和BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是AOB的奇妙线．（1）一个角的角平分线这个角的奇妙线．（填是或不是）（2）如图2，若MPN60，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10的速度逆时针旋转，当QPN首次等于180时停止旋转，设旋转的时间为t(s)．①当t为何值时，射线PM是QPN的奇妙线？②若射线PM同时绕点P以每秒6的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止旋转．请求出当射线PQ是MPN的奇妙线时t的值．答案：（1）是；（2）①9或12或18；②或或【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解；（2）①分3种情况，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM=2MPN．列出方程求解即可；②分解析：（1）是；（2）①9或12或18；②或或【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解；（2）①分3种情况，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM=2MPN．列出方程求解即可；②分3种情况，MPN=2QPN；MPQ=2QPN；QPN=2MPQ．列出方程求解即可．【详解】（1）设∠α被角平分线分成的两个角为∠1和∠2，则有∠α=2∠1，∴一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；故答案是：是；（2）①由题意可知射线PM在QPN的内部，∴QPN=（10t），QPM=（10t-60），（a）当QPN=2MPN时，10t=2×60，解得t=12；（b）当MPN=2QPM时，60=2×（10t-60），解得t=9；（c）当QPM=2MPN时，（10t-60）=2×60，解得t=18．故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“奇妙线”；②由题意可知射线PQ在MPN的内部，∴QPN=（10t），MPN=（60+6t），QPM=MPN-QPN=（60-4t），（a）当MPN=2QPN时，60+6t=2×10t，解得t=；（b）当MPQ=2QPN时，60-4t=2×10t，解得t=；（c）当QPN=2MPQ时，10t=2×（60-4t），解得t=．故当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值为或或．【点睛】本题考查了角之间的关系及一元一次方程的应用，奇妙线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“奇妙线”的定义是解题的关键．11．如图1，在内部作射线，，在左侧，且．（1）图1中，若平分平分，则______；（2）如图2，平分，探究与之间的数量关系，并证明；（3）设，过点O作射线，使为的平分线，再作的角平分线，若，画出相应的图形并求的度数（用含m的式子表示）．答案：（1）120；（2），见解析；（3）见解析，或【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再结合已知条件即可得出答案；（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；（3）根据角解析：（1）120；（2），见解析；（3）见解析，或【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再结合已知条件即可得出答案；（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；（3）根据角平分线的性质结合已知条件进行角度之间的加减运算，分类讨论得出结论即可．【详解】解：（1）∵，，∴，∴，∵平分平分，∴，∴，∴，故答案为：120；（2）．证明：∵平分，∴，∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴，∴；（3）如图1，当在的左侧时，∵平分，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．∵为的平分线，∴．∴；如图2，当在的右侧时，∵平分，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．∵为的平分线，．综上所述，的度数为或．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与角度之间的加减运算，关键在于根据图形分析出各角之间的数量关系．12．如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：、、，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“定分线”．（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，若，且射线PQ是的“定分线”，则________(用含a的代数式表示出所有可能的结果）；（3）如图2，若=48°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成90°时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ是的“定分线”时，求t的值．答案：（1）是；（2）；（3）t=2.4，6，4【分析】（1）根据“定分线”定义即可求解；（2）分3种情况，根据“定分线定义”即可求解；（3）分3种情况，根据“定分线定义”列出方程求解即可．【详解析：（1）是；（2）；（3）t=2.4，6，4【分析】（1）根据“定分线”定义即可求解；（2）分3种情况，根据“定分线定义”即可求解；（3）分3种情况，根据“定分线定义”列出方程求解即可．【详解】解：（1）当OC是角∠AOB的平分线时，∵∠AOB=2∠AOC，∴一个角的平分线是这个角的“定分线”；故答案为：是；（2）∵∠MPN=分三种情况①∵射线PQ是的“定分线”，∴=2=，∴=，②∵射线PQ是的“定分线”，∴=2，∵∠QPN+∠QPM=，∴3=，∴=，③∵射线PQ是的“定分线”，∴2=，∵∠QPN+∠QPM=，∴3∠QPN=，∴∠QPN=，∴∠QPM=，∴∠MPQ=或或；故答案为：或或；（3）依题意有三种情况：①∠NPQ=∠NPM，由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=2.4(秒)；②∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=4(秒)；③∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+45），解得：t=6(秒)，故t为2.4秒或4秒或6秒时，PQ是∠MPN的“定分线”．【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，“定分线”定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“定分线”的定义并分情况讨论是解题的关键．13．如图，一副三角板中各有一个顶点在直线的点处重合，三角板的边落在直线上，三角板绕着顶点任意旋转．两块三角板都在直线的上方，作的平分线，且，．（1）当点在射线上时（如图1），的度数是_______．（2）现将三角板绕着顶点旋转一个角度（即），请就下列两种情形，分别求出的度数（用含的代数式表示）①当为锐角时（如图2）；②当为钝角时（如图3）；答案：（1）37.5°；（2）①当0°＜x°≤75°时，∠BOP＝，当75°＜x°＜90°时，∠BOP＝；②【分析】（1）根据题意可以求得∠BOD的度数，由于OP平分∠BOD，从而可以求得∠BOP的度解析：（1）37.5°；（2）①当0°＜x°≤75°时，∠BOP＝，当75°＜x°＜90°时，∠BOP＝；②【分析】（1）根据题意可以求得∠BOD的度数，由于OP平分∠BOD，从而可以求得∠BOP的度数；（2）根据图形和第一问中的推导可以解答本题；（3）通过图形可以发现∠BOD是∠AOB与∠COD的和与∠MOC的差，从而可以解答本题．【详解】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，点C在射线ON上，∴∠BOD＝180°−45°−60°＝75°．∵OP平分∠BOD，∴∠BOP＝37.5°．故答案为：37.5°；（2）①当∠CON为锐角时，∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，∴∠BOD＝180°−45°−60°−x°＝75°−x°．∵OP平分∠BOD，∴当0°＜x°≤75°时，∠BOP＝，当75°＜x°＜90°时，∠BOP＝；②当∠CON为钝角时，∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，∴∠MOC＝180°−x°．∴∠BOD＝∠AOB＋∠COD−∠MOC＝45°＋60°−（180°−x°）＝x°−75°．∵OP平分∠BOD，∴∠BOP＝．【点睛】本题考查角的计算，解题的关键是明确题意，可以根据图形找出所求问题需要的条件．14．如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．（1）______．（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．答案：（1）12；（2）4cm；（3）或【分析】（1）由两点间的距离，即可求解；（2）由线段的和差关系可求解；（3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点在线段上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ解析：（1）12；（2）4cm；（3）或【分析】（1）由两点间的距离，即可求解；（2）由线段的和差关系可求解；（3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点在线段上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系，当点在的延长线上时，可得．【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7，∴线段AB的长度为：7-（-5）=12；故答案为：12（2）根据点，的运动速度知．因为，所以，即，所以．（3）分两种情况：如图，当点在线段上时，因为，所以．又因为，所以，所以；如图，当点在的延长线上时，，综上所述，的长为或．【点睛】本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．15．定义：在同一平两内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．如图为一量角器的平面示意图，为量角器的中心．作射线，，，并将其所对应的量角器外圈刻度分别记为，，．（1）若射线，，为“共生三线”，且为的角平分线．①如图1，，，则______；②当，时，请在图2中作出射线，，，并直接写出的值；③根据①②的经验，得______（用含，的代数式表示）．（2）如图3，，．在刻度线所在直线上方区域内，将，，按逆时针方向绕点同时旋转，旋转速度分别为每秒，，，若旋转秒后得到的射线，，为“共生三线”，求的值．答案：（1）①40；②画图见解析，95；③；（2）或12或30【分析】（1）①根据“共生三线”的定义直接计算；②分别画出OA，OB，再根据OC为∠AOB的平分线画出OC；③根据①②的经验直接可得结解析：（1）①40；②画图见解析，95；③；（2）或12或30【分析】（1）①根据“共生三线”的定义直接计算；②分别画出OA，OB，再根据OC为∠AOB的平分线画出OC；③根据①②的经验直接可得结论；（2）分OB′为∠A′OC′的平分线，OA′为∠B′OC′的平分线，OC′为∠A′OB′的平分线三种情况，列出方程求解．【详解】解：（1）①∵OA，OB，OC为“共生三线”，OC平分∠AOB，∴∠AOB=b°-a°=80°，∴m°=∠AOB=×80°=40°，故m=40；②如图，∵，，∴m=（a+b）÷2=95；③根据①②的经验可得：m=；（2）∵a=0，b=m=60，∴t秒后，a=12t，b=60+6t，m=60+8t，当OB′为∠A′OC′的平分线时，b=，即60+6t=（12t+60+8t），解得：t=；当OA′为∠B′OC′的平分线时，a=，即12t=（60+6t+60+8t），解得：t=12；当OC′为∠A′OB′的平分线时，m=，即60+8t=（12t+60+6t），解得：t=30；综上：t的值为或12或30．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义的运用，一元一次方程，解题的关键是能够根据“共生三线”的定义分类讨论，列出方程．16．综合与探究：射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线．完成下列任务：（1）如图2，，射线是射线的伴随线，则，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是．（用含的代数式表示）（2）如图3，如，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止．①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；②当为多少秒时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．请直接写出结果．答案：（1），；（2）①存在，当秒或12.5秒时，的度数是；②秒或秒或秒或15秒【分析】（1）根据伴随线和角平分线的性质求解即可；（2）分为若OC与OD在相遇之前、OC与OD在相遇之后两种情况求解解析：（1），；（2）①存在，当秒或12.5秒时，的度数是；②秒或秒或秒或15秒【分析】（1）根据伴随线和角平分线的性质求解即可；（2）分为若OC与OD在相遇之前、OC与OD在相遇之后两种情况求解即可；（3）分为（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：当OC是OA的伴随线时，当OC是OD的伴随线时；（Ⅱ）OC、OD相遇之后：当OD是OC的伴随线时，当OD是OA的伴随线时，四种情况求解即可.【详解】解：（1）如图4所示，，,如图4所示：，,；故答案为：，；（2）射线与重合时，（秒）①当的度数是时，有两种可能：若OC与OD在相遇之前，如图5：则，∴，若OC与OD在相遇之后，如图6：则，∴；所以，当秒或12.5秒时，的度数是．②（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：，，，当OC是OA的伴随线时，如图7：，即：，解得；当OC是OD的伴随线时，如图8：即：，解得；（Ⅱ）OC、OD相遇之后：，，当OD是OC的伴随线时，9如图：,即：，解得；当OD是OA的伴随线时，如图10：,即：，解得；综上：当，，，15秒时，、、中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．【点睛】本题考查了提取信息的能力，列代数式，一元一次方程的应用，分类讨论的思想；关键在于根据题意画出图形，建立方程解答．17．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是；（填序号）（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边、都在直线上．固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止．①当平分时，求旋转角度；②是否存在？若存在，求旋转角度；若不存在，请说明理由．答案：（1）②③；（2）①15°；②存在，或【分析】（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来；（2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论解析：（1）②③；（2）①15°；②存在，或【分析】（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来；（2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论；②当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论．【详解】解：（1），，和不能写成、、、的和或差，故画不出；故选②③；（2）①，，平分，，，；②当在的左侧时，如图②，则，，，，；当在的右侧时如图③，则，，，，，综上所述，当或时，存在．【点睛】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键．18．如图，已知，是等边三角形（三条边都相等、三个角都等于的三角形），平分．（1）如图1，当时，_________；（2）如图2，当时，________；（3）如图3，当时，求的度数，请借助图3填空．解：因为，，所以，因为平分，所以_________________（用表示），因为为等边三角形，所以，所以_______（用表示）．（4）由（1）（2）（3）问可知，当时，直接写出的度数（用来表示，无需说明理由）答案：解：（1）；（2）；（3），，；（4）．【分析】(1)根据，