2025秋九年级数学上册第22章一元二次方程专题7一元二次方程在学科内的应用习题课件新版华东师大版

第22章一元二次方程专题7一元二次方程在学科内的应用【解】b2－4ac＝4m2－4(m－1)(m＋2)＝－4m＋8.∵一元二次方程有实数根，∴b2－4ac≥0且m－1≠0.∴－4m＋8≥0且m≠1，解得m≤2且m≠1.1．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋2＝0.(1)若方程有实数根，求m的取值范围；(2)在等腰三角形ABC中，一腰长为3，其中两边长为方程的两个根，求m的值．返回2．某节社团课上，老师给每名学生发了一张腰长为20cm的等腰直角三角形硬卡片(如图①，图②中，AB＝AC＝20cm，∠A＝90°)，要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为75cm2.(1)方方同学很快完成了自己的设计(如图①)，并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片DEFG的长和宽；(2)圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图②大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽．【解】根据题意画图如图．设长方形ADEF的边AF＝acm，则易知EF为(20－a)cm，由题意，得a(20－a)＝75，化简，得a2－20a＋75＝0，解得a1＝15，a2＝5.经检验，a1＝15，a2＝5都符合题意．∴长方形卡片的长和宽分别为15cm和5cm.返回3．如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2＋6x－16＝0的正数解是图中哪条线段的长？请说明理由．返回4．[2025枣庄期中]已知：平行四边形ABCD的两边AB，BC的长是关于x的方程x2－(m＋3)x＋2m＋2＝0的两个实数根．(1)试证明：无论m取何值，方程总有两个实数根．【证明】∵x2－(m＋3)x＋2m＋2＝0，∴b2－4ac＝(m＋3)2－4(2m＋2)＝(m－1)2≥0.∴无论m取何值，方程总有两个实数根．(2)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．【解】当m为1时，四边形ABCD是菱形，由题意可知关于x的方程x2－(m＋3)x＋2m＋2＝0的两个实数根相等，∴b2－4ac＝(m－1)2＝0.∴m1＝m2＝1.∴方程为x2－4x＋4＝0.∴x1＝x2＝2，即菱形的边长为2.返回5．定义：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2(x1＜x2)，以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M(x1，x2)，则称点M为该一元二次方程的衍生点．(1)若一元二次方程为x2＝4，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为________；(－2，2)(2)若点M是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋2m＝0的衍生点，若点M在直线y＝－x上，求m的值；【解】x2－2(m＋1)x＋m2＋2m＝0，解得x1＝m，x2＝m＋2.

∴M(m，m＋2)．又∵点M在直线y＝－x上，∴m＋2＝－m，解得m＝－1.∴m的值为－1.(3)是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程

x2＋bx＋c＝0的衍生点M始终在直线y＝－kx＋2(4＋k)的图象上．若存在，请求出b，c的值；若不存在，请说明理由．返回6．在一元二次方程中，根的判别式Δ＝b2－4ac通常用来判断方程实数根的个数，在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决部分函数的最值问题．例如：已知函数y＝x2－6x＋6，当x取何值时，y取最小值，最小值为多少？解：∵y＝x2－6x＋6，∴x2－6x＋(6－y)＝0.∵b2－4ac≥0，即36－4(6－y)≥0，∴y≥－3.因此y的最小值为－3，此时x